HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. HÀM SỐ 1. Định nghĩa  Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và chỉ một số y  R.  x: biến số (đối số), y: giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).  D: tập xác định của hàm số.  T =   y f x x D ( )   : tập giá trị của hàm số. 2. Cách cho hàm số  Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y = f(x). Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm   M x f x ; ( ) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D. Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó. 4. Sư biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K.  Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )       Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )      5. Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.  Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).  Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x). Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I HÀM SỐ

1 Định nghĩa

 Cho D  R, D   Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và

chỉ một số y  R

 x: biến số (đối số), y: giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y = f(x)

 D: tập xác định của hàm số

 T = y f x x( ) D: tập giá trị của hàm số

2 Cách cho hàm số

 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng cơng thức y = f(x)

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa

3 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x ; ( ) trên mặt phẳng 

toạ độ với mọi x  D

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường Khi đĩ ta nĩi y = f(x) là phương trình

của đường đĩ

4 Sư biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K

 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x 1, 2K x: 1x2  f x( )1  f x( 2)

 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x 1, 2K x: 1 x2  f x( )1  f x( 2)

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x)

 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x)

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

BÀI TẬP

1 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa: D = xR f x có nghĩa( ) 

 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1) Hàm số y = P x

Q x

( ) ( ): Điều kiện xác định: Q(x)  0

2) Hàm số y = R x ( ) : Điều kiện xác định: R(x)  0

Chú ý: + Đơi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D

+ A.B  0  A

B

0 0

 







Bài 1 Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) f x( ) 5x Tính f(0), f(2), f(–2), f(3)

f x

1 ( )





Tính f(2), f(0), f(3), f(–2)

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thường xuyên và Dạy nghề Việt Yên

2

c) f x( ) 2 x 1 3x 2 Tớnh f(2), f(–2), f(0), f(1)

d)

khi x x

2

0 1







 





Tớnh f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3)

e)

khi x

khi x





Tớnh f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5)

Baứi 2 Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau:

y

x





x y

x

3

5 2





 c) y

x

4 4



x y

x2 3x 2



y

1





y

x2 x

3 1



 

y

x3

1 1







h) y

x4 x2

1



y





Baứi 3 Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau:

a) y 2x 3 b) y 2x3 c) y 4x x 1

d) y x

x

1 1 3

1



f) y x 3 2 x2

y

5 2





h) y x

x

1

3

x2

1 3

4



Baứi 4 Tỡm a để hàm số xỏc định trờn tập K đó chỉ ra:

y





; K = R ĐS: a > 11

y





; K = R ĐS: –2 < a < 2

c) y x a  2x a  ; 1 K = (0; +) ĐS: a  1

x a

1



  ; K = (0; +) ĐS: 1 a 4

3

 

y

x a

2 1





  ; K = (–1; 0) ĐS: a  0 hoặc a  1

x a

1



; K = (–1; 0) ĐS: –3  a  –1

e) y x a

x a

1

 ; K = (1; +) ĐS: –1  a  1

2 Dạng 2: Xột sự biến thiờn của hàm số

Cho hàm số f xỏc định trờn K

 y = f(x) đồng biến trờn K  x x 1, 2K x: 1x2  f x( )1  f x( 2)

1 2 1 2

2 1



 y = f(x) nghịch biến trờn K  x x 1, 2K x: 1x2  f x( )1  f x( 2)

1 2 1 2

2 1



Các bước xét sự biến thiên của hàm số:

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b ; 

Bước 1: Lấy x x1, 2a b; ;x1 x2

Bước 2: Tính f x 2 ,f x  1

Bước 3: Lập tỉ số  2  1

2 1

T





Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên (a; b)

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên (a; b)

Nếu T = 0 thì hàm số là hàm hằng

Bài 1 Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a) y2x ;  3 b) y   ;  x 5

c) yx24x; (–; 2), (2; +) d) y2x24x1; (–; 1), (1; +)

e) y

x

4

1



 ; (–; –1), (–1; +) f) y x

3 2



 ; (–; 2), (2; +)

Bài 2 Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên

từng khoảng xác định):

a) y(m2)x5 b) y(m1)x m 2

y

x 2



m y x

1





3 Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D cĩ là tập đối xứng hay khơng

 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D)

+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn

+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D

+ Nếu x  D mà f(–x)  f(x) thì f là hàm số khơng chẵn khơng lẻ

Bài 1 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) yx44x2 2 b) y 2x33x c) y x2 x2

d) y 2x 1 2x 1 e) y(x1)2 f) yx2 x

g) x

y

x

2

4

4



y



   i) y2x2 x

II HÀM SỐ BẬC NHẤT

1 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R

 Đồ thị là đường thẳng cĩ hệ số gĩc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:

+ (d) song song với (d)  a = a và b  b

+ (d) trùng với (d)  a = a và b = b

+ (d) cắt (d)  a  a

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thường xuyên và Dạy nghề Việt Yên

4

2 Hàm số y ax b (a  0)

b

a

b

a







Chỳ ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b ta cú thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoỏ đi hai phần đường thẳng nằm ở phớa dưới trục hoành

Baứi 1 Vẽ đồ thị của cỏc hàm số sau:

a) y2x 7 b) y 3x 5 c) x

2



3



Baứi 2 Tỡm toạ độ giao điểm của cỏc cặp đường thẳng sau:

a) y3x2; y2x 3 b) y 3x2; y4(x3)

Baứi 3 Trong mỗi trường hợp sau, tỡm giỏ trị k để đồ thị của hàm số y 2x k x ( 1):

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)

c) Song song với đường thẳng y 2.x

Baứi 4 Xỏc định a và b để đồ thị của hàm số yax b :

a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8)

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y 2x 1

3

  

c) Cắt đường thẳng d 1 :   2y x  tại điểm cú hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d5 2 : y– 3x tại 4 điểm cú tung độ bằng –2

d) Song song với đường thẳng y 1x

2

 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y 1x 1

2

   và

y3x5

Baứi 5 Trong mỗi trường hợp sau, tỡm cỏc giỏ trị của m sao cho ba đường thẳng sau phõn biệt và đồng qui:

a) y2 ;x y  x 3; ymx 5

b) y– 5(x1); ymx3; y3x m

c) y2x1; y 8 x y; (3 2 ) m x2

d) y(5 3 ) m x m 2; y  x 11; yx3

e) y  x 5; y2x7; y(m2)x m 2 4

Baứi 6 Tỡm điểm sao cho đường thẳng sau luụn đi qua dự m lấy bất cứ giỏ trị nào:

a) y2mx 1 m b) ymx 3 x c) y(2m5)x m 3

d) ym x( 2) e) y(2m3)x2 f) y(m1)x2m

Baứi 7 Với giỏ trị nào của m thỡ hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

a) y(2m3)x m  1 b) y(2m5)x m  3

c) ymx 3 x d) ym x( 2)

Baứi 8 Tỡm cỏc cặp đường thẳng song song trong cỏc đường thẳng cho sau đõy:

a) 3y6x 1 0 b) y 0,5x 4 c) x

2

 

d) y2 x6 e) x2  y 1 f) y0,5x1

Baứi 9 Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị của cỏc cặp hàm số sau song song với nhau:

a) y(3m1)x m 3; y2x 1 b) m m m m

;

c) ym x( 2); y(2m3)x m  1

Bài 10 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

1





b)





c) y 3x5 d) y 2x1 e) y 12x 3 5

   

f) y x2 1 x g) y x  x 1 h) yx x 1 x1

III HÀM SỐ BẬC HAI

yax2bx c  (a  0)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

x 

2

b a

  x 

2

b a

 

y

 

4a





y

4a





 

 Đồ thị là một parabol cĩ đỉnh I b



 , nhận đường thẳng

b x a

2

  làm trục đối xứng, hướng

bề lõm lên trên khi a > 0, xuơng dưới khi a < 0

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta cĩ thể thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh b

I



– Xác định trục đối xứng b

x a

2

  và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ

và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

Bài 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) yx22x b) y x22x 3 c) y x22x 2

d) y 1x2 2x 2

2

    e) yx24x 4 f) y x24x 1

Bài 2 Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:

a) yx1; yx22x1 b) y  x 3; y x24x1

c) y2x5; yx24x 4 d) yx22x1; yx24x 4

e) y3x24x1;y 3x22x 1 f) y2x2  x 1; y x2  x 1

Bài 3 Xác định parabol (P) biết:

a) (P): yax2bx  đi qua điểm A(1; 0) và cĩ trục đối xứng x2 3

2



Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thường xuyên và Dạy nghề Việt Yên

6

b) (P): yax2bx3 đi qua điểm A(–1; 9) và cú trục đối xứng x  2

c) (P): yax2bx c đi qua điểm A(0; 5) và cú đỉnh I(3; –4)

d) (P): yax2bx c đi qua điểm A(2; –3) và cú đỉnh I(1; –4)

e) (P): yax2bx c đi qua cỏc điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0)

f) (P): yx2bx c đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I cú tung độ bằng –1

