Biện luận số nghiệm của HPT theo m.
Trang 1DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 1
1 Hê ̣ phương trình đối xứng loa ̣i 1:
- Cách giải: Đặt S = x + y , P = xy rồi đưa hệ về hai ẩn S, P Giải hệ này rồi tìm nghiê ̣m (x; y) của hệ với x,y là nghiê ̣m của phương trình bâ ̣c hai: 2
0
X SX P
Chú ý: có trường hợp ta biến đổi hệ để tính P trước hoặc S trước
- ví dụ: Để giải hệ phương trình: 5( ) 2 19
x y xy
x y xy
Do đó x, y là nghiê ̣m của phương trình: 2
12 0
X X
Vâ ̣y HPT có 2 nghiê ̣m (4; -3) và (-3; 4)
- ví dụ: Để giải hệ phương trình: 49
x y xy
xy x y
ta đặt t = -y thì được HPT:
x t xt
xt x t
rồi giải như với HPT trên
- ví dụ: Để giải hệ phương trình:
x y xy
ta đặt t = 2y thì được 1 HPT đx loa ̣i 1
- ví dụ: HPT:
Bình phương 2 vế củ a (2) rồi trừ đi (1) ta
được: 2
P P P loai S
- ví dụ: Để giải hệ phương trình:
5
x y x y
xy x y xy
Do -x+y+xy-1=(x+1)(y-1) nên ta đặt
u=x(x+1), v=y(y-1) thì ta đưa HPT đã cho vè 1 HPTđx loại 1
- ví dụ: Để giải hệ phương trình: ( 31) (1 1 )2 4 3
( ) ( ) 1 4
1/
Thì sẽ đưa HPT về 1 HPTđx loại 1
Trang 2DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 2
- ví dụ: Hệ phương trình: 2 2 1 7 2 2 / 1/ 27 2 27
Đây là một HPT đối xứng loại 1 đối với hai biến x và z
- ví dụ: Để giải hệ phương trình: 2(3 2 )( 1) 12
x x y x
𝑢 = 𝑥2 + 𝑥
𝑣 = 3𝑥 + 2𝑦
2 Hê ̣ phương trình đối xứng loa ̣i 2:
- Cách giải: trừ vế các phương trình để đi tới các ẩn bằng nhau
- ví dụ: Để giải HPT:
2 2
13 4
13 4
ta trừ các vế của 2 PT ta được: (x-y)(x+y-9)=0 từ đó suy ra HPT có 4 nghiê ̣m: (0;0), (17;17), (12;-3) và (-3;12)
- ví dụ: Để giải HPT:
3 3
2 2
ta cộng và trừ các vế của 2 PT ta được:
từ đó ta suy ra HPT có 5 nghiê ̣m:
0; 3 1
x y
- ví dụ: Để giải HPT:
ta nhận xét: 0
0
x y
trừ từng vế của 2 PT ta được:
(xy) 3( x xyy ) x y 0 Do biểu thứ c trong ngoă ̣c không âm nên suy ra x=y HPT có 2 nghiê ̣m là x=y=0 và 1
- ví dụ: Để giải HPT:
2 2 2
2 2 2
xy z
yz x
zx y
ta biến đổi:
2
2
x yz
từ đó suy ra phương trình
đã cho có 8 nghiê ̣m là: ( 1; 1; 1), (0; 2; 2), ( 2;0; 2), ( 2; 2;0)
3 Hê ̣ phương trình đẳng cấp:
Trang 3DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 3
- ví dụ: Giải HPT:
x xy y
x xy y
Nhân hai vế củ a (1) với 5 và hai vế của (2) với 9 rồi
trừ vế của chúng ta được: 2 2
4x 26xy 30y 0 x 5 ;1,5y yHPT có 4 nghiê ̣m
( 5 2 / 2; 2 / 2), ( 3; 2)
- ví dụ: Giải HPT:
1(1)
x y
x y xy y
Từ HPT đã cho ta suy ra:
x y xy y x y x x y xy y Từ PT (2) ta suy ra y 0 Chia hai vế của PT(3) cho 3
y rồi đặt x/y=t thì ta được: 3 2
2t t 2t 1 0 t 1;1/ 2 Thay vào PT(1) ta được HPT có 2 nghiê ̣m: 3 3 3 3
( 4 / 2; 4 / 2), ( 3 / 3; 2 3 / 3)
- ví dụ: Giải HPT:
2 0(1)
2 2 1(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
x x y xy y xy Dễ thấy HPT không có nghiê ̣m với y = 0 nên chia cả hai vế c ủa (3) cho 4
y rồi đặt t = x/y thì (3) trở thành: 2 2
(t 1)(t 2t 1) 0 t 1 x y 1
4 Hê ̣ phương trình vô tỉ:
- ví dụ: Giải HPT:
4(1) 128(2)
x y x y
x y
ĐK: x y 0 Tư ̀
(1) x y 8 x(8 x 0) x y (8 x) Kết hợp với (2) ta được: 2
16 192 0
24( );8( )
Vâ ̣y HPT có 2 nghiê ̣m: (8; 8)
- ví dụ: Giải HPT: 5 2 7
đk:2x y; HPT tương đương vớ i:
3 2 ( 5)( 2) 49
( 5)( 2) ( 5)( 2)
3 2 ( 5)( 2) 49
Trang 4DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 4
- ví dụ: Giải HPT: 2 2
2 (2 ) 0
0 ; 2.
