Về phép biến đổi FOURIER phân và ứng dụng

Kerr không chỉ đưa ra định nghĩa chuẩn cho phép biếnđổi Fourier phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thôngthường mà còn phát triển các phép toán tử cho biến đổi này đồn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2012

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy tôi,PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy kính mến đã hết lòng dạybảo, hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiệnluận văn Thạc sỹ và những năm trước đó khi tôi thực hiện khóa luận tốtnghiệp

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình dạy bảo và tạomọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt những năm học vừa qua Đồngthời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô và các anh chị trongSeminar "Giải số phương trình vi phân" thuộc bộ môn Toán học Tính toán

và Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia

Hà Nội về những trao đổi khoa học quý báu

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị emđồng nghiệp, bạn bè và các anh chị em trong nhóm Toán học Tính toán,Cao học 2009-2011 về những hỗ trợ, chia sẻ và giúp đỡ trong suốt thời giantôi học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến gia đình tôi, nhữngngười đã ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt những năm tháng qua

để tôi có thể hoàn thành luận văn này

i

Lời mở đầu

Những kiến thức ban đầu liên quan đến phép biến đổi Fourier phân đãđược xây dựng từ những năm 1920-1930 Sau đó, phép biến đổi này nhiềulần được phát triển Trong suốt thập niên 1980, nó nhận được sự quan tâmcủa một số nhà toán học [7, 9] Trong [7, 9], các tác giả V Namias, A.C.McBride và F.H Kerr không chỉ đưa ra định nghĩa chuẩn cho phép biếnđổi Fourier phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thôngthường mà còn phát triển các phép toán tử cho biến đổi này đồng thời ứngdụng nó để giải quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử Tuy nhiên, phépbiến đổi Fourier phân chỉ thực sự được quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt bàibáo về ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu [2, 3, 8, 10] Từ đó đến nay,

nó đã trở thành một một công cụ rất hiệu quả trong xử lý các tín hiệu cótần số phụ thuộc thời gian và xử lý các tín hiệu quang học Nhiều nghiêncứu trên phép biến đổi Fourier phân đã được thực hiện nhằm giải quyết cácbài toán ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu, hệ động lực học, quátrình ngẫn nhiên

Trong thời gian gần đây lý thuyết về tích chập của phép biến đổi Fourierphân đã được nhiều tác giả quan tâm [6, 12, 4, 13] Dựa trên những kết quả

đã có về tích chập của phép biến đổi Fourier, các tác giả tập trung xây dựngcác tích chập đối với phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng các tích chậptrong thiết kế bộ lọc

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, gồm hai chương:

i

Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourierphân bao gồm định nghĩa, biểu diễn tích phân, các tính chất và phép toántoán tử Trong chương này, luận văn cũng giới thiệu một vài ứng dụng củaphép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu.

Chương 2 xây dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng của phépbiến đổi Fourier phân và ngược của nó đồng thời áp dụng các chập này đểgiải phương trình tích phân dạng chập

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nênluận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sựđóng góp của các thầy cô và các bạn để nội dung luận văn được hoàn thiệnhơn Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2012Học viên

Phạm Thị Thảo

ii

Bảng ký hiệu

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

F T Phép biến đổi Fourier

F RF T Phép biến đổi Fourier phân

Mục lục

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân 11.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 31.3 Phép tính toán tử tổng quát 71.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 111.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 141.5.1 Ứng dụng trong cơ học lượng tử 141.5.2 Ứng dụng trong xử lý tín hiệu 19

2.1 Về tích chập của biến đổi Fourier phân 292.2 Một số tích chập có trọng của biến đổi Fourier phân 312.3 Ứng dụng 42

iv

Chương 1

Phép biến đổi Fourier phân

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược trong không gian L2(R)được định nghĩa như sau

trong đó Phương trình (1.1.1) thường được xem là Fourier và Phương trình(1.1.2) là Fourier ngược Chuyển sang dạng toán tử, phép biến đổi này đượccho bởi công thức sau

