Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 qua các bài toán cực trị đại số

Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theocác góc độ khác nhau , biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng bài toán .Một trong những dạng toán hay và khó trong chương trình đó

1 MỞ ĐẦU

Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghành khoahọc Ngay từ thế kỷ thứ XIII nhà tư tưởng ANH R.Bê- cơn (R.bacon) đã nóirằng “Ai không hiểu biết toán học thì không hiểu biết bất cứ một khoa học nàokhác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình ” Toán học

có vai trò như vậy là vì toán học “ Không chỉ là một tập hợp các sự kiện , trìnhbày dưới dạng các định lý , mà trước hết đó là một hệ thống phương pháp , hơnnữa đó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và các phương pháp trong các lĩnh vựcrất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn ”

Môn toán có khả năng to lớn giúp cho học sinh phát triển các năng lực vàphẩm chất trí tuệ Thực vậy,do tính chất trừu tượng cao độ của toán học môntoán có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh tư duy sáng tạo,rènluyện tính cẩn thận , suy luận logic chặt chẽ Để phát huy tính sáng tạo thì thầy ,

cô giáo phải hướng dẫn cho học sinh giải toán bằng nhiều cách Việc giải toánbằng nhiều cách vừa giúp rèn luyện kỹ năng , vừa phát triển tư duy trong họctoán Qua đó còn tìm ra cái hay , cái đẹp trong từng lời giải Nhưng để làmđược điều này không phải dễ Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theocác góc độ khác nhau , biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng bài toán Một trong những dạng toán hay và khó trong chương trình đó là các bài toán tìmcực trị đại số hay các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và tìm giá trị nhỏ nhất(GTNN)

1.1.Lý do chọn đề tài

Các bài toán Cực trị đại số( tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ) ,có một vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình học và dạy toán ở trường THCS , Các bài toán dạng này thường khó và rất khó đối với học sinh THCS , để giải được học sinh không những phải biết vận dụng nhiều kiến thức và phải vận dụngmột cách hợp lý , mà còn phải có sự sáng tạo , cần cù , chịu khó

Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT thường có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của một biểu thức nào đó Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số Các bài toán trị đại số rất phong phú và đa dạng Để giải các bài toán cực trị đại số với học sinh THPT các em có nhiều phương pháp giải mà học sinh THCS chưa được tiếp cận Còn với học sinh THCS thì các em phải biết biến đổi tương đương các biểu thức đại số , phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp … Phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán , tư duy sáng tạo

Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được cách giải một bài toáncực trị đại số , hơn thế nữa còn giải được bằng nhiều cách với cùng một bàitoán , từ đó các em có hứng thú , say sưa với học toán Là người trực tiếp giảngdạy toán trong trường THCS , trong qua trình giảng dạy , đặc biệt là dạy họcsinh cuối cấp THCS và bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi luôn luôn trăn trở , tìm tòi ,chọn lọc những phương pháp hợp lý để dẫn dắt , hình thành cho học sinh mộtcách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một

số phương pháp giải cơ bản nhất Trong khuôn khổ đề tài này tôi xin nêu ra một

số phương pháp để “ Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS

Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu đề tài một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại sốbậc THCS giúp giáo viên chúng ta vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đãhọc , mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết , từ đó có phương pháp hướng dẫnhọc sinh giải các bài toán cực trị đại số có hiệu quả , giúp học sinh nắm chắckiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về giảicác bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTLN) trongchương trình THCS

Nghiên cứu đề tài “Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn

Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ” để nắm được những thuận lợi và khó

khăn khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất , từ đó xác định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán Vì đây làmột dạng bài khó trong chương trình THCS

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm cực trị cụ thể là nghiêncứu các phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏnhất của các biểu thức đại số trong chương trình toán THCS

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8 vàkhối 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Đọc các tài liệu có liên quan

- Tạp chí toán tuổi thơ 2

- Báo Toán học và tuổi trẻ

- Phương pháp giải toán đại số sơ cấp

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế , thu thập thông tin :

- §iÒu tra n¾m t×nh h×nh d¹y cña c¸c gi¸o viªn trong vµ ngoµi nhµtrêng

- Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng đề tài “ Phát huy trí lực cho học sinh

lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ”

- Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài

- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận : Trong chương trình toán trung học cơ sở nếu chỉ dạy học

sinh kiến thức đơn thuần theo sách giáo khoa thì chỉ đáp ứng được nhu cầu của học sinh trung bình hoặc trung bình khá và kết quả thu được không cao Trong khi đó nhiều học sinh có khả năng tiếp thu được những kiến thức nâng cao trongcác chuyên đề ,trong các sách bồi dưỡng , sách tham khảo Và các dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi cuối cấp THCS Các bài dạng này là dạng bài khó để phát hiện học sinh khá , giỏi Vì vậy bên cạnh việc truyền thụ những kiếnthức cơ bản trong chương trình SGK cho học sinh, người thầy cần phải linh hoạtlồng thêm những kiến thức mở rộng hoặc nâng cao, những bài toán khó để học

sinh được tiếp cận Được khai thỏc bài toỏn, và cao hơn là học sinh cú thể tổng quỏt bài toỏn, đề ra bài toỏn mới, qua đú rốn luyện được tư duy logic,phỏt huy được trớ lực cho học sinh

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi ỏp dụng sỏng kiến kinh nghiệm :

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cỏc cấp tụi thấy học sinhhầu hết là rất lỳng tỳng khi gặp cỏc bài toỏn tỡm cực trị đại số mà cụ thể là cỏcbài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số , trongcỏc đề thi, bài toỏn tỡm cực trị đại số thường nằm ở cuối bài thi và thụng thườngkhi gặp cỏc bài toỏn này phần lớn học sinh khụng giải được Theo tụi nguyờnnhõn chủ yếu là học sinh (nhất là học sinh THCS) khụng cú sự độc lập trong suynghĩ cỏc em thường tiếp thu kiến thức một cỏch thụ động (kể cả kiến thức ởSGK), nhưng để giải được một bài toỏn về cực trị đại số thỡ lại cần phải cú một

tư duy lụ gớc và một sự sỏng tạo cao mà điều đú với đại bộ phận học sinh cấpTHCS thỡ cũn hạn chế Trong khi đú ở cỏc kỳ thi từ thi khảo sỏt học kỳ , thi vàolớp 10 THPT , thi học sinh giỏi cỏc cấp , từ cấp huyện , ( cấp TP ) , cho đến cấpcao hơn như thi học sinh giỏi cấp tỉnh của bậc học THCS, cỏc đề thi đại học củabậc THPT thường cú bài thi về dạng này

Tụi xin dẫn ra đõy một số bài toỏn về tỡm cực trị đại số ở cỏc kỳ thi gần đõynhất:

1.Đề thi khảo sỏt chất lượng học kỳ I - Năm học 2015 – 2016

Mụn Toỏn lớp 9 (Sở GD& ĐT Thanh Húa )

Cho ba số a; b ; c thỏa món

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3ab + bc + ca

2 Đề thi khảo sỏt chất lượng học kỳ II – Năm học 2015 – 2016

Mụn Toỏn lớp 9 (Sở GD& ĐT Thanh Húa )

Cho ba số thực dương x ; y z thay đổi và thỏa món điều kiện :

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

3 Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 - 2014

Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món x + y = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B 3 1 3 1

xy

x y

4 Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 2015 - 2016

Với a, b là cỏc số thực thỏa món đẳng thức (1 + a)(1 + b) =

4

9 Hóy tỡm GTNN của : P = 1 a+ 4 + 1 b+ 4

2.3 Cỏc giải phỏp đó sử dụng để giải quyết vấn đề

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN THIẾT

a) Cỏc định nghĩa

* Định nghĩa giỏ trị lớn nhất ( GTLN) của một biểu thức đại số :

Cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D :

M được gọi là GTLN của f (x, y , ) trờn miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thỏa món : 1 f(x,y, ) ≤ M ∀(x,y, ) ∈ |D

2 ∃ (x0, y0, ) ∈ |D sao cho f(x0, y0 ) = M

Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) ∈ |D

* Định nghĩa giỏ trị nhỏ nhất ( GTNN) của một biểu thức đại số :

Cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D :

