Bài toán về số phức

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tác giả HUỲNH VĂN MINH - Điện thoại: 0915714180 Giáo viên trường PTTH-DTNT Huyện Sa Thầy – Tỉnh Kon Tum 1.. Căn bậc hai của số phức.. Mỗi số

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tác giả HUỲNH VĂN MINH - Điện thoại: 0915714180 Giáo viên trường PTTH-DTNT Huyện Sa Thầy – Tỉnh Kon Tum

1 Căn bậc hai của số phức

+ Định nghĩa: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn w2=z được gọi

là một căn bậc hai của w (theo GIẢI TÍCH 12 nâng cao – nhà xuất bản giáo dục)

+ Cách tìm z (tác giả đề xuất):

Đặt w=a+bi và z=x+yi (a, b, x, y thuộc R) Khi đó ta có (a+bi)2=x+yi

Thực hiện biến đổi và ta có

2 2

x -y =a 2xy=b





Chú ý w2=z nên |w2|=|z| Do đó ta có phương trình thứ ba bổ sung vào

hệ hai phương trình trên x2+y2= 2 2

a +b

Từ đó ta có hệ phương trình

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = a +b -a

2 2xy = b

1 x.y= b 2







Với hệ này ta dễ dàng tìm ra x và y

+ Ví dụ vận dụng phương pháp trên để giải:

Tìm căn bậc II của số phức z=-15+8i

Bài giải: Gọi w = x+yi là căn bậc II của z, khi đó ta có w2=z

Tức là

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = 15 +8 15 16

2 2xy = b

1 x.y= b=4 2





Vì x.y=4>0 nên x và y cùng dấu Do đó x=1

y=4





 hoặc

x=-1 y=-4





Vậy có hai căn bậc II của z=-15+8i là w1=1+4i và w2=-1-4i

+ Tập hợp một số bài tập về tìm căn bậc II của số phức w (có đáp

số ĐẸP, bài giải dành cho đọc giả trải nghiệm)

2 Phương trình bậc II

-Ví dụ 1 Phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức

Giải phương trình sau: 2

Bài giải:

+ Kết quả nghiệm z1=2+i; z2=2-i

-Ví dụ 2 Phương trình bậc hai hệ số phức

Bài giải:

2

Tính căn bậc II của :

2

Tức là

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = 8 +6 8 1

2 2xy = b

1 x.y= b=3 2





Vì x.y=3>0 nên x và y cùng dấu Do đó x=3

y=1





 hoặc

x=-3 y=-1





Vậy có hai căn bậc II của =8+6i là w1=3+i và w2=-3-i

Kết quả nghiệm

1

2

2

a

a







-Ví dụ 3 Phương trình trùng phương

Giải phương trình sau: 4   2  

Bài giải:

Đặt t=z2 Khi đó ta có phương trình t2+(3-2i)t+(8+6i)=0

2

Tính căn bậc II của :

Gọi w = x+yi là căn bậc II của , khi đó ta có w2=

Tức là

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = 27 +36 27 36

2 2xy = b

1 x.y= b=-18 2





Vì x.y=-18<0 nên x và y trái dấu Do đó x=3

y=-6





 hoặc

x=-3 y=6





Vậy có hai căn bậc II của =-27-36i là w1=3-6i và w2=-3+6i

Kết quả nghiệm

1

2

2

a

a







* Với t1=-3+4i tức là z2=-3+4i bằng phương pháp tìm căn bậc hai của số phức

ta có:

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = 3 +4 3 4

2 2xy = b

1 x.y= b=2 2





và suy ra z1=1+2i, z2=-1-2i

* Với t2=-2i tức là z2=-2i bằng phương pháp tìm căn bậc hai của số phức ta

có:

1

2

x +y = a +b

1

x -y = a y = 0 +2 0 1

2 2xy = b

1 x.y= b=-1 2





và suy ra z3=-1+i, z4=1-i

Vậy phương trình có bốn nghiệm z1=1+2i, z2=-1-2i, z3=-1+i, z4=1-i

+ Tập hợp một số bài tập về giải phương trình bậc II (có đáp số ĐẸP, bài giải dành cho đọc giả trải nghiệm)

z  z  z1 2 3 ;i z2   2 3i

z  z  z1 1 3 ;i z2   1 3i

z  z  z1  1 4 ;i z2   1 4i

z   i z  i  z1  2 3 ;i z2   2 i

06 2    

z  i z  i  z1  3 2 ;i z2   1 3i

z  i z  i  z1 1 2 ;i z2   2 i

z  z  i  z1 3 2 ;i z2   1 2i

iz   i z  i z1 1 2 ;i z2   3 i

iz   i z  i  z1 3 i z; 2   1 i

12i z  7 i z 2 5i 0 z1 1 2 ;i z2    2 i

1i z  3 3i z 2 2i 0 z1  2 i z; 2   1 i

i z   i z  i  z1  2 i z; 2   1 i

;