CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT 11

CHỈNH HỢP: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 3.. TỔ HỢP: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, không phân biệt thứ tự giữa k

Trang 1

QUI TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP

@MỘT SỐ KIẾN THỨC:

I THỰC HIỆN BÀI TOÁN ĐẾM:

1 HOÁN VỊ:

Tất cả n phần tử đều có mặt, mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần, có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2 CHỈNH HỢP:

Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

3 TỔ HỢP:

Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

4 HOÁN VỊ TRÒN:

Mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi

PP: Mời ng khách danh dự vào chỗ danh dự Còn lại n1 ! người khách ngồi tùy tiện vào n1 vị trí còn lại vậy có n1 ! cách sắp xếp

Chú ý: Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, có nghĩa là các kết quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau nên nếu xếp n người vào bàn

tròn thì có P n

n cách sắp xếp

1 Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có 4 chữ số

b) Có 4 chữ số khác nhau đôi một

Kí hiệu số phải tìm là: nabcd

a Có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 4 cách chọn c, 4 cách chọn d

Vậy theo qui tắc nhân có 4.4.4.4=256 số thỏa yêu cầu bài toán

b Có 4 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c, 1 cách chọn d

Vậy theo QTN: 4.3.2.1=24 số thỏa ycbt

2 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số ĐS: 6

b) Ba chữ số ĐS: 216

c) Ba chữ số khác nhau đôi một ĐS: 360

3 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn

a) Có 3 chữ số

b) Có ba chữ số khác nhau đôi một

Kí hiệu số phải tìm là: nabc

Trang 2

Vì n chẵn nên c0;2;4;6

a Có 4 cách chọn c, 6 cách chọn a, 7 cách chọn b

Vậy theo QTN có 4.6.7=168 số thỏa ycbt

b Trường hợp c0:

Có 1 cách chọn c, 6 cách chọn a, 5 cách chọn b

Trường hợp c0:

Có 3 cách chọn c, 5 cách chọn a, 5 cách chọn b

Tóm lại theo QTC có 30 75 105  số thỏa ycbt

4 Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau? ĐS: 30

5 Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số khác nhau đôi một biết:

a) n chia hết cho 5 b) n lẻ

Kí hiệu số phải tìm là: nabcd

a n chia hết cho 5 nên d 0;5

Trường hợp d=0:

Có 1 cách chọn d, 9 cách chọn a, 8 cách chọn b, 7 cách chọn c

Theo QTN có 1.9.8.7=504 số thỏa ycbt

Trường hợp d=5:

Như vậy theo QTC có 504+448=952 số thỏa ycbt

b n lẻ nên d1;3;5;7;9

6 Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số khác nhau đôi một, biết:

a) n chẵn ĐS: 2296

b) n chia hết cho 10 ĐS: 504

7 Cho tập A1, 2,3, 4,5,6

a) Có thể lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A ĐS: 360 b) Có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó

chia hết cho 2 ĐS: 60

c) Có thể lập bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó

Trang 3

d) Có thể lập bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó

8 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?

Vì a0 nên có 9 cách chọn a và A cách chọn bcd 93

Vậy có 9.A93 4536

9 Cho tập A1, 2,3, 4,5 Từ tập A có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt ?

Mỗi số gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tập A ứng với một chỉnh hợp chập 3 của

5 phần tử Do đó từ tập A có thể lập được A53 5.4.360 số thỏa ycbt

10 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một?

Vì a khác 0 nên có 6 cách chọn a

Mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử còn lại

Vậy có A cách chọn bcd 63

Theo QTN có 6 A =720 số thỏa ycbt 63

11 Cho tập A0,1, 2,3, 4,5 Từ tập A có thể lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm

5 chữ số khác nhau?

Mỗi số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng abcde

Để tìm được là số chẵn, điều kiện là e0, 2, 4

Trường hợp 1: e0

Có 1 cách chọn e và A cách chọn abcd 54

Như vậy trong trường hợp này có 4

5

A số thỏa ycbt

Trường hợp 2: e 2, 4 có 2 cách chọn e, a được chọn từ tập A\ 0, e có 4 phần tử

nên có 4 cách chọn, A cách chọn bcd 43

Như vây ta có : 2.4 3

4

Khi đó, theo QTC ta có: 4

5

A +2.4 A =312 số thỏa ycbt 43

12 Cho tập A1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi chữ số phải chứa số 5?

Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng abcdef

Để tìm được số phải có mặt chữ số 5 thì:

Trang 4

 

5 a b c d e f, , , , , nên có 6 cách chọn , mỗi bộ số dành cho 5 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của tập A\ 5  nên cóA cách chọn 85

Vậy có 6.A =40320 số thỏa ycbt 85

13 Cho tập A0,1, 2,3, 4,5, 6 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ

số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?

Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dangj: abcde

Để số tìm được phải có mặt chữ số 5 ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a5 có 1 cách chọn a, và có A cách chọn bcde 64

Như vậy trong trường hợp này có 1 4

6

A số thoả ycbt

Trường hợp 2: 5b c d e, , ,  có 4 cách chọn

Có 5 cách chọn a (vì a phải khác 0 và 5 )

Mối bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử suy ra

có A cách chọn 53

Như vậy trong trường hợp này có 5.4 3

5

Tóm lại theo QTC có: A +5.4 64 A =1560 số thỏa ycbt 53

14 Cho tập A0,1, 2,3, 4,5,6,7

a Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau hình thành từ tập A ĐS: 5880 số

b Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 2? ĐS: 3000 số

c Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? ĐS: 1560

15 Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam nữ?

Có 8 cách chọn bạn nam ứng với mỗi cách chọn bạn nam có 6 cách chọn bạn nữ

Theo QTN: 8.6=48 cách chọn đôi song ca nam nữ

16 Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:

a Hai người đó là vợ chồng

b Hai người đó không là vợ chồng

a) Có 10 cách chọn người đàn ông ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có

1 cách chọn người đàn bà (là vợ của người đàn ông đó)

Theo QTN có 10.1=10 cách chọn

b) Có 10 cách chọn người đàn ông Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có

9 cách chọn người đàn (trừ vợ của người đàn ông đã chọn)

Theo QTN ta có 10.9=90 cách chọn

Trang 5

17 Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra

3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên ba bì thư Một bì thư chỉ bán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

Chọn 3 trong 5 tem thư có: C =10 cách chọn 53

Chọn 3 trong 6 bì thư có: C =20 cách chọn 63

Dán 3 tem thư lên 3 bì thư có: P3  3! 6 cách chọn

Theo QTN có 10.20.6=1200 cách làm thảo ycbt

18 Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 3 nữ và 7 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền

kề nhau?

Xem 7 học sinh đứng liền kề như một nhóm X

Xếp X và 3 học sinh nữ có P4 4! cách

Xếp 7 học sinh nam trong nhóm X có P7 7! cách

Theo QTN có 4!.7! 120960

19 Một nhóm gồm 12 hsinh trong đó có 5 nữ 7 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp

12 hsinh trên thành một hàng dọc sao cho 5 hs nữ đứng liền kề nhau?

Xem 5 sinh nữ đúng liền kề nhau như một nhóm X

Xếp X và 7 hsinh nam có P8 8! cách

Xếp 5 hsinh nữ trong nhóm X có P5 5! cách

Theo QTN có 8!.5! 4838400 cách xếp thỏa ycbt

20 Một nhóm gồm 9 hs trong đó có 5 nữ 4 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 9 hsinh trên thành một hàng dọc sao cho 5 hsinh nữ phải đứng liền kề nhau và

4 hsinh nam cũng phải đứng liền kề nhau?

Xem 5 hsinh nữ đứng liền kề nhau như một nhóm X

Xem 4 hsinh nam đứng liền kề nhau như một nhóm Y

Xếp X vàY có P2 2! cách

Xếp 5 hsinh nữ trong nhóm X có P5 5! cách

Xếp 4 hsinh nữ trong nhóm Y có P4 4! cách

Theo QTN cso 5760 cách xếp

21 Trên giá sách có 30 quyển sách trong đó có 27 quyển có tác giả khác nhau.Còn 3 quyển kia của cùng 1 tác giả Hỏi có bao nhiêu cách xếp sách đó lên giá sách để các sách có cùng tác giả đứng cạnh nhau?

Xem 3 quyển sách của cùng 1 tác giả như là một vị trí X

Xếp X và 27 quyển sách còn lại có P28 28!

Xếp 3 quyển sách trong vị trí X có P3 3! cách

Trang 6

Vậy theo QTN có 3!28!

22 Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo bao nhiêu cách để có:

a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau

b) Tập 1 và tập 2 không đứng cạnh nhau

a Xem tập 1 và tập 2 như là 1 vị trí X

Xếp X và 28 tập sách còn lại có 29!

Xếp tập 1 và tập 2 trong vị trí X có 2 cách

Vậy theo QTN có 2.29! cách

b Cách xếp tùy ý có 30! Cách

Cách xếp để tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau có 2.29!

Vậy cách xếp để tập 1 và tập 2 không đứng cạnh nhau là 30!-2.29!=28.29! cách

23 Có bao nhiêu cách xếp dặt 4 người Việt Nam, 3 người Mỹ ngồi trên một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau?

