Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp (tái bản lần thứ 5) phần 2

Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh không cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình.. Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh

PHAN Ill PHUONG TRINH, BAT PHƯƠNG TRÌNH

VA NE BAC CAO

CHỦ ĐỀ I CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán I Cho phương trình:

ax’ + bx? +cx +d =0(a #0) qd) Giải phương trình khi biết một nghiệm Xp

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước ! Đoán nghiệm xạ của (1)

Bước 2 Phân tích (1) thành

(x~ K;)(ax” + bịx+c¡)=0

| Sửu

= g(x)=ax?+b,x+c,=0 (2)

«Nếu ac`= bd”(a,d #0) thì (1) có nghiệm x =~

Vidul; Giải các phương trình sau:

a 2x'+x?-5x+2=0 c 3xÌ-8x”-2x+4=0

b 2x'+x+3=0 d x'+x?—x42 -242 =0

Giải

a Nhận xét rằng:

a+b+c +d =0 do đó phương trình có nghiệm x = l

Biến đổi phương trình về đạng:

b Nhận xét rằng:

a—b+c—d=0do đó phương trình có nghiệm x = —1

Biến đổi phương trình về dạng:

a= 3 có ước là +I, #3 và d = 2 có ước là +1, +2

do đó phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ thì chỉ có thể là một trong các giá trị +l,

adie ee,

8 3

Nhận thấy x = : là nghiệm của phương trình

Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 42

Chú ý:

1 Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh không cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình

2 Nếu các phương pháp nhầm nghiệm không có tác dụng ta có thể thử vận dụng

kiến thức về phân tích đa thức

6-28 +y=00

186

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng việc lựa chọn

một trong hai cách sau:

Cách ] : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đó:

"- Vớix>xụ thì:

In >4x) © 4x`+3x>4x) + 3x,=m 3x > 3x,

=> xX > X, phuong trinh v6 nghiém

= VGiX < xX, thi:

or <4x} ©4x` + 3x< 4x) +3x¿=m

3x <3Xụ

= xX<Xx¿ phương trình vô nghiệm

Vậy (1) nếu có nghiệm xạ thì nghiệm đó là duy nhất

Cách 2 : Xét hàm số y= 4x`+ 3x~m

" Miền xác định D=R

" Đạo hàm: y' = 12x? + 3 >0, VxeD = hàm số luôn đồng biến

Vậy (1) nếu có nghiệm xụ thì nghiệm đó là duy nhất

Xác định nghiệm của phương trình Data= \m+Vm?4+1 va a= ;a- 1 tt được:

a

4œ" + 3œ =m «> x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :

Vidu 3: Giải phương trình:

Giải

" Trước hết ta đi chứng minh (1) có nghiệm duy nhất — Bạn đọc tự làm

" - Xác định nghiệm

Data= Vl+V2 vaa= sie + V1-¥2 ), ta duge:

4œ` + 3œ = I © x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = sali +2 +ÏÑI-42}

187

= xụ không thể là nghiệm của phương trình

" Nếu lxyj|> 1 thi:

4x; — 3x, =m, (1) ©4x)~3x=4x; —3x,©©(x—Xo)(4X) + 4xx+ 4x? — 3) =0 X=K,

S 2 2

g(x) = 4x° +4x,x+4x), -3=0 (2) Xét (2), ta có:

At, = 4x2 - 4(4x2 - 3) = 12(1— x)) <0 = (2) vô nghiệm

Vay (1) néu cé nghiém Xy (Ixol > 1) thi nghiém do 1a duy nhat

Vậy đường thẳng y = m với lml > 1 cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy

nhất Do đó phương trình nếu có nghiệm xạ thì nghiệm đó là duy nhất Xác định nghiệm của phương trình

Data= Vm+Vm?-1 va a= (a+ 1) ta được:

a

40) — 3a =m <> x= langhiém cia phuong trinh

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :

x= 5 im + vm? =1 + mm” -I )

