Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Bài viết bao gồm các bài tập liên quan đến đồ thị hàm số đã được phân loại một các chi tiết. Các em học sinh có thể sử dụng bài viết này là tài liệu tham khảo hữu ích cho việc ôn tập môn Toán cho kì thi THPT Quốc gia.

Trang 1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số

1) y x 3 3x2  9x 2) y2x3 6x1 3) y3x3 3x

4)  1 3 23  4

3

7) y x 3 3x2 4x 2 8)  1 3 2 5 1

3

4

2

4

x

13)  



2 4

1

x

y







3 1

x y







2 1 1

x y x

16)  



1

2

x

y

x y

 





1

y

x



2

y

 





2

y x

II Các dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 1 Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x 2  x 2 và đường thẳng y x 2 

Bài 2 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): y x 2 4 và (C'): yx2 2x

Bài 3 Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y 1x3 x2

3

  và đường thẳng (d) : y 3x 5

3

 

Bài 4 Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):

1

1 2







x

y và đường thẳng (d):y 3x 1

Dạng 2: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Bài 1 Cho hàm số y 2x 1

x 2





 Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y mx 2  luôn cắt đồ thị hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt

Bài 2 Cho hàm số y 3 2x

x 1





 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2  cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để khoảng cách AB 58

Bài 3 Cho hàm sốy(x 1)(x2mx m ) (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt

Bài 4 Cho hàm số  y x3 3x (C) và 2 ymx m 2  (d) Xác định m sao cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 5 Cho hàm số y x 4  mx2m Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân1 biệt Với giá trị nào của m thì các điểm này cách đều nhau

Dạng 3: Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị

Bài 1 Cho hàm số yx 3x3 2 4 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

Trang 2

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3x3 2 4 m

c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

i) x33x2 4 m ii) x33x2m 0

Bài 2 Cho hàm số y 2x 6x3

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x 6x 1 m 3  

c) Tìm m để các phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:

i) x3 3x m ii) 2 x3  6 x m 0  iii) 2x x2 3 m

Bài 3 Cho hàm số yx42x2(C)

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 2x2 m4 2m2

Bài 4 Cho hàm số y 2x 1

x 1





 (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x 1 m x 1  

Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 3





x x

y tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x 2

x 1





 tại điểm trên đồ thị có tung độ y2

Bài 3 Cho hm số y2x 3x 13 2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm trên (C) có hoành độ x , biết rằng 0 y''(x ) 00 

Bài 4 Cho hàm số y 2 x

x 1





 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

Bài 5 Cho đường cong (C): 1 3 1 2 2 4

y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x + 2

Bài 6 Cho đường cong (C):

1

3

2





x

y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ():y3x

Bài 7 Cho hàm số 3 3 2 4



x x

y Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

Bài 8 Cho hàm số 2 5

2

x y x





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A(-2;0)

Bài 9 Chứng minh rằng hai đường cong (C) : y x3 5x 2

4

   v (C') : y x 2  x 2 tiếp xúc nhau tại một điểm nào đó

Bài 10 Tìm k để đường thẳng (d) : y kx tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1 3 2

Bài 11 Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 2 7    là tiếp tuyến của đồ thị (C) : y x 3x 3 22

Trang 3

Bài 12 Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 1 3    tiếp xúc với đường cong (C) : y 2x 1

x 1







Bài toán luyện tập tổng hợp

Bài 1 Cho hàm số 3

3 2

yx  x (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương 3

x  x  m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M2;4.

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

x 

5 Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ y  0

Bài 2 Cho hàm số yx33x2 4 (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 3x2m 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 1

2

x 

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến 9

4

k 

5 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 d :y3x2.

Bài 3 Cho hàm số y4x3 3x 1 (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 3 3  0

4

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với  1

15

9

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  2 : 2

72

 x 

5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm M1, 4 

Bài 4 Cho hàm số y=2x3- 3x2- (C)1

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  1

2

3

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua M2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C).

4 Tìm m để đường thẳng  d2 :y mx  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

Bài 5 Cho hàm số y= - 2x3+3x2- 1 (C)

2

3

 

Trang 4

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1;1

4

M  

  và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng  d2 :y mx  1 cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất

5 Tìm m để đường thẳng  d3 : y m x   1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 6 Cho hàm số y=(2- x x) ( +1)2 (C)

2 Tìm m để đồ thị (C’) y2 x m   2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

3

8

 

4 Tìm m để đường thẳng  d2 :ym x 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

5 Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm M  3;4.