M được gọi là GTNN của f (x, y , ) trờn miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thỏa món :

Tổng quỏt : ( A)2k≥ 0 ∀ A ≥0 (A là một biểu thức )

* Bất đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối :

a) |x| ≥ 0 ∀ x∈|R

b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; Dấu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0

c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; Dấu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0 và |x| ≥ |y|

* Bất đẳng thức Cụsi:

∀ai ≥ 0 ; i = 1 ,n : n

n

n a a a n

a a

* Bất đẳng thức Bernonlly:

Với a ≥ 0 :(1+a)n ≥ 1+na ∀n ∈N Dấu "=" xảy ra ⇔ a = 0

B CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ( TèM GTLN VÀ GTNN ) Ph

ương phỏp 0 1 : Sử dụng phộp biến đổi đồng nhất

0 0

( , ) ( , ) R

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 4x + 7

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2

Bài toán tổng quát : Cho đa thức P= ax 2 + +bx c a( ≠ 0)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

b x a

= − thì P có giá trị nhỏ

nhất bằng k nếu a > 0 Hoặc có giá trị lớn nhất bằng k nếu a < 0

Phương pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản

Ta đã biết : Từ một bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương bao giờ ta cũng đưa bất đẳng thức được về dạng bất đẳng thức mà một vế là hằng số Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của một biểu thức nào đó

a) Phương pháp chung : Phương pháp thường là sử dụng các bất đẳng thức đã

biết , các bất đẳng thức như Cô si ( Cauchy) , Bunhiakopski ( Bunhiacovsky) ,Becnuli (Bernoulli ) và một số các bất đẳng thức khác đã được chứng minh tínhđúng đắn

b) Bài tập minh họa

Bài toán 2 : Cho a ; b là hai số dương thỏa mãn : a b+ ≤ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 2 2

⇒ ≥ Hơn nữa với a = b = c = 1

3 thì P = 30 ; suy ra MinP = 30 đạt được

1 3

Vì thế MinP = 30 đạt được khi và chỉ khi 1

3

a b c= = =

Sau khi hướng dẫn học sinh giải bài toán 2b chúng ta có thể hướng dẫn học sinh

đề ra bài toán tương tự và bài toán tổng quát

Bài toán tương tự : Cho n N∈ *, n≥ 2 Xét n số thực dương a a a1 , , , 2 3 a n , và

n

i j i

P

i j n a

= , ∀ =i 1;n

Bài toán tổng quát : Cho n N∈ *, n≥ 2 Xét n số thực dương a a a1 , , , 2 3 a n , và

x y

x y

2 2

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu ac + bd > 0 thì (2) tương đương với : (a2 +b2) (c2 +d2) ≥a c2 2 +b d2 2 + 2abcd

⋅ + + +

z

y x y

x z x

z y x z z y y

y

y z y x z

+ ( ) ( )(2 )

z

x z y z x

z y x

x z y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta được:

x

yz x

yz x

yz x

yz x

= + +

≥ +

+

1

2 2

2

Suy ra: ( ) ( )( ) ( ) yz

x

z y z y x

yz z

y x

x z y x z

≥ + +

mà

x

yz z y yz x

yz z

y yz x

z y

z

x

yz z

y

xz z

x+ +2

≥ ; ( ) ( )(2 )

z

x z y z y

z

yx x

= + + + +

+

≥

z

xy y

zx y

zx x

yz x

yz z

xy z

y x y

zx x

yz z

xy z

xz z

xy y

zy

2

≥ +

Suy ra: A ≥ 2(x + y + z) + 2x + 2y + 2z = 4(x + y + z) = 4 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =

3 2

Vậy GTNN của biểu thức A là 4 2, đạt được khi x = y = z =

3 2

ương pháp 0 3 : Phương pháp giải bài toán tìm GTLN và GTNN

của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung : Để giải dạng này là ta sử dụng các bất đẳng thức sau :

1 a b+ ≤ +a b Dấu bằng xảy ra khi a b ≥ 0

2 a −b ≤ −a b Dấu bằng xảy ra khi a b ≥ 0

b) Bài tập minh họa

Bài toán 3 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B= −x 2016 + −x 2017

