Chuyên đề Xác suất ở bậc phổ thông (BM Toán - ĐH Phương Đông)

Đồng thời tổng kếtlại một số kỹ thuật đơn giản để giải bài toán Xác suất mà không đi vàocác bài toán khó hoặc phức tạp.Mục lục 1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán 1 1.1 Không gian mẫu.

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Ở BẬC

PHỔ THÔNG

Bộ môn Toán, ĐH Phương Đông

HÀ NỘI, 2015

sung hoặc làm rõ hơn các khái niệm đã được nói tới Đồng thời tổng kếtlại một số kỹ thuật đơn giản để giải bài toán Xác suất mà không đi vàocác bài toán khó hoặc phức tạp.

Mục lục

1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán 1

1.1 Không gian mẫu 11.2 Biến cố ngẫu nhiên 31.3 Phép toán trên các biến cố 6

2 Tính chất cơ bản của Xác suất 12

2.1 Định nghĩa Xác suất 122.2 Tính chất của xác suất 142.3 Một số ví dụ tính xác suất 16

3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng 193.2 Sự độc lập của các biến cố 21

4 Một số bài thi Đại học gần đây 25

mà không định nghĩa chúng chặt chẽ về mặt toán học Chính vì thế mà

có thể dẫn đến nhầm lẫn hoặc hiểu mơ hồ về các khái niệm này trongnhững bài toán cụ thể

Mục này chúng ta làm việc với không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên cùngvới các phép toán hợp và giao Chúng ta vẫn nhào nặn với các ví dụ điểnhình, bình luận dài dòng và cố gắng chỉ ra những điều cảm giác như tầmthường, đôi khi nó giúp các bạn hiểu hơn về khái niệm Cũng nên ôn lạiphần mệnh đề và tập hợp trước khi học về xác suất

1.1 Không gian mẫu

Khái niệm phép thử các bạn có thể tìm đọc lại trong Đại số và Giải tích

11 Ở đây ta luôn giả sử𝒯 là một phép thử ngẫu nhiên

KẾT QUẢ SƠ CẤP Mỗi kết quả đơn giản nhất, không thể chia nhỏ được

nữa, của 𝒯 được gọi là một kết quả sơ cấp Như vậy, để ω là một biến cố

sơ cấp của𝒯 , có hai điều cần lưu ý

∙ Thứ nhất, ω phải là một kết quả của phép thử𝒯 Thứ hai, kết quả

ω phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp.

VÍ DỤ 1.1 Cho 𝒯 là phép thử tung một đồng xu kim loại có hai mặt, ký hiệu

S là kết quả xuất hiện mặt sấp và N là kết quả xuất hiện mặt ngửa Hiển nhiênthấy rằng hai kết quả này là nhỏ nhất, không thể phân chia được Khi đó phépthử có hai kết quả sơ cấp là S và N

VÍ DỤ 1.2 Tung một súc sắc 6 mặt, gọi ωi là kết quả mặt có i chấm xuất hiện,

i=1, , 6 Để thấy được yếu tố nhỏ nhất là quan trọng, ta xét

A :=kết quả số chấm xuất hiện là chẵn

So sánh ω2 và A thì thấy rằng: ω2 không thể phân chia được nữa, còn A có thểđược phân chia nhỏ hơn, vì ta có thể xem A = {ω2, ω4, ω6}, tức là A không

phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp Vậy ω2 là kết quả sơ cấp còn A không làkết quả sơ cấp của phép thử

Tuy hơi ngờ nghệch (,) nhưng cũng cần lưu ý thêm rằng, kết quả sơ cấpcủa phép thử này không là kết quả sơ cấp của phép thử khác, cho dùchúng cùng là "sơ cấp" Chẳng hạnS là kết quả sơ cấp của phép thử tungmột đồng xu nhưng không là kết quả của phép thử tung một súc sắc

