Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC CƠ BẢN
Dạng 1: A B A 0 ( 0 )B
A B
0
B
A B
A B
≥
= ⇔
=
Dạng 3: A= B ⇔ =A B2 Dạng 4:
2
0 0
A
A B
≥
< ⇔ >
<
Dạng 5
2
0 0 0
A B
A B
B
A B
≥
<
> ⇔ ≥
>
I CÁC CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) x−2 =x−4 b) 3x2 −9x+1+x−2=0 c) 2 x+2+2 x+1− x+1=4
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số a)
2
x x y
− +
= + + − b)
2 2
1
x x y
− +
=
− + − +
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 +mx+2 =2x+1có 2 nghiệm phân biệt
Phương pháp 2: Đặt điều kiện nếu có và nâng lên luỹ thừ để khử căn
Ví dụ 4:Giải các phương trình sau
a) 2x+9 = 4−x+ 3x+1 b) 5x−1− 3x−2− x−1=0
c) x+ +8 2x+ =7 3x+ +6 4x+1 d) − + + − + =x 8 2x 7 x+10+ 5 4− x
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số hoặc hệ đại số
Ví dụ 5:Giải các phương trình sau
a) (x+5)(2−x)=3 x2 +3x b) x+1+ 4−x + (x+1)(4−x) =5
c) 3 2−x =1− x−1 d) x2− + +3x 3 x2− + =3x 6 3
Phương pháp 4: Đưa về dạng tích
Ví dụ 6: Giải phương trình
x
x
−
=
−
−
3
2
b) x+2 7− =x 2 x− + − +1 x2 8x− +7 1
Phương pháp 5: Sử dụng ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 7 Giải các phương trình sau
a) 6x2−10x+ −5 (4x−1 6) x2 −6x+ =5 0 b)(x+3 10) −x2 =x2 − −x 12
c) 2 1( −x) x2+2x− =1 x2−2x−1 d) (4x−1) x2+ =1 2x2+2x+1
e) 2 1( −x) x2+ + =x 1 x2−3x−1 f) x2 +3x+ = +1 (x 3) x2+1
Phương pháp 6: Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Ví dụ 8: Giải phương trình
a) x2− =1 x+1 b) x2+ x+ =5 5 c) x2−2002 2002x−2001 2001 0+ =
Phương pháp 7: Dạng n a− f x( ) +m b+ f x( ) =c Đặt đưa về hệ
Ví dụ 9: Giải phương trình
a) 3 2− = −x 1 x−1 b) 3 x+34−3 x− =3 1 c) 3 x− +2 x+ =1 3
Bài tập phương trình và bất phương trình chứa căn thức 1
Trang 2Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
d) 497− +x 4 x =5 e) 418− +x 4 x− =1 3
Phương pháp 8: Dạng f x( ) + ±a f x( ) =b Liên hợp
Ví dụ 10: Giải phương trình
a) 4x2 +5x+ +1 4x2 +5x+ =7 3 b) 3x2+5x+ −1 3x2+5x− =7 2
c) 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1 d) x2−3x+ +3 x2−3x+ =6 3
Phương pháp 9: Dạng f x( ) ± g x( ) =m f x( ( ) −g x( ) ) Liên hợp
Ví dụ 10: Giải phương trình
5
x
x+ − x− = +
b) 3(2+ x−2) 2= x+ x+6
II CÁC CÁCH GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
Phương pháp 1: Đưa về bất phương trình cơ bản
Ví dụ 11: Giải các bất phương trình
a) − +x2 6x− > −5 8 2x b) 2x− ≤ −1 8 x c) x−2x2+ > −1 1 x
d) (x+1)(4−x) > −x 2 e) x+ −5 x+ >4 x+3 f) 5x− −1 x− >1 2x−4
g) x+ ≥3 2x− +8 7−x h) x+ −2 3− <x 5 2− x
i) 5x− −1 4x− ≤1 3 x j) x+ > −1 3 x+4
k) 2( 2 16) 3 7
x
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 11: Giải các bất phương trình
a) 5x2 +10x+ ≥ − −1 7 x2 2x b) 2x2+4x+3 3 2− x x− 2 >1
c) (x+1)(x+ <4) 5 x2+5x+28 d) 2x2+ x2−5x− >6 10x+15
e) x x( −4) − +x2 4x+ −(x 2)2 <2 f) 3 3 2 1 7
2 2
x x
2
x x
2
i) −4 (4−x)(2+x) ≤ x2−2x−12
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 16 17 8+ = x−23 b) x2+ x2 +11 31= c) − +x2 4x+ =2 2x
d) 5x− −1 3x− −2 x− =1 0 e) x x( − +1) x x( +2) =2 x2
f) x+ −3 2x− =1 3x−2 g) 3x+ −4 2x+ =1 x+3 h) 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) (x+5 2) ( −x) =3 x2+3x b) (x+4) (x+ −1) 3 x2+5x+ =2 6
c) (x+1)(2−x) 1 2= + x−2x2 d) 4x2+10x+ =9 5 2x2+5x+3
e) 18x2−18x+ =5 3 93 x2−9x+2 f) 3x2+21x+ +18 2 x2 +7x+ =7 2
Bài tập phương trình và bất phương trình chứa căn thức 2