Ứng dụng phương pháp đại số tổ hợp để tính độ đo xác suất rời rạc

Tuy nhiên, khi ngư ời sinh viên bước vào h ọc đại học ngành Toán, các m ôn Toán được học n hiều hơn, sâu sắc hơn và phương pháp tư duy cũng khác.. Các công trình nghiên cứu khoa học To

T R Ư Ờ N G ĐẠ I H Ọ C G IÁ O DỤC• • •

Ứ N G D Ụ • N G P H Ư Ơ N G P H Á P Đ Ạ I S Ó • T Ỏ H Ợ P •

Đ Ẻ T Í N H Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C

CHỦ N H IỆM ĐỀ TÀI: PG S.TS N G U Y Ễ N NHỤY

T R Ư Ờ N G ĐẠI H Ọ C GIÁO D Ụ C , ĐẠI HỌC QUỔC GIA H À NỘI

Hà Nội - 2009

DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA T H ự C HIỆN ĐÈ TÀI

1 PG S.T S N g u y ễ n N h ụ y , Trường Đ ại học G iáo dục, Đ H Q G H à N ộ i - Chủ

C h ư o n g 1 Độ đ o x á c s u ấ t rời rạ c D ãy số F i b o n a c c i v à T ỷ s ố v à n g 7

1.1 Sự ra đời của dãy Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên 7

xác suất trong B à i toán (0,1,4)

2.4 M iền g iá trị của hàm ch iều địa phương của Bài toán (0 ,1 ,4 ) 45

Chương 3 Sử d ụ n g dãy số F ibonacci tính giá trị lớn nhất của độ

đo xác s u ấ t là tích c h ậ p 5 lần của độ đo C a n to r c h u ẩ n 50

Daah m ục công trình của các tác giả liên quan đến Đ ề tài 67

M Ụ C L Ụ C

M Ở Đ Ầ U

1 Lý do chọn đề tài

M ôn Toán ở trường phổ thông rất được co i trọng N g a y ở bậc học này, học

sinh đã được truyền thụ m ột khối lượng k iến thức Toán học khá phong phú

với nhiều chủ đề thú v ị và được tiếp thu những cô n g cụ khá sắc bén.

Tuy nhiên, khi ngư ời sinh viên bước vào h ọc đại học ngành Toán, các m ôn

Toán được học n hiều hơn, sâu sắc hơn và phương pháp tư duy cũng khác Các

công trình nghiên cứu khoa học Toán h ọc phần lớn dựa vào kiến thức ở bậc

đại học m à chủ y ếu là sau đại học Chính vì thế, khi bắt tay vào nghiên cứu,

người ta thường n g h ĩ n gay đến v iệc phải sử dụng các côn g cụ Toán học bậc

cao.

Các cô n g trình T oán h ọc m ang tính thời sự được nhiều người quan tâm

ít ai n gh ĩ đến là có thể sử dụng các côn g cụ chủ y ếu là Toán học ở bậc phổ

thông V à như thế, đã tạo ra tâm lý là các cô n g cụ Toán học ở phổ thông

không thể dùng để nghiên cứu khoa học v à v iế t các côn g trình khoa học

nghiêm túc.

Đ ề tài này phần nào nhằm khắc phục cách suy n gh ĩ trên Ở đây, chúng

tôi đã sử dụng Đ ại số tổ hợp để tính chiều địa phương của độ đo x á c suất rời

rạc, m ột vấn đề T oán h ọc m ang tính thời sự hấp dẫn, được nhiều nhà Toán

học trên thế g iớ i quan tâm.

