ltđh viết phương trình tiếp tuyến

Ngu n: Hocmai.vn.

CHUYÊN LUY N THI T T NGHI P THPT

MÔN: TOÁN

- Giúp các b n n m v ng v bài toán v vi t ph ng trình ti p tuy n

- H c sinh s thành th o trong các bài toán liên quan v ti p tuy n

Trong m c này ta ch trình bày ng d ng c a đ o hàm trong các bài toán v ti p xúc, nói riêng trong các bài toán liên quan đ n ti p tuy n

làm t t đ c đi u này ta c n chu n b t t các n i dung sau:

a) Hi u các công th c c b n sau: a tt = f x′( 0)

y−y0 = f x′( 0)(x−x0)

b) C n phân bi t rõ hai khái ni m

- Ti p tuy n v i đ ng cong t i đi m M n m trên đ ng cong

- Ti p tuy n v i đ ng cong đi qua đi m M (có th M không n m trên đ ng cong)

1.1 Ti p tuy n v i đ ng cong t i đi m M n m trên đ ng cong

Ví d : Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong y = 2x3

– 3x2 Bi t r ng ti p tuy n song song

v i đ ng th ng y = 12x + 1

Bài gi i: G i hoành đ ti p đi m là x Khi 0 đó '( ) 2

tt

a = y x = x − x0

Vì ti p tuy n song song v i đ ng th ng y = 12x + 1, nên a tt =12,

hay 6x02−6x0 =12 ⇔ 2 -

0

1 2

x x

= −

⎧

⎨ =

⎩ + N u x0 = −1, khi đó ti p tuy n ph i trên có d ng : y−y0 = f x′( 0)(x−x0)

Áp d ng vào đây v i x = - 1, y = − , 4 y' = f x′( )=12suy ra

y – (– 4) = 12(x + 1)

hay y = 12x + 8

+ N u x0 =2, khi đó y0 = −4, '

0 12

y = và ti p tuy n có d ng

y + 4 = 12(x –2)

hay y = 12x – 28

Tr l i: Có 2 ti p tuy n ph i tìm là y = 12x + 8 ho c y = 12x – 28

Nh n xét: Tr c h t tìm ti p đi m sau đó s d ng công th c vi t ph ng trình ti p tuy n t i M n m trên đ ng cong

1.2 Ti p tuy n v i đ ng cong đi qua đi m M không n m trên đ ng cong

Ví d : Cho đ ng cong y = 3x – 4x3

Vi t ph ng trình ti p tuy n bi t r ng ti p tuy n đi qua đi m

M (1, 3)

Bài gi i: - Tr c h t có nh n xét sau: i m M (1, 3) không n m trên đ ng cong đã cho (vì khi x =

1, thì y = - 1) Do v y n u ai “máy móc” áp d ng công th c y−y0 = f x′( 0)(x−x0) đây là sai

- Khi gi i các bài toán v s ti p xúc gi a các đ ng, ng i ta s d ng m nh đ sau:

M nh đ : Hai đ ng y = f(x) và y = g(x) c t nhau t i đi m M có hoành đ x n u nh h sau 0 đây

( )

f x g x

f x g x

⎪

⎨

=

⎪⎩

Quay tr v bài toán c a ta: G i ti p tuy n c n tìm là y = ax + b Vì ti p tuy n đi qua M(1,3) nên ta có: 3 = a + b ⇒ b = 3 – a Do đó ti p tuy n ph i tìm có d ng: y = ax + 3 – a

G i x là hoành 0 đ ti p đi m, ta có h sau: 0 03 0

2 0

3 12 (2)

1)

⎪

⎨

⎪⎩

Thay (2) vào (1) ta đi đ n ph ng trình sau đ xác đ nh x 0

3 0

8x - 12x02 = 0

0

0

0 3 2

x x

=

⎡

⎢

⇔

⎢ =

⎣

- N u x = 0 0 ⇒ a = 3 Lúc này ti p tuy n có d ng: y = 3x

- N u 0 3

2

x = ⇒ a = - 24 Bây gi ti p tuy n có d ng: y = –24x + 27

Tr l i: Qua đi m M (1, 3) có hai ti p tuy n y = 3x và y = - 24x + 27

Ví d : Cho đ ng cong y = x3

+ 2x2 Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong, bi t r ng ti p tuy n đi qua đi m M (1, 3)

Bài gi i: Hãy xem và bình lu n l i gi i sau:

Vì đi m M (1, 3) n m trên đ ng cong y = x3

+ 2x2 V y áp d ng công th c và ph ng trình ti p tuy n đã h c, ta có: y−y0 = f x′( 0)(x−x0) ( đây x = 1, 0 y = 3, 0 y0' = f x′( 0)=3x02+4x0 = 7)

y – 3 = 7(x – 1) hay y = 7x - 4

L i gi i trên s là đúng, n u đ u bài vi t là: Vi t ph ng trình ti p tuy n t i đi m M (1, 3) n m trên