Lưu ý, trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác định được biến cố sơ

cấp của một phép thử Thậm chí biết nó là kết quả rồi nhưng không biết

nó có phải là sơ cấp hay không Vì thế, để thuận tiện cho lý luận logic,chúng ta quy ước hoặc ngầm hiểu về kết quả sơ cấp của phép thử mà tađang xét Trong thực tế, việc khảo sát kết quả sơ cấp đôi khi được bỏ qua

KHÔNG GIAN MẪU Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp của𝒯 được gọi

làkhông gian mẫu1, ta thường ký hiệu không gian mẫu làΩ

1 Còn gọi là không gian các biến cố, không gian các sự kiện

1.2 Biến cố ngẫu nhiên

Ω= {ω |ω là kết quả sơ cấp của 𝒯 }.

Trong khái niệm này cũng có hai điều cần lưu ý:

∙ Thứ nhất, Ω là một tập hợp Sau này ta có thể thao tác với các kết

quả như thao tác trên tập hợp

∙ Thứ hai,Ω bao gồm tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử 𝒯 Tức

là mỗi kết quả sơ cấp là một phần tử của tậpΩ này

VÍ DỤ 1.3 Bây giờ ta tung hai đồng xu, mỗi kết quả sơ cấp là một bộ gồm 2

mặt tương ứng với hai đồng xu Ta có thể viết không gian mẫu như sau

Ω = {SS, SN, NS, NN}

Rõ ràng là như vậy vì Ω thỏa mãn hai điều đã nói ở trên Nói thêm là S /∈ Ω vì

S không là kết quả sơ cấp của phép thử tung hai đồng xu, hoặc

A= {SN, NS} −có hai mặt khác nhau

là một kết quả nhưng không phải là sơ cấp, do đó A /∈ Ω

VÍ DỤ 1.4 Trong phép thử tung một súc sắc, gọi C là kết quả số chấm xuất

hiện là chẵn, L là kết quả số chấm là lẻ Rõ ràng tập hai phần tử là {C, L} đãchứa tất cả các kết quả của phép thử nhưng nó không là không gian mẫu Tạisao? Bởi vì C, L không phải là sơ cấp

Lưu ý, không phải lúc nào chúng ta cũng viết được tường minh không

gian mẫu Các ví dụ mà chúng ta xét ở trong bài này đều được xem là lýtưởng, tức là không gian mẫu có một số tính chất tốt đẹp nào đó, dễ nhậnbiết về mặt trực giác

1.2 Biến cố ngẫu nhiên

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Giả sửΩ là không gian mẫu của phép thử𝒯

Mỗi tập con củaΩ sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên2.

Ta thường ký hiệu các biến cố là chữ cái Latinh hoa A, B, C, hoặc cóthêm chỉ số dưới A1, A2, ; ký hiệu các kết quả sơ cấp là ω hoặc có thể thêm chỉ số dưới Nếu có ω ∈ A thì kết quả sơ cấp ω được gọi là một kết

quảthuận lợi cho A.

VÍ DỤ 1.5 Trong ví dụ tung 2 đồng xu thì SS, SN, NS, NN là các kết quả sơ

cấp Ta gọi A là kết quả hai đồng xu xuất hiện đúng một mặt ngửa, B là kết quả

có hai mặt xuất hiện khác nhau Bên ngoài, về mặt ngôn từ thì A và B có vẻ khácnhau, nhưng thực chất thì chúng bằng nhau về mặt tập hợp nếu ta mô tả chúngthông qua các kết quả sơ cấp

A= {SN, NS} = B

Như vậy {SN, NS} là một tập con của không gian mẫuΩ, vậy nó là biến cố theođịnh nghĩa ở trên Bản chất cùng là một tập con nhưng có thể có nhiều tên gọikhác nhau