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân 2

và nếu

Fπ

2 [f (−x)] = g(−u) thì Fπ

2 [g(−u)] = f(x) (1.1.6)

Có thể chỉ ra rằng hàm riêng của phép biến đổi Fourier là các hàm Hermite

e−x2/2Hn(x) với giá trị riêng e−inπ2, trong đó Hn(x) là đa thức Hermite cấp

n Điều này được biểu diễn dưới dạng toán tử

Fπ 2

h

e−x2/2Hn(x)i

= e−inπ2e−x2/2Hn(x) (1.1.7)Bây giờ, chúng ta mở rộng phương trình giá trị riêng này với tham số liêntục α

Fα

h

e−x2/2Hn(x)i

= e−inαe−x2/2Hn(x) (1.1.8)Toán tử tổng quát Fα có thể được biểu diễn dưới dạng e−iαA Từ dạng này,toán tử A được xác định bằng một vài kỹ thuật biến đổi đại số

α = −π2 α = 0 ứng với toán tử đồng nhất còn α = π ứng với toán tử chẵn

lẻ Nếu chúng ta xác định cấp a của phép biến đổi Fourier phân bằng côngthức a = α/(π/2) thì phép biến đổi Fourier thông thường có cấp 1 Cấp củaphép biến đổi được giới hạn trong đoạn −2 ≤ a ≤ 2

Các tính chất dưới đây được suy ra trực tiếp từ biển diễn toán tử.Tuyến tính Fα

P

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 3Dạng toán tử mặc dù khá hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết nhưngrất khó để sử dụng vào tính toán Để khai thác triệt để phép biến đổi mới,toán tử được biểu diễn lại dưới dạng tích phân Biển diễn tích phân được tácgiả V Namias xây dựng lần đầu tiên trong bài báo [9] và sau đó được haitác giả A McBride và F Kerr [7] điều chỉnh nhằm khắc phục những điểmchưa chặt chẽ.

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier

phân

Phương trình hàm riêng

Fα[φn](x) = e−inαφn(x)chỉ ra rằng đa thức Hermite là hàm riêng của toán tử Fα với giá trị riêng

e−inα Mọi hàm bình phương khả tích f đều khai triển được thông qua cáchàm riêng này P∞

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 4

1 − e−2iα

exp

2π |sin α|,

e−2iα

1 − e−2iα + 1

2 = −2i cot α,trong đó bα = sgn(sin α) Rõ ràng là các đẳng thức này chỉ đúng trong trường

hợp sin α 6= 0, tức là α /∈ πZ Biểu diễn tích phân thu được là

Trong dạng toán tử, biến đổi Fourier phân được định nghĩa (Fαf ) (p) =

f (p) nếu α = 0 và (Fαf ) (p) = f (−p) nếu α = ±π Điều này vẫn đúng với

biểu diễn tích phân vừa tìm được vì tại các giá trị này, lim

ε→0fα+ε = fα Do

đó, với tính chất giới hạn này, ta có thể giả thiết rằng biểu diễn tích phân

đúng trên toàn đoạn |α| ≤ π Rõ ràng, trường hợp |α| > π có thể lấy modul

và đưa về trường hợp trong khoảng [−π, π] Định lý dưới đây được chứng

minh cụ thể trong [7]

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 5Định lý 1.2.1 Giả sử rằng α = aπ

2 thì biến đổi Fourier phân có biểu diễntích phân

Kα(p, x) = cαexp



− ixpsin α +

i(x2+ p2)2

, cα = e

− i

2(π

2 α−α b )p

2π |sin α| =

r

1 − i cot α2πvới a /∈ 2Z; Kα(p, x) = δ (p − x) với a ∈ 4Z; và Kα(p, x) = δ (p + x) với

Một số các tính chất sau của nhân phép biến đổi được suy ra trực tiếp

từ định nghĩa

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 6Định lý 1.2.2 Nếu Kα(p, x) là nhân của phép biến đổi Fourier phân thì