4œ” + 3œ = l © x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = z( J2+4/3 + 2-3}

Bài toán 4 Với lml < 1, giải phương trình:

PHUONG PHAP CHUNG

Thuc hién theo ba budc sau :

Bước 1 Đặtm = cosọ =cos(@ + 27)

Bước 2 Nhận xét rằng:

cos@ = cos(3 >) = cos’? —3cos 2

3

=x, = cost là một nghiệm của phương trình

Tương tự ta cũng được X;; = c0§ biên là nghiệm của phương trình

+27

Bước 3 Vậy phương trình có ba nghiệm x, = cos ¢ , X23 = COS

Vidu5: Giải các phương trình:

Tương tự ta cũng được X; = COS là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có ba nghiệm x, = cost X= cos = › X; = COS pt :

189

Bài toán 5 Giải phương trình:

(1) x'= -qe>x= Y-q langhiém duy nhat của phương trình

b Néu p> 0, bang cach dayt an phu ta chuyén (1) vé bai toán 2, như sau:

Dat:

Khi đó :

()©4+3t+ sr = 0 đây chính là phương trình trong bài toán 2

c Nếup<0, bằng cách đặyt ẩn phụ ta chuyển (1) về bài toán 3, 4, như sau :

Bài toán 6 Giải phương trình:

đây chính là phương trình trong bài toán 5

Vídu7: Giải phương trình:

B BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

CHU DE 2 PHUONG TRINH BAC BA C6 CHUA THAM SO

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán: Cho phương trình

ax” + bx? + cx + d= 0 (a #0) (1) Giải phương trình khi biết một nghiệm Xụ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Đoán nghiệm xạ của (1)

a Giai phuong trình với m= - 12

b Xác định m để phương tình có 3 nghiệm phân biệt

x” +24x= x=-24 Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt x = 1, x =0, x= — 24

193

b Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

«© (2) có 2 nghiệm phân biệt khác |

A,>0 g oi m-1250_ 2_m- [m< -3

g(1)#0 —” |13-mz0 4<mz13 Vậy với me(T— ø, — 3)L/4, + œ}\{13] phương trình có ba nghiệm phân biệt

Vidu2: Cho phương trình:

mx` + (3m - 4)xỶ + (3m — 7)x + m— 3 = 0 (1)

a Giải phương trình với m = 3

b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt không dương

x +2x= x =-2/3 Vậy, phương trình có ba nghiệm phan biét x = — 1,x=0,x= — = ‘

b Dé phuong trinh cé 3 nghiém phan biét khong duong

© (2) có 2 nghiệm phân biệt không dương (x, < x;< 0) khác - l

a Giải phương trình với m= 3

b Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

a Voim=3:

[2x-1=0

x° -6x+4=0 Z

Vay phương trình có ba nghiệm phân biệt x = x =3+45,x=3- V5

b Để phương trình có nghiệm duy nhất © (2) có duy nhất nghiệm x = 7 5

Chú ý Nếu phương trình có chứa tham số m, ta có thể coi m là ẩn, còn x là tham

số, Sau đó tìm lại x theo m

Vị dụ 4; Xác định m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

mỶx`— 3mx” + (m? + 2)x—m =0 (m #0) (1) Giải

Viết lại phương trình về dạng:

Do đó phương trình được chuyển về dạng:

LUGC DO GIAI VA BIEN LUAN PHUONG TRINH BAC 3 TONG QUAT

Uy= cos 2 3 u =— 2 (a+ 5 ) =

ty= COS wan

B BAI TAP DE NGHI Bai tap 1 Cho phương trình:

x`+2mx? +m°x+m- 1 =0

a Xác định m để phương trình có đúng 1 nghiệm

b Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c Xác đinh m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bai tap 2 Cho phương trình:

xÌ~ 3x + 6m =0

a _ Giải phương trình với m= -5 5

b Xác dinh m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Bài tập 3 Cho phương trình:

x’ = 2mx’ + (2m? = 1)x — m(m? - 1) =0

a Giai phuong trinh véi m = 1

b Xác định m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Bài tập 4 Xác định m để phương trình

x` ~ (m + I)xỶ - (2m? - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) =0

có 2 nghiệm phân biệt

Bai tap 5 Cho phương trình :

x*— 3(m + 1)x? + 2(m? + 4m + 1)x —4m(m + 1) =0

X.4c dinh m dé phuong trinh c6 ba nghiém phan biét lớn hơn 1

Bai tap 6 Cho phương trình :

x'~ 3# +2(m - I)x+m- 3 =0

Xác định m đề phương trình có ba nghiệm x¿, xạ, x; thoả mãn x, < —Ì < X;< Xạ

197

CHỦ ĐỀ 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1 Cho phương trình:

ax’ + bx? +cx’?+dx+e=0(a#0) (1)

Giải phương trình khi biét mot nghiém Xp

PHUONG PHAP CHUNG

i Phương pháp phân tích thành nhân tử

2 Phương pháp giải phương trình bậc 3 chuẩn tắc

3 Phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát

Chú ý Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau :

a+b+c +d+e =0 do đó phương trình có nghiệm x = l

Biến đổi phương trình về dạng:

b Nhận xét rằng:

œ =b+c—d+e =0 do đó phương trình có nghiêm x = -l

Biến đói phương trình về dạng:

* Trước hết ta đi chứng minh (3) có nghiệm duy nhất

Cách 1 : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đó :

y' = 12x? + 3>0, VxeD = hàm số luôn đồng biến

Vay (3) néu c6é nghiém x, thi nghiém do 1a duy nhat

s - Xác định nghiệm

Đặta= {2+5 và a= 502+ + ¥2-J5 ), taduac:

4œ + 3œ = 2 © x = œ là nghiệm của phương trình (3)

Vậy, phương trình có nghiệm x = -l và x = ;{b +5 +2-45 )

c Nhận xét rằng:

a = 4 có ước là +1, +2, +4 và e = 2 có ước là +1, +2

do đó phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ thì chỉ có thể là một trong các giá trị +1,

+2,+1, 2

Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình

Biến đổi phương trình về dạng:

nh" 4x*-3x-2=0 (2) =

Giải (2) bằng cách biến đồi:

199

Trước hết ta đi chứng minh (3) có nghiệm duy nhất

Cách 1 : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đó :

= Néu Ixgl < 1 thi:

Ay= 4x2 — 4x2 — 3) = 12(1— xi) <0 = (2) vô nghiệm

Vay (1) nếu có nghiệm xạ (lxạl > 1) thì nghiệm đó là duy nhất

Vậy đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất Do đó

phương trình nếu có nghiệm xạ thì nghiệm đó là duy nhất

1 Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh không cần

nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình

2 Nếu các phương pháp nhầm nghiệm không có tác dụng ta có thể thử vận dụng

kiến thức về phân tích đa thức Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng:

200

A?—-B=0<(A - B)(A +B)=0

khi đố ta được tích của 2 tam thức bậc 2 do vậy việc giải phương trình bậc bốn được quy về việc giải hai phương trình bậc 2

Chúng ta cũng cần lưu ý rằng đó chính là ý tưởng chủ đạo để giải mọi phương

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x, ; =

b Biến đổi phương trình về dạng:

Đó là phương trình bac hai theo t

Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Nếu (2) có nghiệm tạ>0 thì (1) có nghiệm x = tty $

Vídu3; Giải phương trình:

Baitoan3 (Phương trình hồi quy) Giải phương trình:

ax‘ + bx? + cx? + dx +e =0(a #0) (ly

wi £ =(2) ;ez0, a b

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Nhận xét rằng x =0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vế của phương trình cho x”z0, ta được:

Đó là phương trình bậc hai quen thuộc

Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Lư ý: Trong trường hợp đặc biệt Ê = 1, tức là đối với những phương trình có dạng:

Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của

phương trình cho x?# 0, ta được phương trình tương đương:

20°+ 23) -21¢x + 2)+74=0

Dat t=(x+ 3), suy rax?+ 23 =P-10, x x

Khi đó phương trình trên có dang:

t=6 2? -21t+54=00 9

Chú ý: Nhiều phương trình ở dang ban đầu không phải là một phương trình hồi quy hay phản hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể chuyển

chúng vẻ dạng hồi quy hoặc phản hồi quy, từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải Ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du §; Giải phương trình:

(x—2)°+(x—2)(5x”— 14x + 13) +1 =0 (1)

Gidi

Nhân xét rằng đây không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt

ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy

That vay, dat y = x — 2

(1) = y* + y[S(y + 2)? - 14(y + 2) + 13] +1=0

o> y' + Sy’ + 6y? + 5y +1 =0 (2)

Nhan xét rang y = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của phương trình cho y*z0, ta được phương trình tương đương:

(y + -Ì )+5(y+ 14620

Đạtt=y + 4, điều kiện L>2,

y

suy ray? + ol =f =2 y

Khi đó phương trình trên có dang:

Pests 060 | © ys La adesy'e4yei sd

y; =-2+3 x; =3

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x, = - 3, x; = ⁄3

Vị du6: Giải phương trình:

(x? = x) - 2x(3x - 5) — 3 =0 qd) Gidi

Nhận xét rằng đây không phải là một phương trình phản hồi quy, tuy nhiên nếu

đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình phản hồi quy

Khi đó phương trình trên có dạng:

PHUONG PHAP CHUNG Thực hiện theo các bước:

Bước I Viết lại phương trình dưới dạng:

[x? +(a+ b)x + ab].[x? +(ce+đ)x+cdđ]=m (2)

Bước 2 Datt=x? +(a+b)x + ab, suy ra x? +(c +d)x + cd =t—ab + cả

Khi d6:

(2) <> (t— ab + cd) =m (3)

Đó là phương trình bậc hai quen thuộc

Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Vidu 7; Giải phương trình:

(x+ 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 3 (1) Gidi

Viết lại phương trình dưới dạng:

Đặt t= x” + 5x + 4, suy ra X” + 5x +6 =t+2

Khi đó:

t=l (2)©t(t+2)=3©>+2t-3=0© [ie 3"

-5+13

=

© V6it=loex+5x4+4=10x74+5x4+3=00x,,=

"- Vớit= -3€>x?+5x+4= —-3€>x?+5x +7 =0 vô nghiệm

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt là x, ; = ee,

204

Chú ý : Dạng phương trình trên được mở rộng tự nhiên cho lớp phương trình:

(a,X + a)(b,X + by)(c,x + ¢,)(d,x + d,) =m

với điều kiện :

a,-b, =c,.d,

a,-b, +a,.b, =d,.c, +d,.c,

khi đó ta đặt t = (a,x + a,)(b,x + b,)

Ví du8; Giải phương trình:

(2x — 1)(x — 1)(x — 3)(2x + 3) =-9 (l) Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

Vậy, phương trình có 4 nghiệm phân biệt là x,= 0, x;= Š,x;„= 2 ae

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước:

Đó là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải

Bước 2 - Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

205

Vidu9:; Giải phương trình:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

1 Ta thấy ngay rằng bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp đoán

nghiệm rồi phân tích thành nhân tử, tuy nhiên phương pháp đặt ẩn phụ luôn được ưu tiên, bởi trong nhiều trường hợp ta đoán được nghiệm xạ rồi nhưng

phương trình g(x) = 0 không dự đoán được nghiệm, khi đó ta phải giải một phương trình bậc 3 ở dạng tổng quát và hiển nhiên đây là công việc khó khăn