đ ng cong

Tuy nhiên l i gi i đó là ch a đúng v i yêu c u c a đ u bài (đòi h i ti p tuy n đi qua M(1,3) L i

gi i đúng nh sau :

Ti p tuy n ph i tìm có d ng y = ax + b, trong đó 3 = a + b (do ti p tuy n đi qua M (1, 3) V y y =

ax + 3 – a là d ng c a ti p tuy n

G i x là hoành 0 đ c a ti p đi m và ta có h sau: 03 02 0

2

(1)

⎪

⎨

⎪⎩

Thay (2) vào (1) và có ph ng trình sau: 2( )

(x −1) 2x + = 0 3

- N u x - 1 = 00 ⇒ x = 1 0 ⇒ a = 7 Lúc này ti p đi m có d ng y = 7x – 4

- N u x = 0 3

2

− ⇒ a = 3

4 Lúc này ti p tuy n có d ng : y =

4x+4

Nh th qua đi m M (1, 3) có hai ti p tuy n v i đ ng cong đã cho:

y = 7x – 4 và y = 3 9

4x+4

Nh n xét: Vì M (1, 3) n m trên đ ng cong nên ti p tuy n đi qua M có hai lo i

1) T i M: ó là y = 7x – 4

2) i qua M mà không t i M: ó là y = 3 9

4x+4

Vì l đó m c d u n u M n m trên đ ng cong, nh ng n u đ u bài đòi h i: Vi t ph ng trình ti p tuy n đi qua M thì ph i gi i theo ph ng pháp s d ng m nh đ c b n v s ti p xúc, n u máy móc áp d ng công th c y - y = 0 y0' (x− ) thì s m t nghi m x0

Ta có th hình dung d dàng s ki n này b ng hình nh tr c giác sau:

Trên hình v cho đi m M n m trên đ ng cong y = f(x) Có hai ti p tuy n

- y1= ax + b là ti p tuy n v i y = f(x) t i M

- y2 = cx + d là ti p tuy n v i y = f(x) đi qua M nh ng không t i M

Nh v y trong thí d trên qua M có hai ti p tuy n v i y = f(x) (m c dù M n m trên đ ng cong)

1.3 L p các bài toán v s ti p xúc r t đa d ng

Có th li t kê ra đây các lo i bài toán thông d ng nh t

1 Tìm đi u ki n đ hai đ ng ti p xúc v i nhau (đ c xét riêng bài sau)

2 Bài toán v ti p tuy n xu t phát t m t đi m

3 Bài toán v ti p tuy n chung

4 Các bài toán đ nh tính v ti p tuy n

Xin đ a ra vài ví d m u

Ví d : Cho hai đ ng cong y = x2

– 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10 Vi t ph ng trình ti p tuy n chung

Bài gi i: G i y = ax + b là ti p tuy n chung G i x và 0 x t1 ng ng là các ti p đi m c a ti p tuy n

v i y = x2 – 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10

Theo m nh đ c b n v ti p tuy n ta có h ph ng trình sau (có 4 n là a, b, x0,x ) 1

2

0 3

2 1

x x ax b

⎪

− =

⎪⎪

⎨

⎪

⎪ + =

⎪⎩

)

)

T (2) và (4) suy ra: 2x - 5 = 0 3x12 + 3 hay x = 0

2 1

3 2

x +8 (5)

0 5 0 6 0(2 0 5)

0

x (6)

Thay (5), (6) và (2) vào (3) ta có: x13+3x1−10=( 2 )

3x +3 x + 6 - ( 2 )2

1

4

x +

8x −9x − x48 1 = 0 ⇔ 2 2 = 0

1(9 1 8x1 48)

x x − + ⇔ = 0 x1

Vì th t (4) có a = 3, r i t (5) suy ra x = 4 T 0 đó theo (6) đi đ n b = - 10

Tóm l i hai đ ng cong đã cho có duy nh t m t ti p tuy n chung ó là đ ng y = 3x – 10

III C NG C KI N TH C

Bài 1. ( i h c, cao đ ng kh i B – N m 2004)

Cho hàm s y = 1 3 2 2 3

3x − x + x ( C)

Vi t ph ng trình ti p tuy nΔ v i (C) t i đi m u n và ch ng minh r ng Δ là ti p tuy n c a (C) có

h s góc bé nh t

Bài gi i: y = x' 2 – 4x + 3 , y = 2x – 4 ''