Mặc dù phép biến đổi Fourier phân được định nghĩa với mọi α thực nhưng

do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác liên quan nên biến đổi này thườngđược xét trên đoạn [−π, π] Lúc này, dạng tích phân được cho bởi công thức

1.3 Phép tính toán tử tổng quát 7trong đó

là phép biến đổi Fourier phân ngược (IFRFT)

Định lý Parseval quen thuộc đối với phép biến đổi Fourier cũng được mởrộng đến phép biến đổi Fourier phân

Cho f(x) là một hàm bất kỳ thuộc lớp hàm L2(R), ta cần chỉ ra phép biếnđổi Fourier phân của xmf (x)

Sử dụng công thức truy hồi

Hn+1(x) + 2nHn−1(x) − 2xHn(x) = 0,

n(p) = 2Hn−1(p) nênd

bmxm Sử dụng phương trình (1.3.5), ta tìm được phương trìnhtoán tử tổng quát hơn

1.3 Phép tính toán tử tổng quát 9Đổi thứ tự của f và g ta cũng tìm được

Quy tắc chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của đạo hàm một hàm số Bằngcách sử dụng biểu diễn tích phân (1.2.2) và phương pháp tích phân từngphần với giả thiết hàm f(x) → 0 khi x → ±∞, ta tìm được

Fα

dfdx

Fα

ddx

1.3 Phép tính toán tử tổng quát 10Với hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Taylor, ta có

Fα

g

dfdx

f

Bằng cách sử dụng công thức (1.3.10) và (1.3.14) trong trường hợp m = 1

ta tìm được công thức phép biến đổi của tích hỗn tạp

Fα



xdfdx

Để tìm Fα fx
, ta bắt đầu từ công thức (1.2.3) bằng cách thay f bởi f

x Côngthức phép biến đổi của thương được cho dưới đây

Fα

fx

Fα[f ] = Fα

d

dxg(x)



= (ip sin α + cos α) d

dpFα[g] (1.3.19)Đặt gα := Fα[g] và fα := Fα[f ], ta thu được phương trình vi phân

Bằng cách thay biến x trong công thức (1.2.2) biểu diễn tích phân của phép

1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 11biến đổi Fourier phân bởi x′

= x + b ta thu được

Fα[f (x + b)] = eib sin α(p+12 b cos α)

Fα[f (x)] (p + b cos α) (1.3.21)Phép mũ

Fα



eibxf (x)

= eib cos α(p+12 b sin α)Fα[f (x)] (p + b sin α) (1.3.22)

1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm

2 + kπ Biến đổi là δ(p) khi α = π2 + kπ

Hàm delta Biến đổi Fourier phân của hàm f(x) = δ(x − x0) là

khi α 6= kπ Biến đổi là δ(p − p0) khi α = π + 2kπ và α = 2kπ

Hàm Hermite Biến đổi Fourier phân của hàm Hermite φn(x) là

1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 12Hàm Gaussian tổng quát Hàm f(x) = e−21(χx2+2γx) có biến đổi Fourierphân là

Hình 1.1: Các tín hiệu và FRFT của nó (α = π/4): (a) Biển diễn miền thời gian của hàm Dirac; (b) FRFT của hàm Dirac; (c) Biển diễn miền thời gian của hàm đơn vị; (d) FRFT của hàm đơn vị; (e) Biển diễn miền thời gian của hàm mũ; (f) FRFT của hàm mũ Đường nét liền: phần thực Đường nét đứt: phần ảo.

1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 13

Hình 1.2: FRFT của hàm chữ nhật được tính toán với các góc khác nhau Đường nét liền: phần thực Đường nét đứt: phần ảo.

