Bổ sung tích phân đường loại 2

Điều kiện để tích phân đường loại 2 trong không gian không phụ thuôc vào đường đi.. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: 1 Trong D ta có: 2 Tích phân ABPdx + Qdy + Rdz chỉ phụ thuộc vào

Điều kiện để tích phân đường loại 2 trong không gian không phụ thuôc vào đường đi.

Định lý: Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục

trong một miền mở đơn liên D Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

1) Trong D ta có:

2) Tích phân ABPdx + Qdy + Rdz

chỉ phụ thuộc vào hai nút A, B mà không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối A với B nằm trong D

3) Tồn tại U(x,y,z) sao cho Pdx + Qdy + Rdz là vi phân toàn phần của U, tức là:

dU = Pdx + Qdy + Rdz 4)

0

Pdx + Qdy + Rdz

C





với mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D

Chú ý: Khi khẳng định được tích phân không phụ thuộc vào đường đi, nếu:

a) Chưa biết hàm U thì tích phân đường có thể tính theo các đường gấp khúc song song với các trục tọa độ Giả sử, có điểm A(x , y , z ), B(x , y , z ) 0 0 0 1 1 1 thì lấy thêm 2 điểm

C(x , y , z ), D(x , y ,z ),

khi đó

Pdx + Qdy + Rdz P(x, y dx Q(x , y dy + P(x , y dz

b) Tìm được U trong mệnh đề 3), thì khi đó ta có:

AB

U(B) - U(A) (**)

Pdx + Qdy + Rdz



Ví dụ 1: Tính

π ( 1, ,2) 2

(0,0,0)

I (e cos y yz)dx + (xz - e siny)dy + (xy + z)dz.



Ta có:

x y y z x z ( tự kiểm tra) Vậy tích phân không phụ thuộc vào đường đi

Áp dụng công thức (*), ta có:

π

π

I e e siny ( + z) 2 π.

2





Ví dụ 2: Tính

( 1,2,1) (1,0,2)

I   ydx + dy + 4dzx

Ta có P = y, Q = x, R = 4 thỏa điều kiện:

Suy ra U : dU = Pdx + Qdy + Rdz

' x ' y ' z

U y (1)

U x (2).

U 4 (3)

 



  

 



Từ (1)  U(x, y, z)ydx + f (y, z)yx + f (y, z).

Do

(2)

U(x, y, z)  yx + f (y, z)   U   x f   x f   0 f  g(z) (f không là hàm không phụ vào y)

(3) '

z

U(x, y, z) yx + g(z)   U  h '(z) 4   h(z) 4z C  

Vậy: U(x, y, z) yx + 4z C. 

Theo công thức (* *), ta có: I U( 1, 2,1) U(1,0, 2) 2 8     6.