206

2 Cích dạt ẩn phụ cho phương trình bậc 4 rất phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài toán, phương pháp được trình bày trong bài toán trên chỉ

minh hoa mot kiểu dat an phụ, sau day ta đi xem xét thêm một vài ví dụ

Ở dzng ban đầu ta không thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện

ẩn phụ t¿ biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có ba nghiệm phan biét x, = 2, x,,;= — 1+V3

Chú ý : Bài toán trên có dạng tổng quát :

24 ax -=b

(x +a)

chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp giải cho bài toán trên trong chủ dé 4

B BAI TAP DE NGHI

Bài tập 1 Giải phương trình:

CHỦ ĐỀ 4 PHUGNG TRINH BAC BO C6 CHUA THAM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Doan nghiém x, cua (1)

Bước 2 Phan tich (1) thanh

(x = Xp)(ax* + b,x? + ¢,x +d) =O

X=Xo

Bước 3 Khi đó:

"(1)có 4 nghiệm phân biệt

© (2) có 3 nghiệm phân biệt khác xụ

= (1) có 3 nghiệm phân biệt

(2) có 3 nghiệm phân biệt với một nghiệm là xạ

(2) có 2 nghiệm phân biệt khác xạ

* (1) có 2 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm phân biệt với một nghiệm là xạ

a Giải phương trình với m = -]

b Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Dé tiếp tục phan tích (2), ta viết lại (2) dưới dạng:

e Dé phuong trinh cé 4 nghiém phan biét

<= (3) c6 2 nghiém phan biét khac 1 va 1 -mval—m#¥1

= Nếu (2) có nghiệm t„>0 thì (1) có nghiệm x.= +.ƒt,

" (1) có nghiệm duy nhất © (2) có nghiệm tạ<0=t; “

= (1) có hai nghiệm phân biệt ©> (2) có nghiệm t, < 0 < t;

= (1) có ba nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm 0 = t; < t;

" (1) có bốn nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm 0 = t, < t

210

Vidu 2: Tim m dé phuong trinh:

a _ Có nghiệm duy nhất

b Có hai nghiệm phân biệt

c Có ba nghiệm phân biệt

d C6 b6n nghiệm phân biệt

Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm duy nhất

b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm t, < 0 < t;

&› af(0) <0 © m(m - 1)<0<>0<m <1

Vậy với 0 <m < l phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c Phuong trinh (1) có ba nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm 0 = t, < t,

Vay khéng tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

d Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm 0 < tị < t;

m

Vậy với m < 0 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

21

Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là :

"Tim diéu kiện của tham số để phương trình có 4 nghiệm phản biệt lap

Buéc 1 Đặtt= x),t>0, khi do:

Bước 2 Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

© (2) cé hai nghiém phân biệt dương 0 < tị < t;

A>0

c/a>0

và khi đó bốn nghiém cia (1) 1a: - Jt, , - yt, , yt, , 4h: -

Bước 3 Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

4t; ++/tạ =-2V vis + yt, Wy oie Siete 4

t,t, )=c/a tỉ =c/9a 10aj 9a

Bước 4 Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số

Vidu 3; Cho phương trình:

x*-2(m + 1)x? + 2m + 1 =0 qd) Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Giải

Dat t = x’, t> 0 Khi đó:

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

© phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t¡ < t;

A>0 (m+1)? -2m-1>0

© (-b/a>0 42(m+lI)>0 œ-2 <mz0,

c/a>0 2m+1>0 212

và khi đó bến nghiệm của (1) là ~aftiy = ty s ft, ‘ ts :

Bon nghiém trén ae thành cấp số công

Bước 1 Nhận xét rằng x =0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vế của phương trình cho x?# 0, ta được:

" (1) có nghiệm, ta sử dụng phương pháp gián tiếp

" (1) có nghiệm duy nhat => (2) có nghiệm

| =3 = tham số ;

t=-2 Thử lại

» (1) có hai nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm

213

= (1) c6 b6n nghiém phan biét > (2) có nghiệm

a Giải phương trình với m = ->

b Tim m dé phuong trình có nghiệm

Giải

Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của

phương trình cho x”# 0, ta được:

Vay, với m = ~5 phương trình có nghiệm x = 1

b Phương trình (1) có nghiệm > phương trình (2) có nghiệm Itl>2

Xét bài toán ngược: "Tìm điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm"

Phương trình đã cho vô nghiệm

A<0 mỶ -8m-8<0

A>0 m° -8m—8>0 [coming = af(-2)>0 « ||2>0

(2) co hai nghiem thuoc(—2,2) af(2)>0 4m+2>0

-2<Š«2 ~«c-— c2

214

1 <m<4+22

2

Viv voi m < — 5 hoặc m > 4+ 22 phương trình đã cho có nghiệm

(Pkương trình phản hồi quy) Giải và biện luận phương trình

ax* + bx’ + cx? - bx +a=0(a #0) (1)

PHUONG PHAP CHUNG

“Thực hiện theo các bước:

Bướ 1 Nhận xétrằng x =0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vẽ của phương trình cho x z0 ta được:

Đó là phương trình bậc hai quen thuộc

Lưu ý: Với lớp phương trình trên không hề có điều kiện cho ẩn phụ t, tức là với mỗi

nghiệm :¿ của (3) ta luôn có hai nghiệm phân biệt x,, x; cho (1)

Ví duŠ: Giải và biện luận phương trình:

(m - 2)x! - 2mx — (m - 5)x? + 2mx +m — 2 =0 qd) Giải

Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của

phương ‘rinh cho x’# 0, ta được:

Nếu A =0 ©m=-2

Phương trình (1) có nghiệm kép

" Vớim= - 2, phương trình có 2 nghiệm x = eae

Với m< ~ 2, phương trình vô nghiệm

" Với m> - 2, phương trình có 4 nghiệm phân biệt:

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Viết lại phương trình dưới dạng:

= (1) c6 hai nghiém phan biệt (2) có nghiêm

đ«t,=t;

it <a<t,

= (1) c6 ba nghiém phan biét <> (2) cé nghiém a =t, <t

* (1) có bốn nghiém phan biét <> (2) c6 nghiém a <t, <t

Vidu6: Cho phương trình:

(x — l)(x + I)(x + 3)(x + 5) =m (1)

a Giải phương trình với m= 9

b Tim m dé phuong trình vô nghiệm

c Timm để phương trình có đúng một nghiệm

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

e Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

f Tim m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

® Véit=lox+4x-Ssloxt4x-4=00x,.= -24 VB

"- Vớit= -9€>x°+4x-5= -0€>x'+4x+4=0{€Ầxy= —2

Vậy, phương trình có ba nghiệm là x¡; =2 + V8 và xạ= —2

b Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

c Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm < (2) có nghiệm thoả mãn t; < t; = —9

d Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi

Vậy, với m =—16 hoặc m > 9 phương trình có hai nghiệm phân biệt

e Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm — 9 = t¡ < t;

A'>0 16+m>0

© 4f(-9)=0 © 49-m=0 om=9

S/2»>-9 -4>-9 Vậy, với m = 9 phương trình có ba nghiệm phân biệt

f Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có nghiệm - 9 < 1¡ <t;

A'>0 16+m>0

© 4f(9)>0 © 49-m>0 & -l6<m<9

S/2>-9 -4>-9 Vậy, với — l6< m < 9 phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Bài toán 6 Giải và biện luận phương trình:

Thực hiện theo các bước:

Bước 1 DUIS ae c.—

a-b X+a=t+

Vidu7:; Cho phương trình:

(x+1)'+(x+3)'=2m

a Giải phương trình với m = 1

b._ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc (—3, —1)