2 N h iệm v ụ và p h ư ơ n g pháp nghiên cứu

Các tập Fractal bắt đầu được để ý từ cuối thế kỷ X IX và những thập

niên đầu của thế k ỷ X X , nhưng nó được đặc biệt quan tâm vào cuối những

năm 70 của thế kỷ trước, khi xuất hiện m ột loạt cô n g trình nghiên cửu hết sức

có ý nghĩa của B e n o it M andelbrot và đặc b iệt là tác phẩm nổi tiếng của ông:

“ T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e Chủ đề này đã trở thành m ột khoa học thực thụ và o cuối những năm 80 của thể kỷ X X

Sự ra đời củ a H ình học Fractal đó giúp chúng ta giải thích được những

đặc thù v à cấu trúc phức tạp, tinh tế trong tự n hiên cũng như trong xã hội Có

thể nói, Hình học Fractal đó cung cấp cho các nhà khoa học m ột cụng cụ khảo

cứu hết sức mạnh m ẽ v à lý thú đối với hầu hết các lĩnh vự c, từ Toán học, Vật

lý học, Thiên văn h ọ c, H ó a học, Sinh học, N g ô n ngữ h ọc cho đến N gh ệ thuật,

 m nhạc, K inh t ế , v à đặc biệt là C ông n ghệ thông tin và truyền thông

Chính vì thế, m ôn H ình h ọc Fractal đó được giới thiệu trong sách Hình học

lớp 11 phổ thông trung học.

C ông cụ để khảo sát các đối tượng Fractal phổ biến nhất đó chính là

chiều B an đầu ngư ờ i ta có m ột côn g cụ khá hữu h iệu để m ô tả các tập Fractal

là chiều H ausdorff Tuy nhiên, chiều H au sd orff đo các đối tượng ở m ức độ

tương đối “th ô” v à chỉ để m ô tả các tập Fractal ở khía cạnh tổng thể, còn khi

m uốn tìm kiếm cấu trúc tinh tế của Fractal, ta phải tìm hiểu tính chất “địa

phương” của các đ ố i tư ợng Fractal đó.

Người ta thấy rằng, tại một h-lân cận đủ nhỏ của một điểm s, nếu ký

h iệu f! l à độ đo fractal v à g ọ i a(s) là c h iề u đ ịa p h ư ơ n g c ủ a độ đo Fractal ấy tại đ iểm s thì ta c ó thể x ấ p xỉ

| i ( [ s - h , s + h ] ) ~ h a ^s \

N h ư vậy, n ế u x á c đ ịn h đ ư ợ c c h iều đ ịa p h ư ơ n g củ a m ộ t độ đo Fractal, ta c ó thể biết gần đúng kh ối lư ợ n g của tạp Fractal tại lân cận của điểm đó.

Thực chất trong m ột số bài toán v iệ c tìm chiều địa phương của độ đo là

thiết lập cô n g thức tính số cách biểu diễn của m ỗi phần tử trong tập này thông

qua các phần tử củ a tập kia nhờ vào dãy số Fibonacci và T ỷ số vàng Trong

C hương 2 v à C hương 3 chúng tôi thiết lập được cô n g thức tính độ đo xác suất

rời rạc thông qua dãy F ib on acci G iải hệ thức truy hồi của dãy này ta xác

định được các giá trị cần thiết lập của bài toán đặt ra.

V ớ i những ký do trên, chúng tôi chọn đề tài dùng phương pháp Đ ại số tổ

hợp, chủ đề được đưa v ào Sách giáo khoa Đ ại số lớp 11 trung học phổ thông,

m à cụ thể là sử dụng các tính chất của dãy số F ibonacci và Tỷ số vàng để tìm

n h iê n , đ ộ đ o x á c x u ấ t rờ i rạ c , d ã y s ố F ib o n a c c i v à T ỷ số v à n g C h ư ơ n g 2 n ê u lên c á c h th ứ c ứ n g d ụ n g d ã y số F ib o n a c c i v à T ỷ số v à n g v à o v iệ c g iả i B à i to á n (0 ,1 ,4 ) là b à i to á n t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i B à i to á n (0 ,1 ,3 ) n ổ i tiế n g tr o n g H ìn h h ọ c

F ra c ta l C h ư ơ n g 3 tr ì n h b à y v ề ứ n g d ụ n g d ã y số F ib o n a c c i v à T ỷ số v à n g đ ể tín h g iá trị b é n h ấ t c ủ a đ ộ đ o đ ư ợ c x á c đ ịn h b ở i tíc h c h ậ p 5 lầ n c ủ a đ ộ đo

C a n to r c h u ẩ n

C H Ư Ơ N G 1 Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C D Ã Y S Ố F I B O N A C C I

