phương trình mặt phẳng 2

NHỮNG VÍ DỤ CƠ BẢN Trong phần này sẽ trình bày cách viết các dạng phương trình mặt phẳng, đường thẳng cơ bản để làm cơ sở cho việc giải quyết các bài toán tổng hợp.. Phương trình mặt ph

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

- Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta cần biết được véc tơ pháp tuyến n và một điểm M thuộc mặt phẳng đó:

- Để viết phương trình đường thẳng () ta cần biết được véc tơ chỉ phương

u và một điểm M thuộc đường thẳng đó:

- Việc tìm n,  n u ta cần dựa vào các quan hệ song song và vuông góc: + Nếu mặt phẳng (P)  mp(Q) np  nQ

Nếu mặt phẳng (P) // mp (Q) nP // nQ khi viết phương trình ta có thể chọn

nP ≡ nQ

+ Nếu đường thẳng ()  (’)  → 

→

+ Nếu đường thẳng () // (’)  → //

→ Khi viết phương trình ta có thể chọn → ≡

→

+ Nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng () hoặc mặt phẳng (P) chứa đường đường thẳng () thì nu

+ Nếu mặt phẳng (P) () thì n // u khi viết phương trình ta chọn n = u

Trong trường hợp giả thiết không đủ điều kiện để suy ra trực tiếp u, n ta có thể gọi {→ (a; b; c) → (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ≠ 0 sau đó ta dựa vào các giả thiết liên quan đến

quan hệ song song để đưa véc tơ {→ (a; b; c) → (a; b; c) về còn hai ẩn số sau đó đưa vào các giả thiết về góc hoặc khoảng cách để thiết lập quan hệ hai ẩn theo dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 và chọn giá trị

NHỮNG VÍ DỤ CƠ BẢN

Trong phần này sẽ trình bày cách viết các dạng phương trình mặt phẳng, đường thẳng cơ bản để làm cơ sở cho việc giải quyết các bài toán tổng hợp

1 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với mặt phẳng

(∝)cho trước

PP: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (∝) nên VTPT qua (P) chính là VTPT của mặt phẳng (∝) Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là

n = →

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1;2;3) song song với mặt phẳng

(Q): 2x – 3y + 2z – 1 = 0

Giải

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên VTPT của mặt phẳng (P)

là n (2;-3;2)

⇒ mp(P): 2(x+1) – 3(y-2)+2(z-3)=0 2x – 3y + 2z + 2 = 0

2 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với 2 mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

PP: mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

nên[→ ⊥ → ⊥ →→ ⇒ n=[→ ; →] Lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P), (Q), (R)

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M có VTPT n

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (1;-1;2) và vuông góc với 2 mặt phẳng (Q): x- 3z + 1 = 0; (R): 2x + y – z + 1 = 0

Lời giải

Gọi n; n1; n2 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P), (Q), (R)

Vì {𝑚𝑝(𝑃) ⊥ 𝑚𝑝(𝑄)𝑚𝑝(𝑃) ⊥ 𝑚𝑝(𝑅) ⇒ {→ ⊥→ ⊥ →→ ⇒ n = [→ ; →] = (3;-5;1)

Phương trình mặt phẳng

(P): 3(x-1)- 5 (y+1) + 1(z-2) = 0 3x – 5y + z – 10 = 0

3 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q)

PP: Gọi n, n1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B và mp (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên [→ ⊥ → ⊥ →

→ ⇒ n=[→ ; → ] Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(0;1;0) và B(1;2;-2)

và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 13 = 0

Lời giải

Gọi n, n1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có n1 = (2;-1;3) và

→ =(1;1;-2) vì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P) đi qua AB nên n = [n1 ,

→ ] = (1;-7;-3)

⇒ mp(P) : x – 7(y-1) – 3z =0 x – 7y – 3z + 7 = 0

4 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C cho trước

PP: Gọi n là VTPT của mặt phẳng (P) Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B, C

nên[→ ⊥ → ⊥ →

→ ⇒ n=[ → ;

→ ]

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M có VTPT là n

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;1), B(0;2;0), C(0;1;2)

Lời giải

Gọi n là VTPT của mặt phẳng (P) Vì mặt phẳng (P) qua A,B, C nên

[→ ⊥ → ⊥ →

→ ⇒ n=[ → ;

→ ]

Ta có

→ (-1;2;-1);