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 14

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân

Biến đổi Fourier phân có nhiều ứng dụng trong cơ học lượng tử [9], xử lý tínhiệu [14, 18, 19, 20], quang học [2, 3, 8, 10] và các ứng dụng mới hơn trong

kỹ thuật watermarking [21, 22, 23], công nghệ mã hóa [24], nhận dạng mẫu[25] Phần này đề cập đến các ứng dụng của FRFT trong cơ học lượng tử

và xử lý tín hiệu

1.5.1 Ứng dụng trong cơ học lượng tử

Biến đổi Fourier phân được sử dụng để giải quyết các phương trình vi phânnảy sinh trong cơ học lượng tử Trong từng bài toán cụ thể, tham số α được

tự do lựa chọn một cách phù hợp nhằm đơn giản hóa phương trình Khôngchỉ đối với phương trình vi phân thường, phương pháp này cũng tỏ ra hiệuquả với phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 1.5.1 Hàm Green của dao động điều hòa phụ thuộc thời gian

Ta đi xét phương trình Schr¨odinger của dao động điều hòa phụ thuộc thờigian

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 15

K(z, z′, τ ) = Fα[Φ](z, z′, τ ), (1.5.7)trong đó phép biến đổi Fourier phân tác động lên biến z Thay vào phươngtrình trên ta có

(A + 1

2)Fα[Φ] = i ∂

∂τ (Fα[Φ]) (1.5.8)Thay vì xem xét α là hằng số, ta cho α phụ thuộc thời gian Do đó

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 16Góc α phụ thuộc thời gian α = τ +C và chọn C = 0 Lúc này α = τ Phươngtrình (1.5.9) là giải được và có kết quả Φ = e−iτ

2 F (z), trong đó F (z) là mộthàm nào đó của z cần xác định Tại τ = 0, α = 0 và Fα = F0 là ánh xạđồng nhất Do đó

K(z, z′, 0) = F0Φ(z, z′, 0) = Φ(z, z′, 0) = δ (z − z′)

Vì vậy

Φ(z, z′, τ ) = e−iτ2 δ (z − z′) (1.5.10)Hàm Green được cho bởi

Ví dụ 1.5.2 Hàm Green của dao động điều hòa có lực tác dụng

Trong một vài ứng dụng của lý thuyết trường và điện lượng tử, ta phải đikhảo sát hiệu ứng động lực sinh bởi một ngoại lực phụ thuộc thời gian F (t)

mà không phụ thuộc vào vị trí Phương trình Schr¨odinger của dao động điềuhòa có lực tác dụng là

ω)/√

~ωk Ta xét hàm Green K(z, z′, τ ) thỏa mãnphương trình

12

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 17Đặt K(z, z′, τ ) = Fα[Φ](z, z′, τ ), thay vào phương trình (1.5.14), tương tựnhư ví dụ trước ta thu được

d

dxFα(f ) ta tìm được công thức

xFα[f ] = Fα

cos α xf − i sin α dxdf

∂z



= 0.(1.5.18)Phương trình trên tương đương với

Φ(z, z′, τ ) = X(z′, τ )δ [θ(τ ) + z − z′] , (1.5.21)trong đó θ(τ) và X là các hàm cần xác định Điều kiện đầu của θ và X làθ(0) = 0 và X(z′, 0) = 1

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 18Thay (1.5.21) vào phương trình (1.5.19) ta được

Φ(z, z′, τ ) = ei[z′η(τ )−ξ(τ )−τ2]δ [θ(τ) + z − z′] , (1.5.24)trong đó

đề khác nảy sinh trong cơ học lượng tử như: trạng thái tĩnh và mức nănglượng của electron tự do trong từ trường đều không đổi, sự thay đổi củagói sóng electron trong từ trường đều không đổi, nghiệm của phương trìnhSchr¨odinger của electron tự do trong từ trường đều biến thiên theo thời gian

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 191.5.2 Ứng dụng trong xử lý tín hiệu

Ý tưởng sử dụng FRFT trong các khâu xử lý tín hiệu cơ bản như lọc,ước lượng, khôi phục tín hiệu đã được quan tâm trong thời gian gần đây[14, 18, 19, 20] Trong phần này, chúng ta xét một số các ứng dụng của biếnđổi Fourier phân trong lĩnh vực này