V À T Ỷ S Ố V À N G1.1 S ự r a đ ò i c ủ a d ã y F ib o n a c c i v à m ố i liê n h ệ v ó i t ự n h iê n

F ib o n a c c i là tê n v iế t tắ t c ủ a m ộ t n h à to á n h ọ c lớ n ở c h â u  u th ờ i tru n g

đ ại, ô n g s in h 1 1 7 0 m ấ t 1 2 4 0 , tê n đ ầ y đ ủ c ủ a ô n g là L e o n a rd o o f P isa V ì ô n g

1.2.2 Mô t số tính chất đăc biêt của dãy số Fibonacci

a) Tỉnh chất đặc biệt đầu tiên

An X A n+] An-2 X A.n+3 i 2

C h ọ n A n = 8, d o đ ó 8 X 13 = 3 X 3 4 + 2 T iế p th e o c h ọ n An = 3 4 , ta c ó 3 4 X 55

= 13 X 1 4 4 - 2 C ũ n g tư ơ n g tự n h ư trê n ta tr o n g tr ư ờ n g h ọ p A n= 8 th ì n =6 (c h ẵ n ) n ê n c ộ n g 2, c ò n A n = 3 4 th ì n = 9 (lẻ ), d o đ ó tr ừ đi 2

f) Định lý Pithagore trong dãy Fibonacci (F)

N ế u t a k ý h iệ u 4 số liê n tiế p tr o n g d ã y F là a, b , c, d v à g ọ i n là v ị trí

c ủ a a tr o n g d ã y s ố th ì ta lu ô n c ó c ô n g th ứ c tu y ệ t đ ẹ p liê n q u a n đ ế n đ ịn h lý

P ith a g o r e n ổ i tiế n g Đ ó là: (2 b c)2 + ( a d)2 = ( A 2n+3)2

H a y ta lu ô n c ó : ( 2 A n+1.A n + 2 )2 + ( A n.An+3)2 = ( A 2n+3)2

Đây là một phương trình rất đặc biệt, được khám phá bởi Tiến s ĩ

Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông với độ dài các cạnh được tạo nên

từ các sô có mặt trong dãy (F).

g) Một tính chất thú vị khác được khảm phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg

T S J e k u th ie l G in s b u r g k h i n g h iê n c ứ u v ề d ã y (F ) ô n g đ ã tìm r a m ộ t

đ iề u h ế t s ứ c đ ặ c b iệ t S ố 8 9 ở v ị trí th ứ 11 c ủ a d ã y (F ) là 1 c o n số v ô c ù n g

q u a n trọ n g B ở i lẽ , s ố n g h ịc h đ ả o c ủ a n ó b ằ n g tổ n g tấ t c ả c á c số tro n g d ã y (F ) Đ iề u n à y k h ô n g th ể g iả i th íc h n ổ i v à n ó đ ư ợ c v iế t r a n h ư sau :

0,011 2 3 5 9 55 0 4 0 6 7 8

h) Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám p há bởi TS Jekuthiel Ginsburg

Ô n g c h o b iế t:

Trong 3 số liên tiếp của dãy (F) A m A n+I, A n +2 thì tổng lập phương của

2 số lớn trừ đi lập phương của sổ nhỏ nhất luôn luôn là 1 sổ trong dãy (F).

T a th ử k iể m c h ứ n g v ớ i 3 số liê n tiế p b ấ t k ỳ G iả sử : 5, 8, 13

133 + 83 - 53 = 21.97 + 512 - 125 = 2584

Số 2 5 8 4 c h ín h là số ở v ị tr í th ứ 18 tr o n g d ã y F ib o n a c c i

i) Dãy Fibonancci còn chứa đựng tỷ sổ vàng (Xem ở mục 1.3)

1.3 Tỷ số vàng

T r o n g T o á n h ọ c v à n g h ệ th u ậ t c ó rấ t n h iề u h iệ n tư ợ n g liê n q u a n đ ế n số

F ib o n a c c i Đ ặ c b iệ t, s ố F ib o n a c c i liê n q u a n m ậ t th iế t v ớ i “Tỷ so v à n g ”, số