(1)

218

<=@) có I nghiệm e(0, L) © f(0).f1)<0 © (I- m)(8-m)<0 © 1 <m<8

Vậy, với 1 <m < 8 thoả mãn điều kiện đầu bài

Thực kiện theo các bước:

Bước I Biến đồi phương trình về dạng:

t, Sast,

ast, St,

=a

* (1) c6 nghiém duy nhat > (2) cé nghiém t, St, = a

* (1) có hai nghiệm phân biệt

t, =t

< (2) c6 nghiém thoa man h SH,

t,<a<t,

= (1) có ba nghiệm phân biệt © (2) cé nghiém a = t, <t,

= (1) có bốn nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm œ < tị < tạ

219

Vidu 8: Cho phương trình:

(m~ 1)(x?— 2x + 3)*— 2m(x? - 2x) - 5m + 5 = 0 (D

a Giải phương trình với m= - 1

b Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Vậy, với m = — | phương trình có nghiệm x = 1

b (1) có bốn nghiệm phân biệt © (3) có 2 nghiệm thoả mãn 2 < t, < tạ

Vậy, với l<m< = thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Như đã trình bày trong chủ đề 3 cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc 4 rất

phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài toán, phương pháp được trình bày trong bài toán trên chỉ minh hoạ một kiểu đặt ẩn phụ, sau đây ta đi xem xét thêm một vài ví dụ

Í‹: mỊ _ 2ax -a8>(25] _ 2ax? _ ga? (2)

Dat t= ——, khi do: x-a

t=4a

G) SẺ ~2et— Bế =0 | :

t=-2a

220

Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biét x, = 2a, x,,= at 3a”

Nhận xét: G dạng ban đầu ta không thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện ẩn phụ ta viết lại phương trình dưới dạng:

» Nếu lựa chọn hướng thứ nhất:

: ax \° ax \`, 2ax? x°~2axÌ” „ 2ax

x-a x-a x-a x-a xa

Ta thấy rằng không có sự xuất hiện của ẩn phụ

» Nếu lựa chọn hướng thứ hai:

Bai tap 3 (Để 122): Giả sử đồ thị hàm số y = x* + ax? + b cất Ox tại 4 điểm phân

biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng khi đó 9a? — 100b = 0

Bài tập 4 Chứng minh rằng nếu x,, x;, x;, x¿ là các nghiệm của phương trình: ax +bx?+c =0, thì

a Giải phương trình với m = 9

b Tìm m để phương trình vô nghiệm

c Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm

d Tim m dé phuong trình có hai nghiệm phân biệt

e Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

f Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Bài tập 6 Cho phương trình:

a Giải phương trình với m =2

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (~2, —1)

Bài tập 8 Giải và biện luận phương trình

2, 82x?

(x +a)?

222

XX +X,)Xy +X,Xq +%,Xy + X,Xy +X,X,=c/a

X,XpX +X,X2Xy +X,/X\Xy+X,X4X, =—-d/a

Bước 1 Dựa vào định lý Viéte ta xác định được một nghiệm xạ của phương trình

Bước 2 - Lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng I: Nếu phượng trình không chứa tham số:

Biến đổi phương trình về dạng:

(X — Xp)g(x) = 0 = các nghiệm

Hướng 2: Nếu phương trình chứa tham số:

Thay x = xạ vào phương trình — giá trị của tham số

223

Viét lai phuong trinh vé dang:

(1) < (2x — 1)(6x? + 5x - 6) =

6x" +5x-6=0 2 3 Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt x =

x, ==

Ta c6 x, +X; = 0 thoả mãn diều kiện

Vậy với m = | thoa man diéu kién đầu bài

Vídu3: Giải phương trình

x*— 8x' + 18x? + mx - 3=0 () biết rằng phương trình có 4 nghiệm xạ, xạ, X;, X thoa man X,+X,=X,;+X, (®)