phuong trinh chưa căn thuc

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1 Biến đổi tương đương

Bài 1 : Giải phương trình :

a) x  x 5  5 b) 4x24  3x41  5

c) 9x4 0  x15  x8 d) 2 (x2  x1)  x  1 x (A-2010)

HD :

a)Điều kiện : x 5

Bình phương hai vế ta được :

2

5 225 30









x

x x x x  x=9 >5 (thõa mãn)

Phương trình có nghiệm x=9

b)Điều kiện : 41

3



x

Biến đổi : 4x24  3x415

Bình phương hai vế : 4x24  3x41 10 3 x41 25

 10 3x 41 x40

220 5700 0

 







x

1 0

220 160 2

 









x

x  x=190, x=30 Nghiệm của phương trình : x=190, x=30

c)Đk : 40

9

 

x

Biến đổi : 9x 4 0  x15  x8

Bình phương : 9x 40 x152 x15 x8  x8

 2 x15 x8  7x17



2

17 7



 







x



17 7 191 1,

45



 





   



x

45

  

Nghiệm của phương trình : 1 91

1,

45

  

c) Biến đổi phương trình :

2

2 (x  x1)  1 x  x 

2









2









2







Ta có 1 x x  0 1 5

2

 



2





x ( thõa mãn )

Nghiệm của phương trình : 3 5

2





x

2 Đặt 1 ẩn phụ

Bài 2 : Giải phương trình

a) 2x2 8x6  x2 1  2x 2 b) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x25x2

c) x2 5x 1 (x4) x2 x1 d) x x 5 2 x25x2x 25

HD

a) Điều kiện:

2

2

1

1

1 0

3

 



 

 



x

x x

x

- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình

- Xét với x1, thì pt đã cho tương đương với: 2x3 x 1 2 x1

Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản f x( ) g x( ) ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này nghiệm 1

x 

- Xét với x 3, pt vn

b) Điều kiện: x 1

- Khi đó: 3x 2 x 1 4x 9 2 3x25x2

Đặt t = 3x 2 x1 (t0) ta có: 2 2

          

Phương trình trở thành 3x 2 x 1 3

Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x2

c) Biến đổi : x2  x  1 4x  (x 4 ) x2  x 1

Đặt t  x2  x 1 0, pt đã cho trở thành: 2  

4







t

Với tx x2  x 1 x: vô nghiệm

2

 

Vậy phương trình có nghiệm: 1 61

2

 



x

d) Đặt x x 5  => t t2 2x 5 2 x25x

Phương trình trở thành : t2+t-30=0  t=5 , t=-6

i) t=-6 không thoã mãn

ii) t=5  x  x5 5

 x25x 10 x

 2 x 10 2

x 5x 100 20x x









 x=4 Phương trình có nghiệm x=4

3 Đặt 2 ẩn phụ

Bài 3 : Giải phương trình

a)

2

2 2

2



c) 2 3x3 23 6 5x  8 d) 4x 1 3x 2 x 3

5



HD :

a) ĐK: x  ( 2; 2) \ {0}

Đặt y  2  x2,y  0Ta có hệ: 2 2

2 2

 







Giải hệ đx ta được x = y = 1 và

 Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và 1 3

2

x  

- Đặt 1 3

2



  x

2

2



 



(1)

(1) là hệ đối xứng loại (II) , thực hiện trừ theo vế : , 5

2

2

Ta có nghiệm của phương trình 3 17; 5 13

x

c)Đặt : u33x2, v 6 5x 0 => 3 2

3x 2 u , 6 5x v  0

Khi đó : 2u 3v3 2 8 (1)

5u 3v 8 (2)

 







Từ (1) => v 8 2u

3



 thay vào (2) ta được :

2

3



u2 15u 26u20   u=-2 0

Suy ra x=-2

Phương trình có nghiệm x=-2

d) ĐK : x 2

3



Đặt : u 4x 1 0, v 3x20=> 2 2

u v x 3 Khi đó : u2 v25(v v)  u-v=0 , u+v=5

i) u=v  4x+1=3x-2 x=-3 ( không thõa mãn)

ii) u+v=5  4x 1  3x2 5

 2 4x 1 3x 2  7x26



2

26 x 7

x 344x 684 0













26 x 7

x 2, x 342











 x=2

Phương trình có nghiệm x=2

4 Phân tích thành nhân tử

Bài 4 : Giải phương trình :

a) x3  x  x2  5  7 b) 3x  1  6  x  3x2  1 4x  8  0 (B.2010)

x 1 x  2(1 2x ) d) x 1 1 1 x 1



HD :

a) D=R , nhận thấy rằng x=2 là nghiệm

x3  x  x2  5  7  (x3  8 )  x  2  ( x2  5  3 )  0

 2

2

2



x

x

 x=2 , 2

2

2



x

x

Mà x2  2x  5  (x 1)2  4  4 , 2

2

2

5 3



 

x

x

Nên 2

2

2



x

x

vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình : x=2

b) Nhận thấy x=5 là nghiệm , ĐK : 1 6

3

  x 

2

3x  1  6  x  3x  1 4x  8  0

  3x 1  4  6  x 1 3 (x2  2 5 ) 1 4 (x  5 )  0

3x 1  4  6  x 1  x  

3

phương trình

c) ĐK phương trình có nghiệm là : 1 2x2 0 x 1

2

Với mọi x sao cho x, x 1 1 x2 x x 1 x2 x x 0

2

Khi đó phương trình : x 1 x 2  2( 1 x 2 x)( 1 x 2 x)

x 1 x 2( 1 x x) 1  0

x 1 x 0 2

1 x  x

 2

2

x 0







  



  x 1

2

 

ii) 2( 1 x 2 x) 1   0 1 x2 x 1

2

1 x

2 1

1 x x x 2

2



 









2

1 x

2



 









1 x

2

x

4

x

4



 



 



 

 



Phương trình đã cho có hai nghiệm : x 1

2

  , x 6 2

4





d) ĐK:  1 x0, x 1

Biến đổi phương trình : (x 1)(x 1) x 1 x 1

 x 1 x 1 1 x 1 0

 x 1 0, x 1 1 x 1 0

i) x=1

ii) x 1 1 x 1 0

x



     x 1 1 x 1 0

x



   => x 1 1  => phương trình vô nghiệm

x>1 , Biến đổi phương trình về dạng : x 1 1 x 1

x



  

Bình phương hai vế ta được : x 1 1 2 x 1 x 1



  

Ta có : x 1 1 2 x 1



   , mọi x >1 khi đó : phương trình trở thành : x 1 1

x

 

 2

x     x 1 0 x 1 5

2





=> x 1 5

2



 thõa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là : x=1, x 1 5

2





5) Dùng tính chất của hàm số

Bài 5 :

Bài tập tương tự

1.Giải phương trình

3 x     b)

2

x 3



c) 4x x 1 3



2 2x 1 x  3x 1

2) Giải phương trình

a) 3 x2 x62(x 3) b) x212 x253x 5

c) x 2 4 x 2x25x 1 d) 3

x24 12 x  6