VÍ DỤ 1.6 Trong ví dụ tung 1 con xúc xắc ở trên, ta có 6 kết quả sơ cấp Biến

cố A = {ω2, ω4, ω6} là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm là chẵn Biến cố xuất

hiện mặt 2 chấm là biến cố thuận lợi cho biến cố A, ta viết ω2 ∈Ω

BIỂU ĐỒ VENN Ta có thể biểu diễn các biến cố một cách trực quan

bằngbiểu đồ Venn như sau: không gian mẫu Ω thường được biểu diễn làmột miền hình chữ nhật, biến cố A biểu diễn là một miền có hình dạng

tuỳ ý, thường là hình tròn để dễ phân biệt, kết quả sơ cấp ω là một điểm

nào đó trongΩ

1.2 Biến cố ngẫu nhiên

BIẾN CỐ RỖNG Biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử ngẫu

nhiên được gọi là biến cố rỗng hoặc biến cố không, ta thường ký hiệu là

∅ Như vậy, biến cố∅không chứa một kết quả sơ cấp nào

VÍ DỤ 1.7 Trong phép thử tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt

7 chấm, gọi B là biến cố xuất hiện mặt 100 chấm Dễ thấy cả A, B đều là biến

cố rỗng vì không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho A, B Ta thấy rằng, về hìnhthức thì dường như chúng khác nhau, nhưng về bản chất thì A, B là giống nhau,đều không chứa phần tử sơ cấp nào Chính vì thế mà người ta dùng∅ để chỉ tất

cả những biến cố có cùng bản chất như vậy

Sau đây ta sẽ xét đến hai biến cố đặc biệt, rất có ý nghĩa trong lý thuyếtxác suất

BIẾN CỐ CHẮC CHẮN Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử

ngẫu nhiên được gọi làbiến cố chắc chắn, ta thấy rằng biến cố chắc chắn

chính là toàn bộ không gian mẫuΩ

VÍ DỤ 1.8 Chọn ngẫu nhiên một học sinh Biến cố sinh viên đó có tuổi dưới 200

là biến cố chắc chắn, tức là bất kì sinh viên nào cũng có tuổi dưới 200

QUAN HỆ KÉO THEO Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên.

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu: A xảy ra thì B xảy ra.

Tức là, nếu ω ∈ A thì ω ∈ B

Về phương diện tập hợp thì ta có thể thấy ngay rằng A là tập con của B,

kí hiệu A ⊂ B Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A kéo theo B

và ngược lại, B kéo theo A Khi đó ta hiểu hai tập A và B bằng nhau vềmặt tập hợp, ta viết A= B

VÍ DỤ 1.9 Tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt có chấm chẵn lớn

hơn 3, gọi B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm không là 2 và không là 5 Ta có

A kéo theo B, do

A= {ω4, ω6} ⊂ {ω1, ω3, ω4, ω6} = B

VÍ DỤ 1.10 Trong hộp có 2 bi xanh và 2 bi đỏ, người ta lấy ngẫu nhiên 2 viên,

gọi A là biến cố có đúng 1 bi đỏ, B là biến có 2 viên khác màu, rõ ràng A, B làhai biến cố bằng nhau

Câu hỏi: Kiểm tra quan hệ kéo theo có thỏa mãn các tính chất: phản xạ, bắc cầu, đối xứng hay không? Nếu không thì hãy lấy một phản ví dụ.

BÀI TẬP TÍNH TOÁN

BÀI TẬP 1 Xét phép thử tung 3 đồng

xu, mỗi đồng xu có một mặt sấp và một

mặt ngửa i) Hãy mô tả không gian mẫu

của phép thử này và tính số lượng các

kết quả sơ cấp ii) Hãy mô tả biến cố có

đúng 2 mặt ngửa iii) Hãy cho một ví dụ

về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn

BÀI TẬP 2 Phép thử tung 2 xúc xắc,

mỗi xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có từ

1 đến 6 chấm i) Hãy mô tả không gian

mẫu và tính số lượng các kết quả sơ cấp

ii) Hãy mô tả biến cố tổng số chấm xuất

hiện là 6 iii) Hãy cho một ví dụ về biến

cố rỗng và biến cố chắc chắn

BÀI TẬP 3 Trong trò chơi lô-tô loại

hai chữ số, người ta mua một con số,

xem đó là phép thử ngẫu nhiên i) Hãy

mô tả không gian mẫu của phép thử này

và tính số lượng các kết quả sơ cấp ii)