Lọc chirp trong miền Fourier phân

Phép biến đổi Fourier phân có thể được sử dụng để rời rạc các tín hiệukhông thể rời rạc trong miền thời gian và tần số Hình 1.3 biểu diễn phânphối Wigner [15, 16, 3] của tín hiệu và thành phần nhiễu Rõ ràng là tín hiệu

và nhiễu chồng lấp trong cả hai miền thời gian và tần số nhưng trong miềnFourier phân thì không Do đó, nhiễu có thể được tách ra khỏi tín hiệu mộtcách dễ dàng FRFT ánh xạ tín hiệu chirp từ miền a = 0 trở thành hàm

Hình 1.3: Lọc nhiễu trong miền FRFTDelta trong miền a nếu a tương ứng với tần số quét của chirp Nhờ bộ lọcchặn dải, ta có thể loại bỏ hàm Delta Bước cuối cùng là đưa tín hiệu đã lọc

về miền ban đầu bằng cách tác động FRFT ngược

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 20

0

10 20 30 40 a−domain

1

0.5

0 0.5

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 21

Ví dụ minh họa thuật toán được cho trong Hình 1.4 Trong đó hàm chirp

là 0.1ei(t 2 /10−2t) và tín hiệu là hàm Gaussian e−(t−30)2/20với khoảng thời gian(0, 40) và tần số lấy mẫu là 100 Hz Các hình ảnh minh họa phân phốiWigner chỉ ra rằng FRFT giúp phân phối quay đến vị trí mà hình chiếu lêntrục ngang (miền FRFT cấp a) của tín hiệu và chirp rời rạc nhau Sau đó,chirp được loại bỏ và biến đổi ngược tín hiệu về miền cũ

Bộ lọc tần số quét

Các bộ lọc tần số quét được sử dụng rất rộng rãi trong các bộ phân tích tần

số cho tín hiệu cao tần Bộ lọc quét tần số là hệ thống biến thiên tuyến tínhđược biểu diễn trong Hình 1.5 Bộ lọc còn được biểu diễn bởi đáp ứng xung,

Hình 1.5: Biểu diễn của hệ thống tần số quét Hằng số c điều khiển tốc độ quét của

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 22

= G (u cosec α) Xα(u)

Do đó G (u cosec α) được gọi là hàm chuyển của bộ lọc tần số quét trongmiền Fourier phân Quan sát này cho phép chúng ta xử lý hàm chuyển biếnthiên của bộ lọc tần số quét giống như bộ lọc bất biến sử dụng Fourierthường

Lọc tối ưu trong miền Fourier phân

Trong nhiều các ứng dụng thực tế, tín hiệu mong muốn bị suy biến bởi hệthống hoặc nhiễu Vấn đề là cần tìm ra một toán tử ước lượng tối ưu đốivới các tiêu chuẩn thiết kế mà loại bỏ hoặc giảm thiểu suy biến Lời giảiphù hợp cho vấn đề này phụ thuộc vào mô hình quan sát, tiêu chuẩn thiết

kế được sử dụng, các thông tin đã biết (về tín hiệu, quá trình suy biến hoặcnhiễu)

Đối với các mô hình suy biến bất biến và các tín hiệu dừng, bộ lọc Wienertrong miền FT được thực hiện trong thời gian O(NlogN) giúp ước lượng tínhiệu ban đầu với sai số bình phương trung bình tối thiểu Tuy nhiên, đối vớicác mô hình suy biến biến thiên theo thời gian và các tín hiệu không dừng,quá trình ước lượng tuyến tính tối ưu đòi hỏi thời gian O(N2) Lọc trongmiền Fourier phân có thể giảm đáng kể sai số so với lọc trong miền Fourierthông thường đối với các loại nhiễu và suy biến nhất định trong khi chỉ đòihỏi O(NlogN) thời gian thực hiện

Mô hình quan sát được sử dụng phổ biến nhất là

y = H (x) + n,trong đó H là hệ tuyến tính làm suy biến tín hiệu x và n là thành phầnnhiễu Tiêu chuẩn thiết kế thường được sử dụng là sai số bình phương trungbình (MSE) Chúng ta xét toán tử tuyến tính ước lượng dạng bx = G(y).Nếu H là mô hình suy biến bất biến và x, n là các quá trình dừng thì toán