phương pháp hay giải phương trình vô tỷ

bài việt này giúp các bạn một phần nào đó năm rõ hơn các phương pháp giải phương trình – bất phương trình vô tỉ.. Phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời ha

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ

Phương trình – Bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp trong các

kì thi các cấp 2,3 và Đại Học, đặc biệt là phương trình vô tỉ Phương trình – Bất phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú về đề bài cũng như cả lời giải Một bài phương trình – bất phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách

giải điều có ý nghĩa riêng của nó Tuy nhiên việc tìm ra lời giải cho một phương

trình – bất phương trình không phải là chuyện đơn giản đối với nhiều bạn Đứng trước một bài toán giải phương trình – bất phương trình nhiều bạn rất lúng túng không biết xoay xở thế nào ? bài việt này giúp các bạn một phần nào đó năm rõ hơn các phương pháp giải phương trình – bất phương trình vô tỉ Những lời giảinêu ra ở đây không có thể không phải là hay nhất và duy nhất, tuy nhiên với ca nhân tôi thì tôi thấy nó phù hợp với cách trình bày và đúng luồng của dạng toán

Hy vong chuyên đề này sẽ đồng hành với các bạn, hỗ trợ cho các bạn mộtphần nào

đó trên con đường bước vào cổng trường Đại Học và các bạn sẽ đam mê với môn học 3 khờ (Khó – khổ - khô )này

Mặc dù đã cố gắng trình bày cẩn thận nhưng sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót mong các bạn thông cảm nhé

Biên Hòa 03 – 03 -2008.

Phương trình chứa ẩn ở căn thức

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x 0;x 1 

Qua lời giải trên ta thấy được x x 2 sẽ biểu diến được qua x  1 x nhờ vào đẳng

cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*) Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình chẳng hạn ở phương trình trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong

2

t(t 1)(2t 4t 3) 0   t 0,t 1 hay x 0,x 1  là nghiệm của phương trình

Phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa mãn (**) do vậy ta có thể đặt a x,b 1 x thì từ phương trình đã cho kết hợp với

đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta

được nghiệm của phương trình là x=0 và x=1 Bản chất cách giải này chính là cách đặt

ẩn phụ t 1 x mà ta đã giải ở trên

Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ?Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác:sin2 cos2 1.Điều này dẫn đến cách giải sau:

I Phương pháp biến đổi tương đương :

Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình biến đổi phương trình, bất phương trình ban đầu về phương trình, bất phương trình đã biết cách giải

Ta nhớ lại các tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đổi đối với phương trình và bất phương trình

1) ( a )n n a ( Nếu n chẵn thì cần thêm điều kiện a 0 )

2) a b a2n b2n với a và b cùng dấu

3) a b a2n 1 b2n 1 với mọi a,b

4) a b 0   a2n b2n (Chú ý nếu a,b<0 thì a b     khi đó hai vế cùng a bkhông âm và lúc đó ta mới lũy thừa bậc chẵn hai vế)

5) a b a2n 1 b2n 1 a,b ¡

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 1 3x 1  

Giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trình vô nghiệm nên ta

chỉ cần giải phương trình khi 3x 1 0 x 1

Vì VT của (1) luôn không âm nên nếu VP(1) 0 thì Bất phương trình vô nghiệm, do đó

ta chỉ giải Bất phương trình khi x 2 0    Bình phương hai vế ta được Bpt:x 2

2x 6x 1 (x 2)   Nếu x0 bất phương trình này thì ta chưa thể khẳng định được

2

2x 6x  1 0 do đó ta phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn Vậy bất

phương trình đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trình sau:



   là nghiệm của bất phương trình đã cho

Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trình trên là:

2(x 16) 0 do đó ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn

Vậy để giải bất phương trình (2) ta chia làm hai trường hợp

Lấy hợp hai trường hợp ta có nghiệm bất phương trình là: x 10  34.

Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trình (2) là: f (x) g(x) Để giải bpt này ta chia làm hai trường hợp:

x cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 0; 9

4

x x 

Chú ý : 1) Bài toán trên còn có cách giải khác như sau

* x 0 là một nghiệm của phương trình

31 x 31 x    1 2 3 1 x ( 1 x 3   31 x )  1 31 x 2    1 x 0Nhưng thay vào phương trình ban đầu ta thấy x=0 không thỏa mãn phương trình !

* Với dạng tổng quát 3a  3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

1x2

* Câu 1 có dạng tổng quát như sau: x2  x a a 

* Với bài toán 2 ta còn có cách giải khác như sau

5( 4x+1 3)( 3x 2 2)

* Với x 0 ta thấy Bpt luôn đúng

* Với x 0  1 x 1 0  Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được

Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T ( ; 1] {2} [3; )

2

Chú ý : * Ở bài toán 2 ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng

ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

* Khi giải bất phương trình nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế cảu bất phương trình cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp

Vậy | m | 4 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý : Bài toán trên ta có thể giải ngắn ngọn hơn như sau: Nếu (2) có nghiệm thì

II Phương pháp đặt ẩn phụ:

Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng một biểu thức

ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình

ẩn phụ tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm ẩn ban đầu

Với phương pháp này ta thường tiến hành theo các bước sau

B1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ

Bước này là bước quan trọng nhất Ta cần phải chọn biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ,

để làm tốt bước này ta phải nhận xét được mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình, bất phương trình Cụ thể là ta phải tìm được sự biểu diễn của các biểu thức chứa ẩn trong phương trình qua một đại lượng khác

B2: Chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) ẩn phụ vừa đặt.

Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì phương trình thu được thường là những phương trình (bpt) mà ta đã biết cách giải Khi tìm được nghiệm ta cần chú ý đến điều kiện của

ẩn phụ để chọn những nghiệm thích hợp

B3: Giải phương trình (bpt) với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận tập nghiệm.

Có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta đi xét một số dạng phương trình (bpt) mà ta thường hay gặp

t 0 ) và chuyển về phương trình F(t) 0 giải phương trình này ta tìm được tx.Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: af (x) b f (x) c 0  

1) Đặt t  x2 2x 24, ( t 0)   x2 2x 24 t  2 x2 2x 22 2 t   2

Bất phương trình trở thành: 2 t 2   t 0 t2      t 2 0 0 t 1

2 2

Chú ý : Nếu gặp bài toán có tham số thì khi đặt ẩn phụ ta phải tìm đúng miền xác định

của ẩn phụ và sự tương ứng giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu Từ đó chúng ta mới chuyển bài toán ban đầu về bài toán mới

Ví dụ 3 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: x2 2x 2m 5 2x x   2 m2

Giải:

Đặt t 5 2x x  2  6 (x 1)  2  t [0; 6] và x2 2x 5 t  2

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 2mt m 2  5 0 (*)  t m 5

Phương trình đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t [0; 6] hay

Vì m 0  (*) luôn có hai nghiệm t phân biệt (Do 2 5 2 3

   luôn có một nghiệm t 2 hay phương trình đã cho luôn có nghiệm

Chú ý : * Nếu tam thức f (x) ax 2 bx+c thỏa mãn af ( ) 0   tam thức luôn có nghiệm và nếu a>0 thì nghiệm đó   nếu a<0 thì nghiệm đó  

Ví dụ 1: Cho phương trình: 3 x  6 x m   (3 x)(6 x) 

1) Giải phương trình khi m=3

2) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Xét hàm số f (t)= t2 - 2t 9- với t [3;3 2]Î , ta thấy f(t) là một hàm đồng biến

Bất phương trình đã cho trở thành: t t 2  1 181t2  t 182 0   0 t 13

Vì hàm số f (x) 7x 7  7x 6 là hàm đồng biến và f (6) 13 (*) x 6Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình : 6 x 6

Dạng 3: F( f (x), g(x)) 0n n  , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.