Xếp theo quốc tịch có 2 cách, 4! Cách xếp 4 ng Việt Nam, 3! Cách xếp 3 ng Mỹ Vậy có 288 cách xếp thỏa ycbt

24 Một nhóm hsinh gồm 7 nam 3 nữ Giáo viên muốn chọn 5 em trong nhóm để làm công tác xã hội Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu?

a) Chọn 5 em tùy ý

b) Phải chọn 1 nữ và ba nam

c) Phải có ít nhất một nữ

a C 105

b Có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ 4 nam

Chọn 1 nữ có: C cách , Chọn 1 nam có: 13 C cách 74

Theo QTN có: C 13 C =105 cách 74

Trường hợp 2: Chọn 2 nữ 3 nam

Chọn 2 nữ có: C cách , Chọn 3 nam có: 32 C cách 73

Theo QTN có : 105 cách

Tóm lại, theo QTC có 105+105=210 cách

25 Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung Bạn Linh muốn chọn ra 5 bông để cắm bình, trong đó nhất thiết phải có 2 bông bạch nhung và 2 bông hồng nhung Hỏi có bao nhieu cách làm như vậy?

Có 2 trường hợp: 2 bông bạch và 3 bông nhung hoặc 2 bông nhung và 3 bông bạch (ĐS: 10800 cách)

26 Một tổ hsinh gồm 8 nam và 4 nữ Cần chọn ra 6 em để thành lập một đội văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách nếu chọn trong mỗi cách sau:

Trang 7

a) Có ít nhất 3 nữ b) Có nhiều nhất 2 nữ

a.Có 2 tr hợp: 3 nữ,3nam hoặc 4 nữ và 2 nam ĐS: 252 cách

b.Có 3 tr hợp: toàn nam hoặc 1 nữ 5 nam hoặc 2 nữ 4 nam ĐS: 672 cách

27 Một cái hộp có 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ Ta lấy ra 4 quả cầu

a) Hỏi có bao nhiêu cách?

b) Trong đó có bao nhiêu cách lấy hai quả cầu đỏ?

c) Có bao nhiêu cách lấy nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?

d) Ít nhất là 2 quả cầu đỏ?

HD: a) C b) 104 C C c) có 3 tr hợp: 2Đ2T+1Đ3T+0Đ4T (203 cách) d) 2Đ2T+3Đ1T 32 72

28 Xếp 3 bi đỏ khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô

a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho các viên bi cùng màu đứng cạnh nhau?

a Xếp 3 bi đỏ vào 7 ô có A =210 cách, Xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại 73 C 43

Vậy theo QTN có 210.4=840 cách xếp thỏa ycbt

b Xem 3 viên bi đỏ là 1 vị trí X, 3 bi xanh là 1 vị trí Y Vì có 7 ô nên bài toán thành xếp X,Y vào 3 ô

Có A cách xếp Xếp 3 bi đỏ vào vị trí X có 3!, xếp 3 bi xanh vào vị trí Y có 32 C cách 33

Vậy theo QTN có 6.6.1=36 cách

29 Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng Người ta chọn 4 bi từ hộp đó Hỏi có

bao nhiêu cách chọn để trong số đó bi lấy ra không đủ ba màu ?

Cách chọn 4 bi tùy ý có C154 1365 cách

Cách chọn 4 viên bi đủ màu có 3 tr hợp:

2Đ1T1V có 180 cách, 1Đ2T1V có 240 cách, 1DD1T2V có 300 cách

Vậy có 1365-720=645 cách chọn thỏa ycbt

30 Bộ bài tây có 52 con trong đó có 4 con ách Rút ra 5 con.Hỏi có bao nhiêu cách để rút được:

a) 2 con ách ĐS: 103776

b) Nhiều nhất là 2 con ách? ĐS: 2594400 (2A3X+1A4X+0A5X _A:ách, X: khác) c) Ít nhất là 2 con ách? ĐS: 108336

31 Có 12 người gồm 10 nam 2 nữ

a Có bao nhiêu cách chọn một ủy ban gồm 8 người từ 12 người đó không phân biệt nam hay nữ (ĐS: C =495 cách) 128

b Có bao nhiêu cách chọn một ủy ban gồm 8 người từ 12 người đó sao cho ủy ban

có ít nhất 1 nữ? (1 nữ 7nam hoặc 2 nữ 6nam ĐS: 450 cách)

c Số cách chọn ủy ban 8 ng là nam? ĐS: 45 cách

Trang 8

32 Một đoàn đại biểu gồm 4 hsinh được chọn từ một tổ gồm 5nam 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1nam và 1 nữ?

