Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a.. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp
Trang 1
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013 - 2014 TRƯỜNG THPT BẾN TRE Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
y x x x có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm tất cả giá trị của tham số k để đường thẳng y k x 2 cắt (C) tại ba điểm phân
biệt
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 3 sin 2x c os2x 4 3(cosx 3 s inx)
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
x y xy
Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 2
2x x x 3 2x x 39 x
Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a Tam giác
SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC; biết góc giữa MN với mp(ABC) bằng 0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương và a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 2
abc P
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
12 Tâm I là giao điểm của hai đường thẳng d1:x y 3 0 và đường thẳng d2:x y 6 0 Trung điểm của cạnh AD là giao điểm của d1 với trục hoành Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật
Câu 8 (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n
x n x
x 2(1 ) (1 )
1 2 thu được đa thức
n
n x a x
a a
x
P( ) 0 1 Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn:
n C
C n n
1 7 1 3
2
…………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh: …………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
(có 4 trang)
1.1 (1,0 điểm)
y x x x
* TXĐ: D
* Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:y'3x26x 3 3(x22x1)0, x ;
2 ' 0 2 1 0 1 y x x x Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0,25 + ) Giới hạn: lim ( 3 3 2 3 2) x x x x 3 2 lim ( 3 3 2) x x x x 0,25 +) Bảng biến thiên: x 1
y + 0 +
y
* Đồ thị:
4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 0,25 1.2 (1,0 điểm) Ta có PT hoành độ giao điểm x33x23x 2 k x 2x2 x2 x 1 k0 1 0,25
2
2
x
0,25
1
(2,0 điểm)
Để đường thẳng d y : k x 2 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1)
phải có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác
2
k k
0,25
Trang 3
3 4 3
k k
0,25
Câu
Giải phương trình: 3 sin 2xcos2x43(cosx 3 s inx)
Đặt t = cosx + 3 sinx
2
0,25
Khi đó, (1) trở thành: t2 – 2 + 4 = 3t 2 1
2
t
t
0,25
+) t = 1 thì:
2 2
2
x k
0,25
2
Giải hệ phương trình
2
x y xy
1,00
Hệ đã cho tương đương với: ( ) 2( ) 16
x y xy
x y x
x y xy
0,25 Thế (1) vào (2) được: xyxy4 2 x yx2x x yy2 0
+) x = 0 thay vào (1) được: y = 8
+) x + y = 0 thay vào (1) được: 0x = 16 (VN)
+) y = 2 thay vào (1) được: x = 2 hoặc x = -6
0,25
3
Đặt t x x2 , phương trình đã cho trở thành: 3 t2 t 120 0,25
2 12 0 3
4
t
t t
t
0,25
x
0,25
4
Với t 4 thì 2
4
x
Vậy, phương trình có nghiệm là: x 1
0,25
*) Gọi I là trung điểm AC, do SAC cân tại S nên SI(ABC) Gọi H là trung điểm AI suy
ra MH//SI MH (ABC), do đó góc (MN,(ABC)) = MNH = 600 0,25
5
Ta có
2 2
ABC
a
Trang 4Xét HCN có:
2
4
a
.
*) Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức là HK MJ (1) 0,25
Ta có
1 , 4
Do đó d AC MN( , )d H( AC MN, )d H MJN( , ( ))HK S
=
MH HJ
=
30
16
a
M
K
A H I C
J N
B
0,25
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1,00
áp dụng Bất đẳng thức: (xyz)23(xyyzzx), x y z, , ta có:
2
(ab bc ca ) 3abc a b c( )9abc0 ab bc ca3 abc
Ta có: (1a)(1b)(1c)(13abc) ,3 a b c, , 0 Thật vậy:
0,25
Khi đó:
3 3
2
abc
Đặt 6
abct; vì a, b, c > 0 nên
3
3
a b c abc
0,25
2
2
t
5
t t t
Do đó hàm số đồng biến trên 0;1 1 1
6
6
P
0,25
6
Vậy maxP = 1
7
Tọa độ I là nghiệm của hệ: 3 0
x y
x y
9 3 ( ; )
2 2
I
Gọi M là trung điểm của AD, Tọa độ
y
M
x y
0,25
Trang 5Suy ra AB = 2 IM = 3 2 Mặt khác 12 2 2
3 2
ABCD ABCD
S
AB
cùng thuộc d suy ra AD 1 d1 Vậy AD đi qua điểm M và nhận n (1;1)
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:x 3 y0xy 3 0
0,25
2
AD
Tọa độ điểm A, D là nghiệm của hệ
Chọn A(2;1); (4; 1)D
0,25
Các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, B qua I Suy ra tọa độ điểm C(7; 2); B(5;4) 0,25
Khai triển và rút gọn biểu thức 1x2(1x)2 n(1x)n 1,00
Ta có
n n n n n n
n n C
) 2 )(
1 (
! 3 7 ) 1 ( 2
3 1
7 1
3 2
9 0 36 5
3
n
n
n
0,25 Suy ra a là hệ số của 8 x8 trong khai triển 8(1x)89(1x)9 0,25
8
Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm các phần tương ứng