Với dạng này ta xét hai trường hợp:

TH1: g(x)=0 thay vào phương trình ta kiểm tra,

TH2: g(x) 0 chia hai vế phương trình cho g (x)k và đặt n f (x)

tg(x)

 ta được phương trình F (t) 01  là phương trình đa thức bậc k

Nhận xét: Qua cách giải trên ta thấy được cơ sở của phương pháp giải dạng toán này và

cũng là con đường để sáng tác ra những bài toán thuộc dạng trên là xuất phát từ phương trình đẳng cấp hai ẩn dạng       (có thể bậc cao hơn) ta thay thế a,b bằng a2 ab b2 0các biểu thức chứa x và biến đổi đi chút ít để che dấu đi bản chất sao cho phương trình thu được dễ nhìn về mặt hình thức và mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình càng khó nhận ra thì bài toán càng khó Do đó với dạng toán này chúng ta cần biết nhận xét mối quan hệ giữa các biểu thức có mặt trong phương trình Tuy nhiên nếu khéo léo giấu đi mối quan hệ đó thì việc tìm ra lời giải là một vấn đề hết sức khó khăn Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x2 14x 9  x2  x 20 5 x 1 

Giải: ĐK

2 2

2



Chú ý : Trong nhiều bài toán ta có thể đưa vào những ẩn phụ khác để làm đơn giản hình

thức bài toán và từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x 5  6.

Nhận xét: Xuất phát từ phương trình : (a b)(2a b)(3a b) 0    ta thay

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Qua các ví dụ trên ta thấy việc đặt biểu thức nào bằng ẩn phụ là mẫu chốt của bài toán

Để chọn được biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp thì sau khi đặt ta phải biểu diễn được các biểu thức chứa x khác trong phương trình , bất phương trình đã cho qua ẩn phụ vừa đặt Tuy nhiên trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diến hết các biểu thức chứa x

có mặt trong phương trình , bất phương trình qua ẩn phụ được ( Chẳng hạn phương trình : 2(1 x) x 2 2x 1 x  2 2x 1 ) mà ta chỉ biểu diễn được một phần nào đó qua

ẩn phụ và phương trình thu đượclà một phương trình hai ẩn gồm ẩn cũ và ẩn phụ vừa đặt Ta xét dạng toán sau

Dạng 4: a.f (x) g(x) f (x) h(x) 0   Với phương trình dạng này ta có thể đặt

t f (x), khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at2 g(x)t h(x) 0  , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x   1 6

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2

12 8x2x 4 2 2 x

* t   x 8 2 8 2x 2    phương trình này vô nghiệm (do (*)).x 8 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 2;x 4 2

Sử dụng máy tính ta thấy (*) có duy nhất nghiệm x 5,362870693

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 3 và nghiệm gần đúng x 5,362870693

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Đặt ẩn phụ các hàm lượng giác:

Khi giải phương trình lượng giác ta thường đặt ẩn phụ cho các hàm số lượng giác và chuyển về phương trình đại số cơ bản mà ta đã biết giải Tuy nhiên trong nhiều trường hợp cách làm ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm số lượng giác

ta sẽ chuyển bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải giải quyết bài toán lượng giác này

Chúng ta nên lưu ý đến những tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác:

Với hàm số sin và côsin:

* Tập giá trị của hai hàm số này là [ 1;1]

* sin2 cos2   1 1 sin2 cos2

Với hai hàm số tan và cotan

Để trả lời câu hỏi này thì chúng ta cần phải xác định là cần làm xuất hiện gì thì sẽ loại

bỏ được căn thức ? Ta phải biến đổi 1 x 2 a2! đẳng thức này sẽ gợi cho chúng ta nhớ đến công thức lượng giác giữa sin và cosin Điều này hoàn toàn hợp lí vì ta thấy được điều kiện xác định của x là đoạn [ 1;1] Vậy ta có cách giải như sau:

Đặt x cos t, t [0; ]   Khi đó phương trình trở thành:

      là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Cơ sở để dẫn đến cách đặt như trên là miến xác định của x [ 1;1]  và cần biến đổi 1 x 2 a2 Từ đây ta có được nhận xét tổng quát hơn như sau:

* Nếu | u(x) | a thì ta có thể thực hiện phép đặt u(x) asin t , t [ ; ]

2 2

 

u(x) a cos t, t [0; ]  

* Nếu u(x) [0;a] thì ta có thể đặt u(x) a sin t, t [0; ]2

+) Với cos t 31 sin t 1 31

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 3 4 1; x 0 

Chú ý : * Ở trên ta thực hiện phép đặt x sin t , ta cũng có thể đặt x cos t tuy nhiên nếu đặt x cos t thì sẽ dẫn đến bài toán biến đổi phức tạp hơn

     nên ta chưa khẳng định được sin t

2 dương hay âm, do

đó khi đưa ra khỏi căn thức thì ta phải có trí tuyệt đối

* Với x 2 x3 3x x x(x  2 4) x  x 2  phương trình vô nghiệm

* Với   2 x 2, đặt x 2cos t, t [0; ]   Khi đó phương trình đã cho trở thành

3

t 0t

trình đã cho trở thành: 64cos t 112cos t 56cos t 7 2sin t6  4  2   (*).

Mặt khác cos7t 64cos t 7 112cos t 56cos t 7cos t5  3  nên

2

cos t cos t.cos 2t

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 1 1 x 2 x(1 2 1 x )  2

2) 1 x 2 4x33x (x 1 ;x 2 2

42

 giải hệ này ta tìm được u, v Từ đây ta có được x.

Chú ý : Để tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: n a f (x) u  hoặc

Chú ý : * Dạng tổng quát của phương trình trên là: ax b r(u.x v)   2 dx e , trong đó: u ar d;v br e    Để giải phương trình này ta đặt:

ax b u.y v   và đưa về hệ đối xứng loại II

* Tương tự ta cũng có lời giải cho phương trình : 3ax b r(u.x v)   3 dx e , trong đó: u ar d;v br e    Để giải phương trình này ta đặt:

3 ax b u.y v   và đưa về hệ đối xứng loại II

là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Phương pháp lượng liên hợp

Ta biết x x 0 là nghiệm của phương trình 0 f

Mà theo định lí Bơzu nếu x=a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) (x a)P (x)  1

Từ đó ta có nhận xét: Nếu x0 là một nghiệm của phương trình f (x) 0 thì ta có thể đưa phương trình f (x) 0 về dạng (x x )f (x) 0 0 1  và khi đó việc giải phương trình

f (x) 0 quy về giải phương trình f (x) 01  Ta xét ví dụ sau:

* Với x 0 bất phương trình trở thành: 0  (đúng) x 04  là một nghiệm bpt.

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình : 1 x 8  

Nhận xét: Ở trên ta nhân liên hợp với mục đích là trục căn thức ở mẫu Khi nhân cả tử

và mẫu ở VT với biểu thức 1 1 x thì biểu thức đó phải khác không nên ta phải chia làm trường hợp như trên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 3

Chú ý : * Trong cách trên chúng ta không nhân liên hợp ngày ở VT mà chúng ta thêm -1

vào mỗi căn thức rồi mới nhân liên hợp, cách làm vậy là để xuất hiện thừa số chung x-3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 3

Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

     là nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý : Bài toán trên có thể giải bằng cách đánh giá như sau

2

       thì hai vế cảu phương trình bằng nhau

* Nếu 2x2   x 1 VT VP  phương trình vô nghiệm

* Nếu 2x2   x 1 VT VP  phương trình vô nghiệm

x 2x 7 0    x 1 7 là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Qua những ví dụ trên ta thấy sau khi tạo ra thừa số chung, thì ta tìm cách

chứng minh biểu thức trong dấu () còn lại luôn âm hoặc luon dương Tuy nhiên không phải bài nào cũng xảy ra trường hợp đó Ta xét bài toán sau