Baứi 4 Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luụn cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt

và đỉnh I của đồ thị luụn chạy trờn một đường thẳng cố định:

2

4

    b) yx22mx m 2 1

Baứi 5 Vẽ đồ thị của hàm số y x25x Hóy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m, số điểm 6 chung của parabol y x25x  và đường thẳng y6 m

Baứi 6 Vẽ đồ thị của cỏc hàm số sau:

a) yx22x  1 b) yx x 2 c) yx22x 1

2 2



 



y

 



y

x2 x khi x

0

 



BÀI TẬP ễN TẬP Bài 1 Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau:

x

4 2

4



y

x

1  1

y

2

2

3

1





y

x

2 2 3



y

x

1



x y

x x

4







Bài 2 Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số sau:

a) y x24x1 trờn (; 2) b) x

y x

1 1





 trờn (1; +) c) y x

1 1





x

1 2





y x

3 2





 trờn (2; +∞)

Bài 3 Xột tớnh chẵn lẻ của cỏc hàm số sau:

y

x

4 2

2

2 1



 b) y 3x 3x c) yx x + x( 2 2 )

y



x x y

x

3

2 1





Bài 4 Giả sử y = f(x) là hàm số xỏc định trờn tập đối xứng D Chứng minh rằng:

a) Hàm số F x( ) 1f x( ) f( x)

2

   là hàm số chẵn xỏc định trờn D

b) Hàm số G x( ) 1f x( ) f( x)

2

   là hàm số lẻ xỏc định trờn D

c) Hàm số f(x) cú thể phõn tớch thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ

Bài 5 Cho hàm số yax2bx c (P) Tỡm a, b, c

 Tỡm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra

 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tỡm được

 Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Xác định toạ độ trung điểm I của

đoạn AB

a) (P) có đỉnh S 1 3

;

2 4

  và đi qua điểm A(1; 1); d: ymx

b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y2x m

Bài 6 Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a f x x42x2 1 b yx5x3 c y 1x 1x

d y 1x 1 x e y2x35x f yx x

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A1;3 , B2; 5 ,  C a b ;  Hãy tính tọa độ các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho:

a) Lên trên 5 đơn vị b) Xuống dưới 3 đơn vị

c) Sang phải 1 đơn vị d) Sang trái 4 đơn vị

Bài 8 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y2x 3

2

y x

c) y 2

x y

x





 



Bài 9 Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y 2xk x 1

a) Đi qua gốc tọa độ O

b) Đi qua điểm M  2;3

c) Song song với đường thẳng y 2x

Bài 10 Vẽ đồ thị của các hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y 3x5

b) y 2 x 1

Bài 11 Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng yax b

a) Cắt đường thẳng y2x5 tại điểm có hoành độ bằng - 2 và cắt đường thẳng y 3x4 tại điểm

có tung độ bằng - 2

b) Song song với đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1 1

2

y  x và y3x5

Bài 12 Viết phương trình yax b của đường thẳng

a) Đi qua hai điểm A2; 4 và B6; 6

b) Đi qua M5; 2 và song song với trục Ox

Bài 13 Tìm các giá trị của m để đường thẳng ym5xm 2

a) Song song với đường thẳng y  3

b) Vuông góc với đường thẳng 1 1

10

Bài 14 Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y3x22x 1 b) yx25x 3 c) y 3x22x 1

Bài 15 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) 2 2

3

y x b) yx2  x 1 c) y 2x2  x 2

Bài 16 Xác định parabol yax2bx biết rằng parabol đó: 5

a) Đi qua hai điểm M1;8 và N  2;5

b) Đi qua điểm A  1; 2 và có trục đối xứng x  1

với x 1

với x 1

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thường xuyên và Dạy nghề Việt Yên

8

c) Cú đỉnh là 1 39;

4 8

I 

d) Đi qua điểm B1;3 và tung độ của đỉnh là 21

4

Bài 17

a) Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số y x25x 6

b) Dựa vào đồ thị ở cõu a) hóy biện luận số giao điểm của parabol y x25x với đường thẳng 6

ym (với m là tham số)

Bài 18 Xỏc định hàm số 2  

0

yax bx c a  a) Đi qua điểm A0; 2 ; B3; 2 ; C1; 0

b) Đi qua điểm M5; 4 cú đỉnh 5; 9

I  

c) Đi qua điểm N1; 0 , P  4;5 cú trục đối xứng x   2

d) Đi qua D1; 1 hàm số đạt giỏ trị lớn nhất bằng 5 tại  x  2