Hãy mô tả biến cố tổng hai chữ số trên

con số được mua là 6 iii) Hãy cho một

ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắcchắn

BÀI TẬP 4 Tung 3 đồng xu, mô tả

các biến cố: i) Biến cố A có đúng 0 đồng

xu mặt sấp ii) Biến cố B có đúng 1 đồng

xu mặt sấp iii) Biến cố C có đúng 2đồng xu mặt sấp iv) Biến cố D có đúng

3 đồng xu mặt sấp v) Biến cố E có ítnhất một đồng xu mặt sấp vi) Biến cố

F có nhiều nhất hai đồng xu mặt sấp

BÀI TẬP 5 Tung 2 xúc xắc, mô tả các

biến cố: i) Biến cố A có số chấm xuấthiện trên hai mặt là bằng nhau ii) Biến

cố B có tổng số chấm xuất hiện trên haimặt là 7 iii) Biến cố C có hiệu số chấmxuất hiện trên hai mặt là 2 iv) Biến cố

D có số chấm của xúc xắc 1 lớn hơn sốchấm của xúc xắc 2

1.3 Phép toán trên các biến cố

Tương tự như các phép toán trên tập hợp, ta có các phép toán trên cácbiến cố ngẫu nhiên như phép hợp, phép giao và phép trừ

1.3 Phép toán trên các biến cố

PHÉP HỢP Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên,

biến cốhợp của A và B kí hiệu là A∪B,

Biến cố A∪B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra

ω ∈ A∪B khi và chỉ khi ω ∈ A hoặc ω ∈ B

Nói cách khác, hoặc là A xảy ra hoặc là A xảy ra Về phương diện tậphợp, biến cố A∪B chính là hợp của A và B

VÍ DỤ 1.11 Mọi biến cố A đều là tổng của các kết quả sơ cấp thuận lợi cho

A, biến cố chắc chắn Ω là tổng của tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử đó.Chẳng hạn Ω của phép thử tung 1 đồng xu, ta có Ω= {S} ∪ {N}

VÍ DỤ 1.12 Từ một cỗ bài Tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá Gọi

A là biến cố bộ lấy ra có lá Át3 Ta có nhiều cách biểu diễn khác nhau của A.Chẳng hạn,

A = A1∪A2∪A3trong đó Ai là biến cố có đúng i lá Át trong bộ 3 lá được rút ra Hoặc cũng cóthể viết dài dòng hơn bằng cách liệt kê tất cả các trường hợp có thể

A= {Ace♣, 1, 1♠} ∪ ∪ {Ace♣, Ace, Ace♠}

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP HỢP Ta thấy rằng phép hợp của hai biến cố

thực chất là phép hợp của hai tập hợp, do đó phép toán này thừa kế cáctính chất của phép hợp của hai tập hợp, như tính chất giao hoán hoặc

tínhkết hợp Ở đây ta bổ sung thêm hai tính chất nữa.

3 ta hiểu là có ít nhất một lá Át

H1 Tính giao hoán, A∪B =B∪A.