T ỷ lệ n à y đ ư ợ c s ử d ụ n g đ ể m ô tả tín h c â n đ ố i c ủ a v ạ n v ậ t từ n h ữ n g

k h ố i cấu trú c n h ỏ n h ấ t c ủ a th iê n n h iê n n h ư n g u y ê n tử c h o đ ế n n h ữ n g th ự c th ể

có k íc h th ư ớ c c ự c k ỳ k h ổ n g lồ n h ư th iê n th ạ c h K h ô n g c h ỉ th iê n n h iê n p h ụ

đ ư ợ c b iế t đ ế n v ớ i r ấ t n h iề u tê n g ọ i: T ỷ lệ v à n g , T ỷ lệ th ầ n th á n h , P H I V ậ y

th ì, tại sao tỷ lệ n à y lại q u a n tr ọ n g đ ế n v ậ y ? V ạ n v ậ t d ư ờ n g n h ư c ó th u ộ c tín h

T a c ó th ể th ấ y k h i đ ồ th ị g iá g ặ p đ ư ờ n g F F c a o n h ấ t (đ iể m A ), đ ồ th ị g iá

k h ô n g th ể v ư ợ t q u a đ ư ờ n g F F tr o n g n h iề u n g à y K h i g iá v ừ a v ư ợ t q u a đ ư ờ n g

F F , n ó liề n r ớ t n h a n h c h ó n g đ ế n đ iể m đ á y trê n đ ư ờ n g F F th ứ 3 (đ iể m B v à C ) trư ớ c k h i tìm đ ư ợ c n g ư ỡ n g h ỗ trợ C ũ n g lư u ý r ằ n g k h i g iá di c h u y ể n q u a

đ iể m đ á y (đ iể m C ) , n ó d i c h u y ể n m ộ t m ạ c h tớ i đ iể m c a o n h ấ t (đ iể m D ) trê n

đ ư ờ n g F F th ứ n h ấ t v à c ũ n g là đ iể m k h á n g c ự , s a u đ ó rơ i x u ố n g đ iể m g iữ a trê n

đ ư ờ n g F F th ứ h a i ( đ iể m E ) trư ớ c k h i đ ổ i c h iề u đ i lên

S a u m ỗ i g ia i đ o ạ n b iế n đ ộ n g g iá c h ín h (c ó th ể lê n h o ặ c x u ố n g ), g iá

th ư ờ n g có x u h ư ớ n g đ ả o n g ư ợ c x u h ư ớ n g (to à n b ộ h o ặ c m ộ t p h ầ n ) K h i g iá

đ ư ờ n g F R (x e m đ ồ t h ị - n g ư ỡ n g h ỗ t r ợ v à k h á n g c ự x u ấ t h iệ n tạ i đ ư ờ n g

F ib o n a c c i 2 3 6 % v à 3 8 2 % )

h ư ớ n g sa u m ỗ i b ư ớ c s ó n g k h á c n h a u , ở đ â y , c h ỉ x in d ừ n g lại ở m ứ c đ ộ ứ n g

d ụ n g c ơ b ả n c ủ a d ã y F ib o n a c c i tr o n g tà i c h ín h

1.3.3 M ộ t sổ ứng dụng khác

T ỷ số v à n g k h ô n g c h ỉ x u ấ t h iệ n tr o n g t ự n h iê n m à c ò n x u ấ t h iệ n tro n g

n g h ệ th u ậ t n h ư là lý tư ở n g c ổ đ iể n v ề c ái Đ ẹ p C ó m ộ t đ iề u gì đ ó th ầ n k ỳ b a o

q u a n h d ã y số F ib o n a c c i T h ự c tế , h iệ n n a y H ộ i F ib o n a c c i đ a n g h o ạ t đ ộ n g

d ư ớ i s ự lã n h đ ạ o c ủ a m ộ t lin h m ụ c v à c ó tr u n g tâ m ở T r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c St

M a r y tạ i C a lifo rn ia M ụ c đ íc h c ủ a H ộ i là tìm k iế m c á c v í d ụ c ủ a T ỷ số v à n g

c ũ n g n h ư c ủ a c á c số F ib o n a c c i tro n g tự n h iê n , tr o n g n g h ệ th u ậ t v à tro n g k iế n

t r ú c v ớ i n iề m tin r ằ n g T ỷ s ố v à n g là m ó n q u à T h ư ợ n g đ ế b a n tặ n g c h o th ế g iớ i

n à y N h ư là c h u ẩ n m ự c c ủ a cái Đ ẹ p , T ỷ số v à n g h iệ n d iệ n ở n h iề u n ơ i, c h ẳ n g