''

y = 0 khi x = 2 và đ o hàm y '' đ i d u khi qua x = 2

V y (C) có đi m u n t i: A 2,2

3

⎛

⎜

⎝ ⎠

⎞

⎟ Khi x = 2 thì y = - 1 '

V y ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m u n là: y - 2

3 = - (x – 2) hay y = - x +

8 3

Ta có a tt= -1 (1)

H s góc c a m t ti p tuy n b t k t i đi m M (có hoành đ x) n m trên (C) là:

k = y (x) = x' 2 – 4x + 3 Ta có k = (x – 2)2 – 1 - 1 (2) ≥

T (2) suy ra h s góc c a ti p tuy n c a (C) t i đi m u n có h s góc bé nh t ⇒ đpcm

Bài 2. ( i h c, cao đ ng kh i D – N m 2005)

G i (C m) là đ th c a hàm s y = 1 3 2

m

3

− + , m là tham s

G i M là đi m thu c ( ) có hoành đ b ng -1 Tìm m đ ti p tuy n c a ( ) t i đi m M song song v i đ ng th ng 5x – y = 0

m

Bài gi i: y = 1 3 2 1

m

3 ⇒ y = x2

– mx ti p tuy n v i (C m) t i M có h s góc

tt

a = y (- 1) = 1 + m

Ti p tuy n này có ph ng trình y - y = 0 y0' (x− ) x0

( đây x = - 1 0 ⇒ y o' = a tt = 1 + m và y = - 0

2

m

)

V y y +

2

m

= (1 + m)(x + 1) hay y = (m + 1)x + m 2

m

+

ng ti p tuy n này song song v i đ ng 5x – y = 0 (t c y = 5x), n u

1 5

m m

+ =

⎧

⎨ + ≠

V y có duy nh t giá tr c n tìm c a m là m = 4

Chú ý: Hai đ ng th ng y = a x b1 + 1 và y = a x b2 + song song v i nhau khi và ch khi 2 1 2

a a

b b

=

⎧

⎨ ≠

⎩

Vì lý do y n u không có thêm đi u ki n m + 2 0≠ thì l i gi i c a h c sinh ch a hoàn ch nh

Bài 3 ( i h c, cao đ ng kh i B – N m 2006)

Cho hàm s y =

2

x x x

+ − + (C)

Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n này vuông góc v i ti m c n xiên c a (C)

Bài gi i: Ta có a =

2 2

2

+ −

=

+ = 1

b =

2 2

1 lim ( ( ) ax) = lim

2

x x

x x

+

1 lim

2

x

x x

→∞

− − + = - 1

V y (C) có ti m c n xiên là: y = x - 1

D th y y = '

2 2

2

x x x

Vì ti p tuy n c a (C) vuông góc v i ti m c n xiên y = x - 1 nên a tt= -1

G i x là hoành 0 đ ti p đi m c a ti p tuy n v i (C) thì : = a tt

2 '

( )

2

x x

y x

x

= +

Ta có ph ng trình:

2 0

2 0

1 2

x x x

= −

0

0

2 2 2 2

2

x

⎡

= − +

⎢

⎢

⎢

= − −

⎢

⎣

2

x = − + 0 3 2 3

2

y

Lúc này ti p tuy n có d ng: y= − +x 2 2−5

- T ng t khi x0 2 2

2

= − − thì ti p tuy n là y= − −x 2 2−5

V y có hai ti p tuy n c n tìm: y= − +x 2 2−5và y= − −x 2 2−5

IV BÀI T P V NHÀ

Bài 1.Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong y = x2 9

x

− , bi t r ng nó đi qua đi m M(1,8)

áp s : y = 2x + 6 và y = 50x – 42

Bài 2 Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong y = x4

– 4x2, bi t r ng nó đi qua đi m M(2, 0)

áp s : y = o, y = 16x – 32 và y = 32 64

27x−27

Bài 3 Tìm m đ đ ng cong y = 2x3

– 3(m + 3)x2 + 18mx – 8 ti p xúc v i tr c hoành

áp s : m = 35

27, m = 1, m = 4 + 2 6 và m = 4 - 2 6

Bài 4* Cho đ ng cong y = x3

– 3x + 2 (C) Tìm đi m M trên đ ng th ng y = - 2, sao cho t M có

th v đ c hai ti p tuy n t i (C) sao cho hai ti p tuy n y vuông góc v i nhau

áp s : M 55, 2

27

⎛ − ⎞

Bài 5 Cho đ ng cong y = x2

– 5x + 6 Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong bi t r ng nó song song v i đ ng th ng y = 3x + 1

Bài 6 Cho y = x2 – 5x + 6 và đi m M (5, 5) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ ng cong đi qua M

Bài 7 Cho y = x2 – 3x và y = - 2x2 + 5x Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a 2 đ ng cong

Ngu n: Hocmai.vn