H2 Tính kết hợp, A∪ (B∪C) = (A∪B) ∪C

H3 Tính trung hòa của biến cố rỗng, A∪ ∅ = A

H4 Tính nuốt, nếu A⊂ B thì A∪B= B Từ đây suy ra A∪Ω =Ω

Về mặt trực giác thì các tính chất này khá hiển nhiên Các bạn có thể tìmchứng minh chặt chẽ qua ngôn ngữ tập hợp Mỗi một tính chất đều có ýnghĩa thực tế riêng, ta xét ví dụ sau đây

VÍ DỤ 1.13 Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá từ một cỗ bài Tây Gọi A là biến cố

bộ lấy ra có lá Át Minh họa cho H3, biến cố bộ lấy ra có 4 lá Q là biến cố rỗng,

do đó biến cố

A∪ ∅ = bộ lấy ra có Át hoặc có 4 lá Q = bộ lấy ra có Át = A

Minh họa cho H4, biến cố bộ lấy ra có nhiều nhất 3 lá Q là biến cố chắc chắn,

do đó biến cố bộ lấy ra có Át hoặc nhiều nhất 3 lá Q chính là bộ lấy ra có nhiềunhất 3 lá Q, đó là Ω

PHÉP GIAO Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên,

biến cốgiao của A và B kí hiệu là A∩B

Biến cố giao xảy ra khi cả hai biến cố A, B đồng thời xảy ra

ω ∈ A∩B khi và chỉ khi ω ∈ A và ω∈ B

Nói cách khác A xảy ra và B xảy ra Về phương diện tập hợp, biến cố

A∩B chính là giao A và B

1.3 Phép toán trên các biến cố

VÍ DỤ 1.14 Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp Gọi T là biến cố học sinh

giỏi môn Toán, V là biến cố học sinh giỏi môn Văn, khi đó

T∩V là biến cố học sinh học giỏi cả 2 môn Toán và Văn

VÍ DỤ 1.15 Hai thợ săn cùng ngắm bắn vào một mục tiêu, gọi A là biến cố thợ

săn thứ nhất bắn trượt, B là biến thợ săn thứ hai bắn trượt, khi đó

C= biến cố mục tiêu không bị trúng đạn là A∩B

VÍ DỤ 1.16 Gieo hai đồng xu, A là biến cố có ít nhất một mặt S còn B là biến

cố có ít nhất một mặt N Khi đó A∩B là biến cố có một S và một S Biểu diễndưới dạng tập hợp

A = {SS, SN, NS}, B= {NN, SN, NS} và A∩B= {SN, NS}

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP GIAO Tương tự như phép hợp, ta thấy rằng

các tính chất của phép giao của hai biến cố được thừa kế từ tập hợp

G1 Tính giao hoán, A∩B=B∩A

G2 Tính kết hợp, A∩ (B∩C) = (A∩B) ∩C

G3 Tính phân phối,(A∪B) ∩C = (A∩C) ∪ (A∩C)

G4 Nếu A⊂ B thì A∩B = A Từ đây suy ra A∩ ∅ = ∅và A∩Ω =A

XUNG KHẮC Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu A∩B = ∅.Nói cách khác A xảy ra thì B không xảy ra, và ngược lại Trong biểu đồ

Venn ta thấy hai biến cố này rời nhau

VÍ DỤ 1.17 Gieo một súc sắc, A là biến cố có chấm chẵn xuất hiện còn B là

biến cố xuất hiện 1 chấm hoặc 5 chấm Khi đó A và B là xung khắc với nhau.Biểu diễn dưới dạng tập hợp

A = {ω2, ω4, ω6}, B= {ω1, ω5} và A∩B= ∅

Câu hỏi: i) Quan hệ xung khắc có tính chất đối xứng, phản xạ, bắc cầu?

Nếu không thì hãy nêu một phản ví dụ ii) NếuC ⊂ A, A xung khắc với

B thì C có xung khắc với B không? iii) Có biến cố nào xung khắc với tất

Câu hỏi: i) Liệu rằng A luôn có biến cố đối hay không và biến cố đối đó

có là duy nhất hay không? Có!4 Vì thế mà ta ký hiệu biến cố đối của A

là A ii) Hơn nữa, bạn hãy cho biết biến cố đối của biến cố đối của A, kýhiệu là A , sẽ là gì?

