BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016

BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho tất cả các thí sinh

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình: 2

1 1 2 2

mx y

 





 (với x, y là ẩn; m là tham số)

a) Giải hệ phương trình đã cho với m1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm  x y thỏa mãn ; điều kiện 3x  y 1 0

Câu 2 (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d có phương trình y  3x m (m là tham số) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:

a) Đường thẳng  d đi qua điểm 1; 1

2

A  

 

b) Đường thẳng  d cắt các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9

Câu 3 (2,0 điểm)

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  x3Pm có nghiệm

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho BC là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O, bán kính R0 Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD, BE,

CF của tam giác ABC đồng qui tại H (D, E, F là các chân đường cao)

a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b) Gọi A' là trung điểm BC, A là trung điểm 1 EF , K là điểm đối xứng với B qua O Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R AA 1OA AA' '

c) Xác định vị trí của A để DEEFFD đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n! 1.2.3  n (tích của n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều

là ước số của n!

———— HẾT————

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho tất cả các thí sinh

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

a

Thay m1 vào hệ ta có: 2

1 1 2 2

x y

 







0,75

1

2

x

y

x y

y

  





 



Vậy, hệ có nghiệm  x y là ; 3 1;

2 2

  và  1; 2

0,5

b

Thay y3x1 vào hệ có:

(3 1) 1

( 3) 2 1

3 1 2 2 3 5 0 2

mx x



( 3) 2

1 1

19 5

5 2

m x

m x







   





Vậy, m1 hoặc 19

5

m

0,25

a

Đường thẳng  d đi qua điểm 1; 1

2

A  

1 3

5 2

m

2

m thì  d đi qua điểm 1; 1

2

A  

b

 d cắt các trục toạ độ tại các điểm A0;m và  ; 0

3

m

B 

2

3

OAB

m

3 2,0

P

15 11

x



 151 11 3  5 18 93

1 2 5 2 5

3

x



b

5 3

x

5

m

m



K

O

A 1

A' F

E

D

H

C B

A

a Do BEC BFC90o suy ra tứ giác BFEC nội tiếp 0,5

AEF ABC

  (cùng bù với góc CEF ) và BACFAE

b Ta có BCK90 ,o AHBCAH/ /KC

BAK CH ABCH AK

tứ giác AHCK là hình bình hành

0,5

'

AA AE

AB AA

 ∽    , trong đó: AA’ là trung tuyến ABC , AA1

là trung tuyến AEF

2

2 ' 2

KBC

0,25

Từ (1) và (2) suy ra: 1

1

'

'

AA OA

R AA OA AA

c Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB

Ta có: OB'AC OC, 'ABOA OB OC', ', ' lần lượt là đường cao của các tam

giác OBC, OCA, OAB

0,25

2

ABC OBC OCA OAB

S S S S  OA BCOB ACOC AB

2SABC OA BC OB AC OC AB' ' '

0,25

Theo phần b suy ra: ' 1

'

AA

OA R

AA

'

AA

AA là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam giác đồng dạng AEF và ABC nên 1

'

AA EF

AA  BC Tương tự có: OB' R.FD;OC' R.ED

thay vào (3) ta được: 2SABC R EF( FDDE)

0,25

Do ADAA'AO OA 'AD R OA', dấu bằng xảy ra khi A là điểm chính

giữa cung lớn BC

Mà R không đổi, nên EFFDDE lớn nhất  SABC lớn nhất ADlớn nhất

A

 là điểm chính giữa của cung lớn BC

0,25

Với n  3 n! 6

Ta có: 3 1 2; 4 1 3;5     2 3;6 1 2 3   khẳng định đúng với n3 0,25 Giả sử khẳng định đúng với nk k 3,k 

Ta đi chứng minh khẳng định đúng với n k 1

Thật vật:

Giả sử a là số nguyên dương tuỳ ý và an1 ! , chia a cho n1 với số dư r và

thương d Khi đó: ad n  1 r, 0  r n 1

Theo giả thiết, do

1

!

m i i



   trong đó d i1 i mlà các số tự nhiên khác

nhau từng đôi một, và là ước của n!

