Đề thi vào lớp 10 Vinh Phúc 2012-2013
Trang 2Đề bài của đề :
Cho x,y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 =1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức M = 3xy + y2
Lời giải
* Nếu y =0 thì M = 0
* Nếu y 0đặt x=ty ,khi đó ta có :
t2y2 + y2 = 1 và 3ty2 + y2 = M
Chia vế với vế hai đẳng thức trên ta được :
t2 + 1/ 3t + 1 = 1/M Mt2 – 3t + M – 1=0 (*)
Phương trình cuối này là phương trình bậc hai vởi ẩn là t ,tham số là M
- Nếu M = 0 thì t = - 1
3
Nếu M 0 Để phương trình này có nghiệm thì 0
Tức là (- 3)2 - 4.A.(A-1) 0hay 4A2 - 4A - 3 0hay (A -3
2)(A + 1
2) 0
Hay (A -3
2) 0 và (A + 1
2) 0hoặc (A -3
2) 0 và (A + 1
2) 0
2 A 2
hoặc A 3
2
và A 1
2
(vô lí)
Vậy:
* GTLN của A =3
2khi phương trình(*) có nghiệm kép t1 = t2 = 1/ 3hay
x = 1/ 3y hay x = 1
2 và y = 3
2 hoặc x =- 1
2 và y =- 3
2
*GTNN của A = 1
2
khi phương trình(*) có nghiệm kép t1 = t2 = - 3
hay x = - 3y hay x =- 3
2 và y = 1
2 hoặc x = 3
2 và y = -1
2
************************************
Tôi xin giới thiệu cách giải bài này với việc sử lại đôi chút của đề thi vào lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013 ,bài này xứng tầm thi vào Đại học –Cao
đẳng.Tôi tin chắc ngay cả học sinh khá giỏi lớp 12 nhiều em sẽ gặp khó khăn
Đề bài :
Cho x,y là các số dương và x2 + y2 =1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3xy + y2
Lời giải
Vì x,y dương nên y0 nên đặt x=ty ,khi đó ta có :
t2y2 + y2 = 1 và 3ty2 + y2 = A
Chia vế với vế hai đẳng thức trên ta được :
t2 + 1/ 3t + 1 = 1/A At2 – 3t + A – 1=0 (*)
Phương trình cuối này là phương trình bậc hai vởi ẩn là t ( t dương vì x,y đều dương),tham số là A.Do x,y dương nên A dương ( Tức là A 0 ) ta không cần xét A= 0 nữa.Để phương trình này có nghiệm dương thì 0và tích các
nghiệm phải dương
Trang 3Đề thi vào lớp 10 Vinh Phúc 2012-2013 Tức là (- 3)2 - 4.A.(A-1) 0và A-1/A 0 hay 4A2 - 4A - 3 0và A-1/A 0 hay (A -3
2)(A + 1
2) 0 và A-1/A 0
*Do A dương nên (A +1
2) dương nên để (A -3
2)(A + 1
2) 0 thì A - 3 0
2 hay
3
2
A
*Do A dương nên để A-1/A 0 thì A-10 hay A 1
Vậy:
* GTLN của A =3
2khi phương trình(*) có nghiệm kép t1 = t2 = 1/ 3hay
x = 1/ 3y hay x = 1
2 và y = 3
2
*GTNN của A =1 khi t2 - 3t = 0 hay t = 3 (do t dương) hay x = 3y hay x=
3
2 và y = 1
2
Lưu ý :Đề ở trên Tôi đã chỉnh lại với điều kiện x,y dương để bạn đọc thấy cách
giải này rất phù hợp với học sinh Nếu đề chi là x,y là các số thực thì lời giải sẽ
dễ hơn rất nhiều