Biến đổi tích phân và ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013... ĐẠI HỌC THÁI NG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người

đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả

Trịnh Khắc Bình

i

Mục lục

1.1 Không gian Lp 3

1.2 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân 6

1.3 Tích chập 7

1.4 Tích phân Dirichlet 8

2 Chuỗi Fourier 13 2.1 Chuỗi Fourier thông thường 13

2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 13

2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier 14

2.2 Chuỗi Fourier - cosin và chuỗi Fourier - sin 16

2.2.1 Khái niệm 16

2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 16

2.2.3 Các ví dụ 21

2.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 22

2.3.1 Dãy trực giao 22

2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 24

2.4 Chuỗi Fourier phức 27

2.4.1 Khái niệm 27

2.4.2 Đẳng thức Parseval 28

2.5 Các bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình chữ nhật 28

2.5.1 Bài toán 1 29

2.5.2 Bài toán 2 30

2.5.3 Bài toán 3 31

2.6 Phương trình dạo động của thanh 32

ii

2.6.1 Phương trình dao động tự do 32

2.6.2 Phương trình dao động cưỡng bức 34

3 Biến đổi Fourier 37 3.1 Khái niệm về tích phân Fourier 37

3.2 Biến đổi Fourier 40

3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier 43

3.4 Biến đổi Fourier trong Lp 48

3.5 Phương trình Laplace trong miền nửa dải 51

3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng 52

3.7 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt phẳng 55

3.8 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt 57

4 Biến đổi Laplace 59 4.1 Định nghĩa 59

4.2 Các tính chất 61

4.3 Biến đổi Laplace ngược 66

4.4 Phương trình vi phân thường 70

4.5 Phương trình đạo hàm riêng 73

4.6 Phương trình tích phân Volterra Phương trình vi- tích phân 77 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 iii

Mở đầu

Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giải tích hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi tích phân quan trọng, như biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel, v.v từ lâu đã được sử dụng trong giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân tuyến tính hệ số hằng

Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các phương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát thích hợp có thể được chuyển về các phương đại số tương ứng Từ đó, sử dụng các công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn

Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin và biến đổi Laplace cùng một số ứng dụng của chúng trong phương trình đạọ hàm riêng và một số loại phương trình tuyến tính khác

Luận văn gồm phần Mở đầu, 4 chương, Kết luận và các tài liệu tham khảo Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-5]

Chương 1, trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần thiết đối với các chương sau Các kiến thức của chương này có thể tìm thấy trong tài liệu [1]

Chương 2, trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng trong miền hữu hạn Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ các tài liệu [1, 4, 5]

Chương 3, trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2,

3 , 4]

1

Chương 4, trình bày cơ sở lý thuyết của biến của biến đổi Laplace và một số ứng dụng giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân dạng chập Các kiến thức của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1, 4]

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần thiết đối với các chương sau Các kiến thức của chương này có thể tìm thấy trong tài liệu [1]

Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa

Lp(Ω) = {f : Ω →R hoặc C; f đo được và |L|p khả tích },

L∞(Ω) = {f : Ω → hoặc C; f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.h trên Ω },

và kí hiệu:

kf kp =





 Z

Ω

|f (x)|pdx







1/ p ,

kf k∞= inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h}

Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L∞(Ω) thì:

|f (x)| ≤ kf k∞, h.h x ∈ Ω

Ta ký hiệu p0 là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞, i.e,1p + p10 = 1

Chữ "nghĩa là" thường được viết tắt bởi "i.e", chữ "hầu hết" được viết tắt bởi "h.h"

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older)

Cho f ∈ Lp(Ω) và g ∈ Lp0(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó f.g ∈ L1 và

Z

Ω

|f.g| ≤ kf kp.kgkp0

3

Dựa vào bất đẳng thức H¨older, ta chứng minh được

Định lý 1.2 Lp(Ω) là không gian vector k·kp và là một chuẩn

với 1 ≤ p ≤ ∞

Định lý 1.3 (Fischer – Riesz )