2 (2 ) 0
2 x(2 y) 2 y(2 x) 0
HPT có 2 nghiê ̣m (0; 0) và (2; 2)
Chú ý: Hai HPT trên cũng là hai HPT đối xứng loại 2
- ví dụ: Giải HPT:
2(1) 4(2)
x y x y
ĐK:x y 0 Ta có:
(1) x y 2 x x( 2) y 4x 4;(2)(x 2) x 4x 4 2 x 4 x 2,5;y 6
x y x y
x y
0
2 2 0
thì HPT đã cho trở thành:
2 2
4 3 25
v
HPT có 2nghiê ̣m là (5; 4) và (-9; 25)
5.Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá:
- ví dụ: Giải HPT:
1(1) 1(2) 1(3)
x y
y z
z x
ĐK: x y z, , 1 Giả sử x y y z y z z x
z x
Vậy x > y > z > x , vô lý Tương tự, nếu x y y z x, vô lý Nếu x = y thì y = z
Vậy HPT có nghiê ̣m duy nhất: x y z (3 5) / 2
- ví dụ: Giải HPT:
2 / (1 ) (1)
2 / (1 ) (2)
2 / (1 ) (3)
Dễ thấy x y z, , 0 Nếu x 0 y z 0
Trang 5DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 5
(1) 2 / (1x x ) y x/ 1 y x Tương tự ta cũng có: zy x, z x y z 1 Vậy HPT có 2 nghiê ̣m là (0; 0 ;0) và (1; 1; 1)
- ví dụ: Giải HPT:
1(1) 1(2)
x y
x y
(1) x y, 1 x x y; y 1 x y x y 1
&
suy ra HPT có 3 nghiê ̣m (0; 1) & (1;0)
6 Một số hệ phương trình khác:
HPT
2 (1; 2)
x y x y
y x
x y x y
HPT
/ 0
x ac b
xy a
HPT
HPT
1
y
HPT
2
y
HPT
3
3 4
16
x y
x y
HPT
(1 / 3; 2)
6
x y x y zy z y
y xy x
Trang 6DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 6
HPT
( 1; 1)
1, 25 ( 7 / 4; 5 / 4)
xy
HPT
8 (4 / 7)
x tan a z tan k
7.Biện luận hệ phương trình:
1/ Tìm gía trị của m để hpt sau có nghiệm: x2 y 2xy m(1)
Giải: Đặt S = x + y; P = xy
nghiệm ta chỉ cần đk: m 2 3m 1 0 3m 1 m 2 0 m 8 ( do m 0 từ pt thứ hai
của hệ
2/ Giải và biện luận hpt:
2 2
2 2
x xy y mx
y xy x my
Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: (xy x)( y 1 m) 0
a/ 2
Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m 1) / 3
+/ m 1 m 5: hpt có nghiệm: x y 0;x y (m 1) / 3;( 1 ; 1 )
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
1(1)
x xy y
(1) : ( 1) 1
1 0
t t với mọi t nên (3) luôn có nghiệm Từ
hpt ta suy ra:
(t 3t 2) /(t t 1) m (m 1)t (3 m t) m 2 0(4)
+/ m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm
+/ m 1: (4) có 3(m 4)(m 6)
Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 4 m 6
Trang 7DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 7
4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3
/ 3
P m
0 m 27 / 4
5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:
4 4
y x x ax
x y x ay
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ;x y0 0) thì nó cũng có nghiệm (y x0; 0) do đó để hpt có
nghiệm duy nhất thì
x y x x ax Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4 a 0 a 25/ 4
b/ đk đủ: hpt tđ với
4
x y y ay
x y x xy y x y a
Do pt
x y xy y a có x (y 3)2 4(y2 3ya) 3y2 6y 9 4a 0 y vì
'
12(3 ) 0
do a > 25/4
Với x = y thì hpt trở thành 2
x x xa Do a 25/ 4 25 4 a 0 nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có
nghiệm duy nhất
6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a
x y a
Giải: trừ các vế của hai pt ta được: 2y xy 0 y 0 x 4 (y y 0)
a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)
b/ a 0: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0)
MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
I.Giải các HPT sau:
Trang 8DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 8
3
x xy y
x y
3 4
1
1 1
2
2
1 12 ( 3 ) 2 3 5 ( 42 ) 2 4 2
3
y x
1 / 1
Trang 9DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 9
x y z
x y z yz
18
x y x y
4
1 2
x x y
x y x y x y x y
30 32
26 5
x y y x
( 1)(3 2) 2 3
xy xy x y y x
3
x y xy
Trang 10DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI Page 10
2 1 / ( ) 3
x y x y
II/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:
2
4
x xy y k
y xy
III/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm:
x xy y
IV/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:
7 7
V/Chứng minh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất:
2
( 1)
x y xy m
m
xy x y m m
VI/ Cho HPT: 2 2
( ) & ( )
x my m d x y x C Biện luận số nghiệm của HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm
( ;x y) & ( ;x y )hãy tìm GT của m để GTBT 2 2
S x x y y đạt GTLN ( m = 1/2 )