K ế t q u ả là, đ ố i v ớ i tẩ t c ả c á c c ặ p v ợ c h ồ n g , tỷ số đ ó đ ề u x ấ p x ỉ b ằ n g 0 ,6 1 8 -

T ỷ số v à n g Nhà T o á n học người Italia L e o n a r d o D a V in c i là n g ư ờ i đ ầ u tiê n

đ ư a r a k h ẳ n g đ ịn h m ố i q u a n h ệ c ủ a c ấ u tr ú c c ơ th ể c o n n g ư ờ i liê n q u a n tớ i tỉ

số v à n g Đ ể k h á m p h á r a b í m ậ t n à y L e o n a r d o D a V in c i k h ô n g c h ỉ n g h iê n c ứ u

Đ ẹ p th ì đ ề u c ó m ộ t c á i g ì đ ó b ố c ụ c liê n q u a n đ ế n T ỷ số v à n g

1 4 H ệ t h ứ c t r u y h ồ i tì m số F ib o n a c c i

1.4.1 Khái niệm m ở đầu và mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi

Đ ô i k h i ta r ấ t k h ó đ ịn h n g h ĩa m ộ t đ ố i tư ợ n g m ộ t c á c h tư ờ n g m in h

N h ư n g c ó th ể d ễ d à n g đ ịn h n g h ĩa đ ố i tư ợ n g n à y q u a c h ín h n ó K ỹ th u ậ t n à y

đ ư ợ c g ọ i là đệ quy Định nghĩa đệ quy c ủ a m ộ t d ã y số đ ịn h rõ g iá trị c ủ a m ộ t

h a y n h iề u h ơ n c á c số h ạ n g đ ầ u tiê n v à q u y tắ c x á c đ ịn h c á c sổ h ạ n g tiế p th e o

từ c á c số h ạ n g đi trư ớ c Q u y tắ c tìm c á c số h ạ n g từ c á c số h ạ n g đ i trư ớ c đ ư ợ c

g ọ i là c á c h ệ th ứ c tr u y h ồ i

Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi (h a y công thức truy hồi) đ ố i v ớ i d ã y số {an}

là c ô n g th ứ c b iể u d iễ n an q u a m ộ t h a y n h iề u số h ạ n g đ i trư ớ c c ủ a d ã y D ã y số

đ ư ợ c g ọ i là lời giải h a y nghiệm c ủ a h ệ th ứ c tr u y h ồ i n ế u c á c sổ h ạ n g c ủ a n ó

th ỏ a m ã n h ệ th ứ c tr u y h ồ i n à y

Thỉ dụ (Lãi kép) G iả s ử m ộ t n g ư ờ i g ử i a d o lla r v ớ i lã i s u ấ t k é p b % m ỗ i n ă m

S a u n n ă m a n h ta c ó số tiề n tro n g tà i k h o ả n c ủ a m ìn h là:

P n = P n , + b % Pn.1 = ( l + b % ) P „ 1.

T ừ đó su y r a p n - ( l + b % ) na

1.4.2 Giải các hệ thức truy hồi

Định nghĩa M ộ t hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ sổ hằng

an = a , r p + a2r2n + + akrkn, với n = 1, 2, trong đó a I, a2, ak là các hằng sổ.

C ô n g t h ứ c F i b o n a c c i c h o b ở i h ệ t h ứ c t r u y h ồ i

D ã y c á c số F ib o n a c c i th ỏ a m ã n h ệ th ứ c fn = fn-i + fn-2 v à c á c đ iề u k iệ n đ ầ u

c ậ p đ ế n n ă m 1 7 4 8 , tr o n g Nhập môn giải tích vô hạn v ề ý n g h ĩa , c á c số L u c a s

1.6 B iế n n g ẫ u n h i ê n v à đ ộ đ o x á c s u ấ t

1.6.1 Ben ngẫu nhiên

Định nghĩa 1 M ộ t b iế n số đ ư ợ c g ọ i là ngẫu nhiên n ế u tro n g k ế t q u ả c ủ a

h ữ u h ạ n h a y đ ế m đ ư ợ c đ iể m K h i đ ó t a có th ể b iể u d iễ n :

suppụ = {an :n eN , ju(an) > o}.