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Do x > 2017 nên : 2x > 4034 Do đó B > 1 (3)

So sánh (1) ; (2) và (3) ta được Min B = 1 khi và chỉ khi 2016 ≤ ≤x 2017

Cách 2 : Do giá trị tuyệt đối của một số lớn hơn hoặc bằng số đó nên :

Áp dụng bất đẳng thức : x y+ ≤ +x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y ≥ 0;

Ta có : A= − + − = − + − ≥ − + − = −x a x b x a b x x a b x b a Dấu bằng xảy ra khi và

chỉ khi (a x x b− ) ( − ≥) 0, hay a x b≤ ≤ Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng b – a khi

[ ];

x∈ a b

Phương pháp 04 : Phương pháp miền giá trị

Trong một số trường hợp đặc biệt , biểu thức đại số đã cho có thể có một hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc hai thì ta có thể sử dụng kiến thức

về miền giá trị của hàm số để giải rất hiệu quả Đây là một trong những phương pháp tìm cực trị đại số rất hay và phổ biến trong chương trình THCS và THPT

a) Phương pháp chung :

Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x∈ D Điều này có nghĩa là ta phải tìm điều kiện để phương trình : f(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm ( x là biến , coi y là tham số ) Thường đưa đến biểu thức sau :

m ≤ y ≤M Từ đó ⇒ Min f(x) = m với x ∈ D ⇒ Max f(x) = M ; với

x ∈ D

b) Bài tập minh họa

Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

22 1

1

x x A

x x

− +

= + +

Ta sẽ giải bài toán này bằng hai cách

x x

− +

= + + ( 1) Do 2

1 0

ax + ax + =a x − +x 1 ⇔(a− 1)x2 + +(a 1) (x+ − =a 1) 0 (2)

Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì ( 2 ) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2 : Nếu a≠ 1 để ( 2 ) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là : ∆ ≥ 0

Tức là : ( )2 ( )2

a+ − a− ≥ ⇔(a+ + 1 2a− 2) (a+ − 1 2a+ ≥ 2) 0 ⇔(3a− 1 3) ( − ≤a) 0 1

MaxA = 3 khi và chỉ khi x = –1

Phương pháp này còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm số

1 1

x x A

x x

− +

= + +

x A

x x

− +

= + + Đây chính là bài toán 4

ta vừa giải xong Giải bài này như bài toán 6 ta được : 1 3

3 ≤ ≤B ; Còn với t = 0 thì B = 1 Do đó Min B = 1

3 với x = 1 tức là u = t MaxB = 3 với x = –1 tức là u = –t

Bài toán 4b : Tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 2

2 1 7

x y C

Cách 2 : Dùng phương pháp miền giá trị

Ta chuyển vế xét điều kiện có nghiệm của phương trình : 2 2

2 1 7

x y C

x y

=

Cách 2 : Ta chuyển về xét cực trị của phân thức mà tử là nhị thức bậc nhất rồi

so sánh giá trị của tử và mẫu

+ +

Thì P = 1 + Z vì x2 + > 1 0 với mọi x nên Giá trị lớn nhất của Z đạt được khi tửthức dương và giá trị nhỏ nhất của Z đạt được khi tử thức âm

x+ > ⇔ >x − thì giá trị lớn nhất của P = 1 + giá trị lớn nhất của

Z Ta so sánh giá trị của tử thức và mẫu thức nhờ áp dụng bất đẳng thức :

(2x2 + + ≥ 1 1 2 2) x+ > 1 0

2 2

Giá trị nhỏ nhất của P = 1 + giá trị nhỏ nhất của Z bằng –2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng –1 khi và chỉ khi x= − 2

Vậy : MaxP = 5 ⇔ 2

2

x= và MinP = –1 ⇔ x= − 2

Cách 3 : Chuyển vế xét điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm với mỗi

giá trị x0 ta có giá trị P0 của biểu thức thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của P bằng –1 khi và chỉ khi x= − 2

Giá trị lớn nhất của P bằng 5 khi và chỉ khi 2

2

x=

Đây là dạng bài tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các phân thức đại số mà cả

tử và mẫu đều là các đa thức bậc hai một biến số