→ (-1;1;1); ⇒n(3;2;1) ⇒ phương trình mặt phẳng (P): 3(x-1) + 2y + 1(z-1) = 0  3x + 2y – z – 4 = 0

5 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R)

PP:

- Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của phương trình gồm 2 phương trình mặt phẳng (P) và (R)

- Từ hệ chọn ra 2 điểm A, B thuộc giao tuyến sau đó viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M như dạng 4

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;0;1) và giao tuyến 2 mặt phẳng (R): x + 2y – z – 4 = 0; (Q): 2x + y + z – 4 = 0

Lời giải

Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ : {𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 4 = 02𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0

Cho z = 4 ⇒ {𝑥 + 2𝑦 = 02𝑥 + 𝑦 = 0 ⇒ {𝑦 = 0 ⇒A(0;0;4) thuộc giao tuyến 𝑥 = 0

Cho x = 1⇒ {𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 = 2 ⇒ {𝑦 = 1 ⇒B(1;1;1) thuộc giao tuyến 𝑧 = 1

⇒mp(P) đi qua M, A, B (dạng 4)

→ (-2;0;3);

→ (-1;1;0) ⇒ VTPT n = [

→ ;

→ ] =(-3;-3;-2) Mặt phẳng (P) đi qua M nên có phương trình:

-3(x-2) – 3y – 2(z-1) = 0  3x + 3y + 2z – 8 = 0

6 Viết phương trình mặt phẳng (P) hợp với mặt phẳng (Q) một góc ∝ cho trước

PP: Gọi phương trình mặt phẳng

(P): ax + by + cz + d = 0 , (a2 + b2 + c2 ≠ 0 )

Dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c sau đó đưa mặt phẳng về dạng có

ít tham số nhất (thông thường chứa nhiều nhất là 2 tham số trong 4 tham số a, b, c, d)

Giả sử mặt phẳng (Q): kx + my + nz + q = 0

Vì (P) tạo với (Q) góc ∝ |cos (n; →)|=cos ∝

Với n, n1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

Từ giả thiết ⇒ |n; → |

|n||

→ | = cos ∝

Từ đó tìm các giá trị tham số thay vào ta có phương trình mặt phẳng

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục 0z tạo với mặt phẳng (Q):

2x – y + √11 z + 3 = 0 một góc 60

Lời giải

Vì mặt phẳng (P) chứa 0z nên (P) có dạng ax + by = 0 , (a2 + b2 + c2 ≠ 0 ) VTPT mặt phẳng (P) : n(a;b;0) , VTPT mặt phẳng (Q) n1(2; -1 ; √11)

Có[(P), (Q)] = 60 ⇒ cos(→ ;→)= cos 60

⇔ | √ |

√ √ ( ) = 12

⇔ |2𝑎 − 𝑏| = 2√𝑎 + 𝑏 ⇔ 4𝑎 + 𝑏 − 4𝑎𝑏 = 4𝑎 + 4𝑏

⇔ 3𝑏 + 4𝑎𝑏 = 0 ⇔ [𝑏 = −𝑏 = 04

3 𝑎 TH1: b=0 chọn a =1 suy ra mặt phẳng (P): x= 0

TH2: b=….chọn a = 3 suy ra b=-4 suy ra (P): 3x – 4y = 0

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;0) , B(0;-2;0) và tạo với

mặt phẳng (Q): y – x + 7 = 0 một góc 60

Lời giải

Mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz + d = 0

Mặt phẳng (P) đi qua A, B nên

{ 𝑎 + 𝑑 = 0

−2𝑏 + 𝑑 = 0⇔{

𝑎 = −𝑑

𝑏 =𝑑2 ⇒ 𝑚𝑝(𝑃) 𝑑𝑥 +

𝑑

2 𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

⇔ -2dx + dy + 2cz + 2d = 0 (*) (d2 + c2 ≠ 0)

VTPT mp (P): n(-2d;d;2c)

VTPT mp (Q): n1(0;1-1)

Vì mặt phẳng (P) tạo với mp (Q) một góc 60 độ suy ra:

|cos (n; →)|=cos 60 ⇔ | |

√ √ ( )

= 12

⇔ √2 |𝑑 − 2𝑐| = √5𝑑 + 4𝑐

Bình phương hai vế ta được:

2d2 + 8c2 - 8dc =5d2 + 4c 4c2 - 8dc - 3d2 = 0 coi c là ẩn ta có:

’ = (-4d)2 + 12d2 = 28 d2

⇒ √ =2 √ 7d

TH1: c =( √ )𝑑 chọn d = 2 suy ra c=2 − √7 thay vào (*) có mặt phẳng: (P): -4x + 2y + 2(2 − √7)z + 4 = 0 ⇔ -2x + y+ (2 − √7)z + 2 = 0

TH2: c= ( √ )𝑑 chọn d = 2 suy ra c=2 + √7 thay vào (*) có mặt phẳng: (P): -2x + y + (2 + √7) + 2 = 0

7 Tìm hình chiếu vuông góc của M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) lên mặt phẳng

(P): ax + by + cz + d = 0

PP:

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) suy ra M là giao điểm của

mp (P) với đường thẳng  qua M và vuông góc với mp(P)

Viết phương trình tham số (): {

𝑥 = 𝑥 + 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑦 + 𝑏𝑡

𝑧 = 𝑧 + 𝑐𝑡 ⇒ (𝑥 + 𝑎𝑡; 𝑦 + 𝑏𝑡; 𝑧 + 𝑐𝑡)

Vì H thuộc mp (P) thay vào phương trình (P) ⇒ t ⇒H

Cách 2: Vận dụng khi a, b, c ≠ 0 H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) suy

ra

→ cùng phương với VTPT n(a;b;c) của mp(P)

Giả sử H(x1; y1;z1) ⇒ax1 + by1 + cz1 + d = 0 (1)

⇒

→ (x1 -x0; y1 -y0; z1 -z0) (2)

Có ( ) ( ) ( )

=

⇒ {

𝑥1

𝑦1

𝑧1

Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(3;6;2) lên mặt phẳng

(P): 5x – 2y + z + 25 = 0

Lời giải

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) suy ra M là giao điểm

của mp (P) với đường thẳng : { 𝑎

⊥ 𝑚𝑝(𝑃)

  mp(P) ⇒u(5;-2;1)

 qua M(3;6;2) suy ra PTTS () : {𝑥 = 3 + 5𝑡𝑦 = 6 − 2𝑡

H () ⇒ H(3+5t; 6-2t; 2+t)

H mp(P) ⇒ 5(3+5t) – 2(6-2t) + 2+ t+ 25 = 0

Suy ra 30 t = -30 ⇒ t =-1 ⇒ H(-2;8;1)

Cách 2: Giả sử H(x1; y1;z1), H (P) nên 5x1 -2y1 +z1 + 25 =0

→ (𝑥 3; 𝑦 6; 𝑧 2) ,

→ cùng phương với n

⇔ 𝑥 3

5 =

𝑦 6

−2 =

𝑧 2

5(𝑥 3) − 2(𝑦 6) + (𝑧 2)

5 5 − 2 (−2) + 1 1

=

=

= -1

⇒ x1= -2; y1=8;z1=1 suy ra H(-2;8;1)

8 Tìm điểm M 1 đối xứng với M qua mp(P)

PP: Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) là H (Dạng 7)

M1 đối xứng với M qua mp(P) suy ra H là trung điểm của MM1

⇒ {

𝑥 1 = 2𝑥 − 𝑥

𝑦 1 = 2𝑦 − 𝑦

𝑧 1 = 2𝑧 − 𝑧

⇒

9 Viết phương trình mp(P) qua M chứa đường thẳng 

PP: Trên  chọn điểm M0   ⇒ M0 (P)

Gọi u, n lần lượt là VTPT của mp(P) và VTCP của ()

⇒ {

→ ⊥ →

→ ⊥ 0 ⇒ → = [→; 0]

Từ đó viết phương trình mp(P) qua M có VTPT là n

Ví dụ: Cho M(2;3;1) và đường thẳng (): =

= Viết phương trình mp(P) chứa () và đi qua M

Giải

Gọi u, n lần lượt là VTPT của mp(P) và VTCP của ()

Dễ thấy M0(1;2;0)  () ⇒ M0 P Ta có MM0(-1;-1;-1), u(2;-1;5)

Vì mp(P) qua M chứa () nên {

→ ⊥ →

→ ⊥

→ ⇒ → = [→; → ]= (6;-3;-3)

⇒ (P): 6(x-2) – 3(y-3) – 3(z-1) ⇒ 2x-y – z = 0

10 Viết phương trình đường thẳng () đi qua 2 điểm A, B

PP: Gọi u là VTCP của () ⇒ u= → Từ đó viết pt () { 𝑎

𝑃 →