Các bài toán về dạng đại số của số phức (phan_1)

b Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.. c Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.[r]

CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

-Phần 1 -

A CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC

I Kiến thức cần nhớ

 Số phức (dạng đại số):  2 

z a bi a bR i   ; a là phần thực, b là phần ảo của z;

z là số thực phần ảo của z bằng 0;

z là số ảo phần thực của z bằng 0

 Hai số phức bằng nhau: ' '  , , ', '  '

'





 Biểu diễn hình học: Số phức z a bi a b , Rđược biểu diễn bởi điểm M a b ; hay bởi vec tơ u a b trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức)  ;

 Cộng, trừ số phức:

( ) ' ' ' ' , , , ', '

Số đối của z a bilà    z a bi a b , R

z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi ' u thì:

'

zz biểu diễn bởi u u '

'

zz biểu diễn bởi u u '

 Nhân hai số phức:

a bi a'b i'   aa 'bb'  ab'ba i a b a b' ,  , , ', 'R

k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku

 Số phức liên hợp của số phức z a bi a b , Rlà z a bi

; ' '; ' '

zz z  z z z zz z z

z là số thực  zz, z là số ảo  z z

 Môđun của số phức z a bi a b , R:

0

z  với mọi zC và z   0 z 0

zz  z z zz  z z với mọi z z, 'C

 Chia hai số phức:

Số phức nghịch đảo của z z 0: z 1 12 z

z

 

Thương của z' chia cho z z 0: z' z z' 1 z z'2 z z'



Với z 0,z' w z' wz

z

    thì: z' z', z' z'

 

 

 Căn bậc hai của số phức

Z là một căn bậc hai của số phức 2

wz w

z x yi x yR là căn bậc hai của w  ,  2 2

2

a bi a b R

xy b

  



Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau

Hai căn bậc hai của số thực a0là  a

Hai căn bậc hai của số thực a0là  ai

II Bài tập

1 Xác định các yếu tố của số phức

Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a) z  i 2 4i  3 2i

2 3

c) z2 3 i2 3 i

d) zi2i3i

Giải: a) z  1 i có phần thực là -1; phần ảo là -1

b) z  7 6 2icó phần thực là -7; phần ảo là 6 2

c) z13 có phần thực là 13, phần ảo là 0

d) z 1 7icó phần thực là 1, phần ảo là 7

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: 1 ; 1 ;3 2 3 4;

i

 Giải: a)

2 3

2 3 2 3 2 3 4 9 13

i

b)

1 3

2 2

i

i



c)

2

2

3 2 2 3

2 3

i



3 4 4

16 13

i

i

2 2

z   i Hãy tính  3

1

; ;z z ; z ;1 z z

Giải:

1 3

2 2

i

i z

 

1 3

2 2

z   i

2 1 3 1 3 1 3

       

 3

1

z 

2 2 2 2

Ví dụ 3 : Giả sử z 1 ; z 2 là hai số phức thỏa mãn 6z i  2 3iz và 1 2 1

3

z z

Giải: Đặt z x yi x y , R

Suy ra 1 2 1

3

z  z 

9  z z  z z z z  z  z  z z z z  9 z z z z Suy ra 1 2 2 1 1

9

z z z z 

Khi đó: 2     2 2  

1 3

1 3

Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính

Ví dụ 4 : Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z22z100 Tính giá trị biểu thức A z12 z22

Giải: Ta có:

2

1 3

1 3

         

  



    



 2 2

       

    

Vậy A z12  z22 20

Ví dụ 5 : Cho số phức z thỏa mãn z26z130Tính z 6





Giải:

2

3 2

         

 



   



Với z 3 2i ta có 6 3 2 6 4 17

3 3

Với z 3 2i ta có 6 3 2 6 1 24 7 5

1 3 1

i z

i





Giải: Ta có  3

1 3  8

Do đó 8 4 4

1

i

    

 Suy ra z  4 4i

4 4 4 4 8 8

          

Vậy z iz 8 2

Ví dụ 7 : Tính mô đun của số phức z biết rằng:

2z1 1   i  z 1 1   i 2 2i

Giải: Gọi z= a+ bi (a, bR)

Ta có

1

3

a

a b

b

           

 



   



Suy ra môđun: 2 2 2

3





biết z1z2 1

Giải: Đặt z x yi x y , R

2

z z

z  a bi z  c di a b c dR a b  c d 

Vậy P 7

Ví dụ 9 : Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 

2 1 1

i z i



 

nhất, lớn nhất

Giải: Đặt z x yi x y , Rthì

1

1

4 3

i z

i





Từ (1) ta có:  2

2y      1 1 y 3 1 4y 3 9 Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i

Ví dụ 10 : Biết rằng số phức z thỏa mãn uz 3 i z 1 3ilà một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải: Đặt z x yi x y , Rta có

         

Ta có: u    R x y 4 0

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất OM d Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i

1

  

z

Giải: Gọi z x yi x y , R ta có

2

1

 

x  y   x  y x  y 

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R 10

M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, z lớn nhất khi và chỉ

khi OM lớn nhất

Tìm được Min z   3 10 khi z   3 10i

và Max z  3 10 khi z  3 10i

Ví dụ 12 : Cho ba số phức z z z1, 2, 3 đều có mô dun bằng 1 Chứng minh rằng:

z  z z  z z z z z z

Giải: Vì z z z1 2 3 1

z z z z z z

Suy ra z1 z2 z3  z z1 2z z2 3z z3 1

Ví dụ 13 : Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn z3 83 9

z

  thì z 2 3

z

 

Giải: Đặt 2  

0

z

Ta có:

3

3 3

3

3

6

        

Ta được 3    2 

a  a   a a  a  vì a23a3>0 nên a z 2 3

z

  

Ví dụ 14: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: i i; 4 ; 4;1 4 3  i

Giải: a) Gọi z x yi x y , R là căn bậc hai của i Khi đó:

 2

z   xyi   i x y  xyi i

0

Vậy có hai căn bậc hai là: 1  

1

2  i và 1  

1

   b) Gọi z x yi x y , R là căn bậc hai của 4i Khi đó:

 2

0

Vậy có hai căn bậc hai là: 2 1 i  và  2 1 i  

c) Hai căn bậc hai của -4 là 2i

d) Gọi z x yi x y , R là căn bậc hai của 1 4 3i Khi đó:

 2

1

2 3

x y

x y

x

  

  

Vậy có hai căn bậc hai là: 2 3ivà  2 3i

2 Ứng dụng của số phức trong chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ:15 Chứng minh rằng các bất đẳng thức:

4 cos xcos y sin xy  4sin xsin ysin xy 2 x y, R

Giải:

a) Đặt

1

2

3

3

2 2 3

2 2 3

2 2

y

z

x

  

  

  

Ta có:

1

2

3

Và z1 z2 z3  3x y z

Do z1 z2 z3  z1  z2  z3 nên ta có điều phải chứng minh

1

2

2 cos cos i sin

2 sin sin i sin

Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu z 1thì 2 1

1 2

z iz







Giải:

Giả sử z  a bi a b , R thì z  a2b2

2 2

z



2 2

2

  vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 : Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện 3 13

2

z z

2

z z

Giải:

Ta có với hai số phức z z1, 2 bất kỳ ta có :

Ta có :

Đặt z 1 a

z

  ta có 3   2

a  a   a a  Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập tự luyện

1 Cho các số phức : 2 3 ; 2 i i;3 2 i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức

2 Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của các số sau:

a) 1 2 i  32i b) i2i1 3 i

c) 4  i 2 3i  5 i d)    2 2

1i  1 i

e)   3 3

2i  3 i g) 3 2

1

 h) 7

7

2i i i

  

  k) 1 33   10   1

1

i



  

l)     2 3  20

1   1 i 1 i  1 i    1 i

3 Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

a)  1 4 3i b) 1 4 3i

c) 4 6 5i d) 1 2 6i 