BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1(2,5 điểm)
1.Cho biểu thức
a b b a
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a Q
−
− +
+
+ +
+
−
=
3 3
2
2
2
với a>0 ; b>0 a≠b.
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
( a2 + b2 + c2)2 = 2 ( a4 + b4 + c4)
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : 2
2
1
m mx
y=− +
( tham số m ≠ 0).
1.Chứng minh rằng với m≠0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
2 Gọi A(x1;y1) (;B x2;y2) là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = y12 + y22
Câu 3 (1,5 điểm)GiảI sử a,b,c là các số thực a ≠b sao cho hai phương trình
; 0 1
2 +ax+ =
x x2 +bx+c=0;có nghiệm chung và 2 phương trình x2 +x+a=0;
; 0
2 +cx+b=
x có nghiệm chung Tính a+b+c.
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng
A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O)
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC Chứng minh DH ⊥BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
+ + +
+ +
= +
+ +
+ +
+ + +
+ +
= +
+ +
+ +
2013 2012
2011 2013
2012 2011
2013 2012
2011 2013
2012 2011
y x
z x
z y
x z
y z
y x
Chứng minh rằng x=y=z
-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2O C1
A1
E H
M
X D
C B
A
GV: KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO.CẨM KHÊ-PHÚ THỌ
hướng dẫn giải ( CÂU KHÓ)
Câu 3: Giả sử phương trình x2 +ax +1 =0 (1) và x2 +bx +c =0 (2)có nghiệm chung x0 tính được : x0 ( a-b) = c-1
b a
c x
−
−
=
⇔ 0 1 ( vì a≠b)suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là:
x2=
1
−
−
c
b
a
(c≠1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) )
Giả sử Phương trình : x2 +x +a =0 (3) và x2 + cx +b=0 (4) có nghiệm chung x1
ta có : x1( 1-c) = b-a ⇔
x1 = −1
−
c
a b
= x2 vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x1
từ (1) và (3) ta có (a-1) (x1 -1) =0
nếu a=1 ⇔x2 +x+1 =0 vô lý vậy x1 =1 từ đó tính được
a+b +c =-3
Bài 4:
1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC1A1C nội tiếp suy ra DA.DC = DC1.DA1
tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX DB
Vậy DX.DB = DC1.DA1
2) Vì : DX.DB = DC1.DA1 nên tứ giác A1BX C1 nội tiếp suy ra
BXC1 + BA1C1 =1800
do tứ giác BA1 HC1 nội tiếp BA1C1 = BHC1
nên tứ giác BXC1 H nội tiếp suy ra BXH =900
vậy HX⊥BD (1)
kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình
bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng
tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =900
vậy EX ⊥BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng
vậy MX ⊥BD lại có BH⊥DM nên H là trực tâm tam giác DBM
suy ra DH⊥BM
Đặt a x = + 2011, b y = + 2011, c z = + 2011 Ta có hệ
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
vai trò x,y z bình đẳng
Trang 3Giả sử c m = ax{a;b;c} vì A C = Ta có
( )
*
Mặt khác,
c a
c b
Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z