0,25

Đồng thời mn Khi đó: ad n1   1 d mn 1 r và tổng này có không

quá n1 số khác nhau từng đôi một và đều là ước của n1 ! (đpcm) 0,5

-Hết -

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm)

b) Giải hệ phương trình:

3

2 6 0





  



x x y

xy x

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tìm số nguyên tố p để 2p1 là lập phương của một số tự nhiên

b) Trong bảng 11 11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau) Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5

Câu 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D E F, , tương

ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ , , ; A B C gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC;

gọi N P, tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh CA AB,

a) Chứng minh rằng HE MN HF MP

b) Chứng minh rằng tứ giác EFPN nội tiếp

c) Chứng minh rằng

2

BD BM AB

CD CM AC

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3 Chứng minh rằng:

1

a b b c c a

Câu 5 (1,0 điểm)

Điểm M x y của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số  ;

nguyên Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm

nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0)

———— HẾT————

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó

B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

a

Đk:

0

4 10 7 0











x

0,25

Ta thấy x0 không là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra x0

1 1

0,25

Đặt 4 x 7   8 t 4 7 8

2



t t

8







t

t t

t

Kết hợp với điều kiện t4 7 8  t 8

0,5

Với t 8 4 x 7 164x16 x 7 0

x

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm 49

4



x và 1

4



x

0,5

b Ta thấy x0 không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra x0

Hệ đã cho tương đương:

3

3

2

2 3

2

2 3



 

    



y x

y

x

Đặt 2  a

3

2 3

3 0

2 3

  



 



a y a ay y

0,5

2

3

3 0







a y

a y

3

3 0

2

 





y y

+) y        1 a 1 x 2 hệ đã cho có nghiệm   x y;   2; 1

0,25

+) y     2 a 2 x 1 hệ đã cho có nghiệm    x y;  1; 2

Vậy, hệ đã cho có nghiệm  x y là: ;  2; 1 và  1; 2

0,5

a Do 2p1 là lập phương của một số tự nhiên, suy ra 2p 1 z3z lẻ

2 1,

2p 1 2k1  p k 4k 6k3

Vì p là nguyên tố nên k chỉ có thể là 1 2p 1 33  p 13

Vậy, số nguyên tố p cần tìm là 13

0,5

b Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 121, khi đó hiệu giữa hai số ghi ở hai ô

Số ô vuông cách nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông

(10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ trong bảng trên ô ghi số 1 và ô ghi số 121

cách nhau 4 cặp ô vuông   1;a1 , a a1; 2a a2; 3 , a3;121

1 a 1 a 2

3

a

121

0,25

Nếu hiệu của hai số trong hai ô kề nhau nào đó cũng chỉ là 5 thì qua 20 cặp ta có sự

chênh lệch là 20.5 100 Như vậy 1 100 101 121   Do đó ắt có hai ô kề nhau

nào đó sao cho hiệu hai số viết trong hai ô lớn hơn 5

0,5

O

M

H F

E

B

A

3

a Ta có:   180o

EHFFAE và PMN PAN 180o FHE PMN  1 0,25

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên

2

Lại có tứ giác AFHE và APMN nội tiếp HAF HEF MAC, MPN

HE HF

b Do   90 ,o   90o

AEFHEF  APNMPN và kết hợp với (2)

NEFEPN 

c

AHC

S









và ABM

ACM

S









0,5

Suy ra

2 2

BD BM AB HF MP

CD CM AC HE MN

Do HF MP HE MN , suy ra

2

BD BM AB

CD CM AC

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,

ta có 1 1 a b2 33a b2 và 33ab2     a b b a 2 b

a b

0,25

Suy ra 1 2 1 1 ( 2 2 )

2 a b 2 18 a  ab

2

( 2 )

2 b c 2 18 b  bc

2 2

( 2 )

2 c a  2 18 c  ca

0,25

Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được

2

2

1

2 a b2 b c2 c a 2 18 a b c  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

0,25

+ n4 không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đỉnh của một hình

vuông đơn vị, khi đó, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm nguyên đang xét

có diện tích bằng 1

2 không phải là số nguyên

0,25

+ Ta chứng minh n5 là số nguyên bé nhất thỏa mãn Ta chia các điểm nguyên

( ; )

M x y của mặt phẳng thành 4 loại:

Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn

Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai

điểm A, B Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn

là số nguyên

0,25

4

+ Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn

Gọi h là khoảng cách ( ; d C AB với ), C c c( ;1 2), khi đó 1

2

ABC

S  AB h là số nguyên

Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên

+ Xét trường hợp A a a( ;1 2), ( ;B b b1 2)

thuộc cùng một loại, nhưng a1 b1,

2 2

a b Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn

1 2

( ; )

D b a (Hình vẽ) Khi đó, theo lập luận

ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có

diện tích là số nguyên, suy ra S ACBD là số

nguyên

Nhưng S ACBDS ABCS ABD, nên S ABC là

số nguyên Điều phải chứng minh

0,25

-Hết -