H ơ n n ữ a , n ế u đ ặ t B = {an : n e N , /u{an) > o} th ì ịấ(Á) = v ớ i m ọ i tậ p A

x e A n B

tro n g đ ạ i số c á c t ậ p h ợ p c o n c ủ a X

( 0 , 1 , 4 )

Đ ặc đ iể m c h ín h c ủ a các t ậ p F r a c ta l là sự t ự đ ồ n g d ạ n g (self-sim ilar) g iữ a

m ộ t b ộ p h ậ n n h ỏ b ấ t k ỳ với to à n th ể đ ố i tư ợ n g F ra c ta l ấy C ác tậ p tự

đ ồ n g d ạ n g n à y đ ư ợ c x â y d ự n g từ h ọ các á n h x ạ co m à t a gọi là hệ hàm lặp ( I te r a te d F u n c tio n S y ste m ) n h ư sau:

đ ồ n g d ạ n g là n g h iê n cứ u về đ ộ đ o x á c s u ấ t n à y m à cự th ể là n g h iê n cứu

về ch iều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a nó Đ iều th ú vị là việc x á c đ ịn h đ ộ đo x á c s u ấ t

29

X i , X 2, là d ã y các b iế n n g ẫ u n h iê n rời rạ c , đ ộ c lập , có c ù n g p h â n phối,

m ỗi b iế n n g ẫ u n h iê n Xị n h ậ n các g iá t r ị b \ , , bm với các g iá t r ị x á c s u ấ t

h ợ p n à y t a gọi là Bài toán (0 ,1 , a) tổng quát Đ ể ý rằ n g , k h i a = Ò3 = 3A: với k = 1 t a có Bài toán ( 0 ,1 ,3 ) là b à i to á n có n h iề u ứ ng d ụ n g v à được

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 2 G iả sử D là m ộ t t ậ p c o n đ ó n g tro n g R d. K hi đ ó d ã y các p h é p co { / i , , fm} tr ê n D đ ư ợ c gọi là m ộ t hệ hàm lặp.

thì f k(A) —> F theo metric Tí khi k —* oo với bất kỳ A G c , trong đó f k

ký hiệu là sự lặp lại k lần ánh xạ f Đặc biệt, nếu tồn tại A £ c sao cho f i ( A) c A với mọi i thì

đượ c gọi là tập bất biến c ủ a h ệ h à m lặ p { /1,

/ro}-N ếu m ỗi fi (i = 1 tro n g h ệ h à m lặ p { / i , , / m } là p h é p đ ồ n g

d ạ n g th ì F đ ư ợ c gọi là tập tự đồng dạng.

C h ú ý rằ n g n ế u /i là độ đ o x á c s u ấ t rời rạ c t r ê n M th ì

s u p p ụ = { a n : n e N với Ịi{an) > 0}.

K hi đó, đ ộ đ o x á c s u ấ t B o rel d u y n h ấ t ụ- tr o n g Đ ịn h lý 2.1.5 đượ c gọi là

độ đo bất biến c ủ a hệ h à m lặ p {fi}ịL ị.

N ếu m ỗi fi (i = 1, ra ) c ủ a hệ h à m lặ p {fi}ịỊ-i là p h é p đ ồ n g d ạ n g th ì

ỊX đượ c gọi là độ đo tự đồng dạng.

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 7 M ộ t hệ xác suất là m ộ t d ã y { X ị} ^ 1 các b iến n g ẫ u

n h iê n rời rạ c , đ ộ c lập , có c ù n g p h â n p h ố i, m ỗi b iế n n g ẫ u n h iê n Xi n h ậ n

các g iá tr ị th ự c ò i , , bm với các x á c s u ấ t tư ơ n g ứ n g là P i, , pm.

H ệ x á c s u ấ t đ ư ợ c gọi là hệ xác suất đều n ế u Pi = = Pm = 1 /m.