VÍ DỤ 1.18 Gieo một súc sắc, A là biến cố có chấm chẵn xuất hiện còn A là

biến cố xuất hiện chấm lẻ, vì

A= {ω2, ω4, ω6}, B = {ω1, ω3, ω5} và có A∩B = ∅, A∪B=Ω

Câu hỏi: i) Nếu A ⊂ B, thì quan hệ giữa A và B sẽ thế nào? iii) Có biến

cố nào xung khắc với tất cả các biến cố khác?

4 Bạn thử chứng minh xem sao

1.3 Phép toán trên các biến cố

BÀI TẬP 10 Ba xạ thủ cùng bắn mỗi

người một viên đạn vào cùng một bia,gọi A, B, C là các sự kiện các xạ thủtương ứng bắn trúng bia Hãy biểu diễncác sự kiện sau:

a) Có ít nhất một viên trúng bia b) Cả

ba viên đều trúng bia c) Chỉ có một viêntrúng bia d) Không viên nào trúng bia.e) Tìm mối liên hệ của các biến cố nóitrên

C HƯƠNG 2

Tính chất cơ bản của Xác suất

Dưới đây, thực hiện một phép thử 𝒯, ta hiểu xác suất1 của một biến cốngẫu nhiên A, ký hiệu là P(A), là một số thực nằm trong đoạn [0, 1], nóbiểu thị khả năng xuất hiện của biến cố A trong phép thử Xác suất củamột biến cố càng gần 0 thì biến cố đó càng ít xảy ra, ngược lại xác suấtcủa biến cố càng gần1 thì biến cố đó càng dễ xảy ra

2.1 Định nghĩa Xác suất

ĐỒNG KHẢ NĂNG Xét phép thử 𝒯 có không gian mẫu là Ω, hai kết

quả sơ cấp ω và ω′ được gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của

ω và ω′trong phép thử là như nhau

Ở bậc phổ thông, chúng ta chỉ xét các phép thử lý tưởng, tức là khônggian mẫu là hữu hạn có n phần tử, và tất cả các kết quả sơ cấp đều làđồng khả năng và khả năng xuất hiện là1/n

Khi đó các phép thử như tung một đồng xu, tung một súc sắc hay chọnmột số trong trò chơi xổ số mà chúng ta đã xét chẳng qua là mặc cái áokhác nhau mà thôi Chúng chỉ sai khác nhau về số lượng các kết quả sơcấp

VÍ DỤ 2.1 Trong phép thử gieo một đồng tiền xu cân đối và đồng chất, khi đó

Ω = {S, N} Về lý thuyết, khi nói đồng xu cân đối và đồng chất thì có nghĩa là

1xác có nghĩa là đúng, suất có nghĩa là phần

XÁC SUẤT Ta luôn giả thiết rằng phép thử𝒯 với không gian mẫuΩ có

số kết quả sơ cấp làn(Ω)và chúng là đồng khả năng Biến cố A có tất cả

n(A) hữu hạn kết quả sơ cấp thuận lợi cho A

Khi đóxác suất của biến cố A được định nghĩa bằng

P(A) = n(A)

n(Ω)

CÁC BƯỚC TÍNH XÁC SUẤT Từ công thức nói trên, ta có các bước

tính xác suất theo định nghĩa

Bước 1 TìmΩ và n(Ω)

Bước 2 Tìm A và n(A)

Bước 3 Thay vào công thức P(A) =n(A)/n(Ω)

Chú ý rằng, trong một số bài toán ta có thể bỏ qua việc tìmΩ và A và đitìm ngay các con sốn(Ω)vàn(A)

VÍ DỤ 2.2 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, hãy tính xác suất để xuất

hiện mặt có số chấm là lẻ?

GIẢI Ta có Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} nên n(Ω) = 6 Gọi L là biến cố sốchấm xuất hiện là lẻ, khi đó L = {ω1, ω3, ω5} và n(L) = 3 Vậy nên xác suấtcần tìm là

P(L) = n(L)

n(Ω) =

3

6 =1/2.