Bài 7 Cho hàm số

3 2

3

x

y  x  x (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

x  x  x  m

3 Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 4;7

3

M  

  và tiếp xúc đồ thị (C)

Bài 8 Cho hàm số y x33m1x2 2

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 0

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: x3 3x2 2k 0

3 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu

4 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 2

5 Tìm tất cả những điểm M Oy sao cho từ M ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C) 

Bài 9 Cho hàm số 8 3 4 2 16

y x  x  x (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

8x 12x  48x m 0

3 Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất

5 Tìm k để phương trình 8x312x2 48 x k 0 có hai nghiệm thực trên đoạn 2;2

Bài 10 Cho hàm số y4x3 3m1x1 C m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m 0

2 Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4x3 3x k 0

3 Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị

4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm)

5 Tìm quĩ tích điểm cực tiểu của họ đồ thị (Cm)

Trang 5

B Hàm số trùng phương

Bài 1 Cho hàm số yx4 2x2 (C)

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4  2x2 m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y  8

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Bài 2 Cho hàm số y x42x2 1 (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y  9

Bài 3 Cho hàm số yx4x21 (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21

16

y 

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với

 d1 :y6x3.

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với

 2

1

6

Bài 4 Cho hàm số yx4 x21 (C)

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4x2m0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 3

16

y 

5 Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Bài 5 Cho hàm số 1 4 2 2

4

y x  x (C)

2 Tìm m để phương trình x48x2  có 4 nghiệm thực phân biệt.m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song  d1 :y15x3.

 2

8

45

5 Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C)

Bài 6 Cho hàm số 1 4 2

4

y x  x  (C)

2 Tìm m để phương trình x4 8x2  có 2 nghiệm thực phân biệt 4 m

Trang 6

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 1

 d : 8x 231y 1 0

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M0; 1  và tiếp xúc với đồ thị (C)

Bài 7 Cho hàm số yx4 2x23 (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình x42x2   8

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

5 Tìm m để đường thẳng  d : y mx 3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt

Bài 8 Cho hàm số

4

3

x

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4 2

x  x k

3 Dựa vào đồ thị (C), hãy giải bất phương trình

4 2

2

x x

  

4 Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x  3

5 Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 9 Cho hàm số yx42mx2m2m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 2

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x4 4x2k  0

3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1

4 Tìm m để hàm số có 1 cực trị

5 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc 1200

Bài 10 Cho hàm số 4  2  2

y mx  m  x  (1)

2 Tìm k để phương trình x4 8x210k  có hai nghiệm thực phân biệt 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  d : 2x45y1 0

4 Tìm m để hàm số có một điểm cực trị

5 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

C Hàm số hữu tỉ

1

x y x





 (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

x 

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y 

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k 3

Trang 7

5 Tìm m để đường thẳng  : 5 2

3

d y mx   m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

1

x y x





 (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y 

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với  1

9

2

 

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với  2

1

8

d y x

5 Tìm m để đường thẳng  3

1

3

d y mx  m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm

1

x y x





 (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với  1

:

d y x

5 Tìm m để  2

1

3

d y mx  m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

1

x y

x





 (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

3 Tìm m để đường thẳng  d1 :y mx  2m 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  d2 :x y  2 0

5 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

2

x y

x





 (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M3;4 và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng  d1 :y mx  3 m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

2 1

x y

x





 (C)

Trang 8

2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm 3;6

5

M  

4 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số

1

x y x





 (C)

2 Tìm m để đường thẳng  d :x y m  0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) cos 4

cos 1

t

g t

t





 trên 0;

2



 

 

 

4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm 2;10

3

M  

5 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số

1

x y x





 (C)

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng  d1 :y x

4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2sin 2 4

sin 2 1

t

g t

t





 trên 0;

2



 

 

 

5 Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng  2

3 :

2

x

d y 

1

x y x





 (C)

2 Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung

3 Tìm m để phương trình sinsint t21 m

 có nghiệm

2

x y x





 (C)

2 Tìm toạ độ những điểm M sao cho  

, 5

d M Ox

3 Chứng tỏ giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)

4 Tìm m để phương trình 2 x  2 m x. 2 có 4 nghiệm phân biệt

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	601,5 KB