(a) Lplà không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞

(b) Giả sử (fn) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e,

kfn − f kp → 0 Thế thì có dãy con (fnk)k=1,2, sao cho:

fnk(x) → f (x) h.h,

∀k, |fnk(x)| ≤ h (x) h.h,

với h là một hàm trong Lp

Với Ω mở trong R, ta ký hiệu Ck(Ω) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến cấp k và C∞(Ω) = T∞

k=1Ck(Ω) Còn Cc(Ω) là không gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f , tức là tập hợp

suppf = {x ∈ Ω; f (x) 6= 0},

là compact chứa trong Ω, ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp Đặt

Cck(Ω) = Ck(Ω)\Cc(Ω),

Cc∞(Ω) = C∞(Ω)\Cc(Ω)

Ta có kết quả sau đây về tính trù mật

Định lý 1.4 Với 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rằng p 6= ∞), thì Cc∞(Ω) trù mật trong Lp(Ω)

Định lý 1.5 (Riemann- Lesbesgue) Cho f ∈ L1(a, b) với (a, b) là khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của R, thì ta có

lim

N →∞

b

Z

a

f (x) cos N xdx = 0 và lim

N →∞

b

Z

a

f (x) sin N xdx = 0

Chứng minh Hai điều khẳng định của định lý được chứng minh theo một cách giống nhau Vì vậy ta chỉ chứng minh một

4

Cho trước ε > 0 Từ định lý về tính trù mật ta có một hàm g (chỉ phụ thuộc vào ε) trong Cc∞(a, b) sao cho

b

Z

a

|f (x) − g (x)|dx < ε

2.

Vì g có giá trị compact trong (a, b) nên g triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b) Do đó

b

Z

a

g (x) cos N xdx

=

β

Z

α

g (x) cos N xdx

=

1

Ng (x) sin N x|

β

α− 1 N

β

Z

α

g0(x) sin N xdx

= 1 N

β

Z

α

g0(x) sin N xdx

≤ 1 N

β

Z

α

|g0(x)| dx = 1

N kg0k1

Vậy với N đủ lớn thì

b

Z

a

g (x) cos N xdx

< ε

2,

kéo theo

b

Z

a

f (x) cos N xdx

=

b

Z

a

(f (x) − g (x)) cos N xdx +

b

Z

a

g (x) cos N xdx

≤

b

Z

a

|f (x) − g (x)| dx+

b

Z

a

g (x) cos N xdx

< ε

2 +

ε

2 = ε.

Kết thúc chứng minh

5

1.2 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân

Định lý 1.6 (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi) Cho (fn) là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue ) trên tậpΩ ⊂ RN sao cho supnR fn < ∞ Khi đó fn hội tụ h.h trên Ω về một hàm f khả tích trên Ω và

kfn − f k1 ≡

Z

Ω

|fn(x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞

Định lý 1.7 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho (fn) là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω Giả sử

(a) fn(x) → f (x) h.h trên Ω,

(b) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f (x) ≤ g (x)| h.h trên Ω Khi

đó f khả tích và

kfn− f k1 ≡

Z

Ω

|fn(x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Fatou) Giả sử (fn) là dãy các hàm khả tích sao cho (a) fn ≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n

(b) supR fn < ∞ Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf fn(x) Khi đó f khả tích trên Ω và R f ≤ lim inf

n→∞

R

fn

Giả sử Ω1 ⊂ R1, Ω2 ⊂ R2 là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C)

là hàm đo được

Định lý 1.8 (Tonelli) Giả sử

Z

Ω 2

|F (x, y)| dy < ∞,

hầu hết x ∈ Ω1 và

Z

Ω1

dx

Z

Ω2

|F (x, y)| dy < ∞

Khi đó, F khả tích trên Ω1 × Ω2

Định lý 1.9 ( Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 Khi đó

Với hầu hết x thuộc Ω1

F (x, ·) ≡ y → F (x, y) ,

6