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 8 C h o p G (0,1) v à m ộ t h ệ x á c s u ấ t { X i , X 2, } , đ ặ t

s = p{Xị. K h i đó, đ ộ đo x á c s u ấ t Hp cho bởi

1=1

yUp(A) = P { c j : S(uj) e A} đ ư ợ c gọi là độ đo Fractal s in h b ỏ i s

N ếu hệ h à m lặ p {fi }ị L i tr ê n R có d ạ n g f i ( x ) = p ( x + bi), i = 1, , m

v à hệ các g iá t r ị x á c s u ấ t k ế t hợ p { p i \ ĩẸ=i c h ín h là các g iá tr ị x á c s u ấ t m à

x e A n B

(1.1)

oo

inỗi b iế n n g ẫ u n h iê n Xị n h ậ n th ì t a có t h ể chỉ r a rằ n g độ đ o F ra c ta l ịip

T ừ đ â y k ế t h ợ p với tín h d u y n h ấ t c ủ a đ ộ đo t ự đ ồ n g d ạ n g t a có ịẦp — ịi

D o vậy, t a ký h iệ u c h u n g là II v à gọi là đ ộ đ o F ra c ta l

T h e o J e n s e n v à W in tn e r th ì độ đo F r a c ta l H n ó i tr ê n h o ặ c là liên tụ c

tu y ệ t đ ố i h o ặ c là h o à n to à n k ỳ dị T ro n g trư ờ n g h ợ p độ đ o F ra c ta l /i h o à n

to à n kì d ị th ì m ộ t tr o n g n h ữ n g v ấ n đ ề tr ọ n g tâ m là n g h iê n cứ u c h iều đ ịa

p h ư ơ n g c ủ a nó K h á i n iệ m n à y đ ư ợ c đ ịn h n g h ĩa n h ư sau

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 9 Với s G s u p p ỊX, chiều địa phương dưới c ủ a ụ, tạ i s

k ý h iệ u là a(s) v à đ ư ợ c x á c đ ịn h b ỏ i

t \ - V ■ r ìữẽ K B { s , h ) ) a[s) = lim i n f -—— -— ,

h->0+ lo g h

tr o n g đó B(s, h) là h ìn h c ầ u tâ m t ạ i s, b á n k ín h b ằ n g h T ư ơ n g tự , t a đ ịn h

n g h ĩa chiều địa phương trên b ằ n g cách sử d ụ n g giới h ạ n t r ê n v à ký h iệu

n ó bởi ã(s ).

N ếu h a i giới h ạ n n à y b ằ n g n h a u th ì g iá t r ị giới h ạ n c h u n g đ ư ợ c gọi là

chiều địa phuơng c ủ a ịi tạ i s v à k ý h iệ u là a ( s )

T a k ý hiệu:

n là độ đ o F r a c ta l đ ư ợ c s in h r a b ỏ i h ệ x á c s u ấ t,

E = {a ( s ) : s € s u p p /i} , Ea = { s : s e s u p p /X, a ( s ) = a } ;

ã = s u p ( ã ( s ) : s e s u p p fi}] a — in f { a ( s ) : s e s u p p ụ,}]

Q* — su p { a ( s ) : s G s u p p ịi} v à Oi* = in f { a ( s ) : s £ s u p p fi}.

G iả sử Xq, Xi, là d ã y các b iế n n g ẫ u n h iê n rời rạc, đ ộ c lập , có c ù n g

p h â n p h ố i, m ỗi b iế n n g ẫ u n h iê n Xi n h ậ n c ác g iá tr ị 0,1,4 với các x á c s u ấ t

K ý h iệ u ỊJL v à Ịin tư ơ n g ứ n g là các đ ộ đ o F r a c ta l s in h bởi s v à 5 n , n g h ĩa là

ịjl{A) = P{co : S(l>) e A}\ ịin(Á) = P { i 0 : Sn{co) e Á).

2 2 C á c k ế t q u ả b ổ t r ợ

B ỗ đ ề 2 . 2 . 1 Giả sử

s k = Ỵ 2 3~ixi > s ' k = ỵ 2 3~ix, i> s k = s 3~ix"