ĐS: 120

33 Bốn người đàn ông, 2 ng đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế quanh bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

a Xếp 2 ng đàn bà có 2 cách, xếp đứa trẻ ngồi vào giữa 2 ng đàn bà có 1 cách Xếp 4 ng đàn ông vào 4 ghế còn lại có 4! Cách Vậy có 48 cách

b Đầu tiên chọn 2 ng đàn ông có C cách Xếp 2 ng đó ngồi cạnh nhau có 2 42

cách Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa có 1 cách Xếp 4 ng còn lại vào 4 ghế còn lại

có 4! Cách Vậy có 288 cách

34 Xếp ngẫu nhiên 3 ng đàn ông, 2ng đàn bà và 1 đứa trẻ vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa 2 ng đàn bà

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai ng đàn ông

a Để tạo nên một cách sắp xếp mà đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà thì xếp đứa bé ngồi ở vị trí thứ 2 đến thứ 5- có 4 cách.Ứng với mỗi cách xếp đứa bé có

2 cách xếp 2 ng đàn bà Xếp 3 ng đàn ông vào các vị trí còn lại có 3! Cách Vậy có 48 cách xếp thỏa ycbt

b Xếp đứa bé các ghế từ thứ 2 đến thứ 5 có 4 cách Chọn 2 trong số 3 ng đàn ông

có C cách Xếp 2 ng đàn ông ngồi kế bên đứa bé có 2 cách Xếp 3 ng còn lại 32

vào trong các ghế còn lại có 3! Cách, vậy có 144 cách

35 Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau:

a) Trong mỗi số có chữ số 1 xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần b) Trong mỗi chữ số có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần

Hỏi có bao nhiêu số như vậy?

Xét số: n abcdef

a Xếp 2 chữ số 1 vào 2 trong 6 vị trí của n có C cách 62

Xếp 4 chữ số còn lại có P cách 4

Vậy theo QTN có 15.24360 cách

b Chọn 1 trong 5 chữ đã cho để cho xuất hiện 2 lần có 5 cách

Trong mỗi trường hợp này có 360 số thỏa yêu cầu bài toán

Vậy theo QTN có 5.360=1800 số thỏa ycbt

Trang 9

36 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó

chữ số 1 được lặp lại 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Kí hiệu số phải tìm n a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8

Chọn vị trí cho chữ số 0 có C 17

Chọn vị trí cho 3 chữ số 1 có C cách 73

Chọn vị trí cho 4 chữ số còn lại P4 24 cách

Vậy theo QTN có 7.35.245880 cách

RÚT GỌN-GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1 Tính:

a) 17

15

P

P ĐS:272 c) 12!

3!10! ĐS:22 e) 99

101

b) 10! 8!

8!



ĐS:91 d) 7! 5!

4!



ĐS: 205 f)

2 5

5 10

2 7 5

c) 20102009 2010

2009!

A

h) 2008 20092008 

2

2007 2009

1

2 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

12 11

49 49

10 49

M

A



 ĐS:(1251) b)

10 9

17 17 8 17

A



ĐS: (81)

3 Giải các pt sau:

a)  

 1 !1 ! 72

n





 với n nguyên dương <n=8>

b) A x2 12 (đk: x2,xN x*; 4)

c) P x2 2P x3 8 <x   1 x 4>

d) P n3 720A P n5 n5 < đk:

*

5 1

n N n

 



 

 , n=7>

e) C1x6C x2 6C x3 9x214x <đk:

*

3

x N

x x

 







f)

*

3 1

3

n N

n

   





g) A n3 20n, n6

h) A n5 18A n42 n9,n10

Trang 10

i) 2A x2 50 A22x *

2 x N x, 5

!

n

n n n



k) C n2A n2 P421

l) P x3 2A x C32  51 0

m) 2C n n1A n2 6 0 *

2

n N n

 







NHỊ THỨC NIU TƠN

1 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3  5

3x4

Số hạng tổng quát của khai triển là:    5 5   5

5k 3 4 k 5k3 k 4 k k

Số hạng này chứa x khi vàỉ khi 53    k 3 k 2

Vậy số hạng chứa x là: 3 2 3 2 3 3

53 4 4320

C  x  x suy ra hệ số cần tìm là 4320

2 Cho biết hệ số thứ ba trong khai triển 1

3

n

x

  

khai triển

Số hạng thứ ba trong khai triển là: 2  2 2 2 2

3

T C x     C x 

 

 

2

n



10

n suy ra khai triển có 11 sô hạng số hạng giữa: T6 C105

3 Tìm x sao cho số hạng thứ ba của khai triển  6

3

Số hạng thứ ba trong khai triển là T3 C x62 432 15 9 135x4  x4

Theo gt T3 540135x4 540  x 2

4 Hệ số của x y trong khai triển 5 8  13

xy ?

Sô hạng tổng quát của khai triển là: T k1C x13k 13k y k

1

k

T chứa x y5 8 13 5 8

8

k

k k

 







Vậy hệ số cần tìm: C138 1287

5 Hệ số của x trong khai triển 7  15

3 2x ?

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	563,06 KB