DÀNH CHO CAO HỌC

TS Hoàng Xuân Sính... Theo ch ng minh câu i,.

Tr c h t ta a ra m t s khái ni m c b n nh : tác ng c a m t nhóm lên t p h p,

Tác ng c a m t nhóm lên m t t p h p

nh ngh a Cho (G,.) là m t nhóm , X là m t t p khác r ng Tác ng (trái) c a nhóm G lên

t p X là m t ánh x

th a hai i u ki n:

x trong X

′

=

Nh n xét 2 i) Theo m nh 1.4, = ⇔ ∈ ∨ ∈

ii) Ta có

∈

ra

∈

∈

=

M nh 3 C nh ∈ , ánh x

θ

θ

→

=

là m t song ánh

−

′

T c θ là n ánh Cách xây d ng θ ã kh ng nh θ là toàn ánh V y θ song ánh

∈

Ví d Cho G là m t nhóm, g i X là t p t t cà các nhóm con c a G Khi ó,

−

=

c a H là t p t t c các nhóm con c a G liên h p v i H

Nhóm con n nh c a H:

−

Nh v y, nhóm con n nh c a H là cái chu n t c hóa c a H trong G

Nh n xét 3 T ví d trên, ta suy ra:

Ngh a là s t t c các nhóm con liên h p v i H b ng ch s c a cái chu!n t c hóa c a H trong G

nh ngh a Cho G là m t nhóm, p là m t s nguyên t Ta nh ngh a:

i) G c g i là m t p – nhóm n u m i ph"n t# c a G u có c p là l$y th a c a p

(p – nhóm con t i i) c a G n u H là ph"n t# t i i trong t p các p – nhóm con c a G (theo quan h% bao hàm) Ngh a là:

1) H là m t p – nhóm

M c cu i cùng c a ph n này giành ! nh c l i nh lý Lagrage nói lên m i li n h gi"a c p c a nhóm v i nhóm con c a nó # ây chúng ta không ch ng minh nh lý này vì nó

là m t k t qu c a i s i c &ng và ã c ch ng minh chi ti t trong nhi$u sách ph

bi n, ch ng h n i s i c &ng c a GS TS Hoàng Xuân Sính

nh lý 1( nh lý Lagrage) Cho G là m t nhóm h u h n và H là m t nhóm con c a nó Khi

Ti p ta s phát bi!u m t nh lý c b n trong lý thuy t nhóm h"u h n, nh lý Sylow

và v n d ng nh"ng ki n th c ã nêu trên ! ch ng minh chi ti t nó

iii) M i p – nhóm con Sylow u liên h p v i nhau

=

−

−

−

− +

=

−

=

−

−

=

∏

∏

Ta s ch ng minh − + Th t v y, tr %ng h p thì rõ ràng − + , còn n u

−

m t tác ng c a G lên S Theo công th c khai tri!n thành qu o c a S,

− +

∈

− +

=

∃ ∈

1 ta có;

−

′

=

Cu i cùng ta ch ng minh t(n t i p – nhóm con Sylow c a G Theo ch ng minh trên, t(n t i p – nhóm con H c a G mà = Gi s K là p – nhóm con c a G th)a

trên, t(n t i q - nhóm con F c a K mà = , suy ra trong K có ph n t a c p q &i$u này

ii) Gi s H là m t p – nhóm con c a G; K là p – nhóm con Sylow Theo ch ng minh câu (i),

Do H là p – nhóm nên gi s = Ta có:

=

=

−

⊂

n m trong m t p – nhóm con Sylow

iii) G i H, K là hai nhóm con sylow L p lu n t ng t nh (ii), ta c:

−

−

−

=

V y H và K liên h p v i nhau

iv) Ta chú ý r ng n u H là nhóm con c a G thì s các nhóm con liên h p v i H b ng:

G i r là s các nhóm con Sylow c a G và H là m t nhóm con Sylow b t k* c a G Do (iii), m i nhóm con liên h p v i H $u liên h p v i nhau nên suy ra:

= Theo nh lý Lagrange, ta có:

′

−

V i K = H thì = − ∈ = = , ta s ch ng minh n u ≠

=

Suy ra KH là m t nhóm M t khác, theo công th c ch s nhóm ta có

Suy ra KH là các p – nhóm hay c p c a KH là l+y th'a c a p Nh ng H, K là nh"ng p – nhóm

≠

BÀI T P

Bài 1: Cho G là m t nhóm n và H là m t nhóm con ch s n trong G Ch ng minh r ng G

là nhóm h"u h n và &

→

=

− − − −

T' ó ta có ánh x :

σ

σ

→

=

σ

=

∀ ∈

Bài 2: Cho G là m t nhóm h"u h n Ch ng minh r ng:

Theo công th c phân tích thành qu o, ta có:

∈

=

M t khác,

−

nên suy ra

s c a H trong G b ng p Khi ó, theo bài 1, & hay & &i$u này không th! x y ra khi

n > 1 V y G là nhóm không n

Cách 2: Theo công th c l p, ta có:

Sylow c a G Khi ó, theo nh lý Sylow

=

−

G i H là p - nhóm con Sylow duy nh t c a G Khi ó, c+ng theo nh lý Sylow, m i p – nhóm con Sylow c a G $u liên h p v i nhau nên suy ra:

−

>

=

T' (1) và (2) suy ra > − + − + =

Bài 5 Ch ng minh r ng nhóm c p pqr (p,q,r là các s nguyên t ôi m t khác nhau) không là

Theo nh lý Sylow, ta có:

<

=

=

≡

=

< < =

=

< <

=

Suy ra

>

Bài 6 Ch ng minh r ng nhóm c p 24, 36 không là nhóm n

>

=

M t khác, g i H là m t 2 – nhóm con Sylow c a G Khi ó

Xét H là nhóm c p 36: Ta có (= G i l n l t là s các 2 – nhóm con Sylow, 3 –

>

=

≡

'

'

!%

M t khác, g i I là m t 2 – nhóm con Sylow c a H Khi ó

Bài 7 Ch ng minh r ng nhóm c p 56 không là nhóm n

Theo nh lý Sylow, ta có

>

=

≡

*

*

*

*

+

+

!% *

>'+ *+ + =)( (mt)

Bài 8 Ch ng minh nhóm c p 72, 80, 96, 108, 150, 154, 160 không là nhóm n

Gi i Gi s G là nhóm c p n Ta xét các tr %ng h p

th thì > Theo nh lý Sylow, ta c:

>

=

≡

+

'

!%

t p 1, '& (mt) V y G không là nhóm n

n = 80: Ta có + = ') G i ) l n l t là s các 2 – nhóm con Sylow, 5 – nhóm con

=

≡

)

)

) )

(

(

!% )

>

=

n thì > Theo nh lý Sylow, ta có

>

=

≡

'

'

!%

n thì )> Theo nh lý Sylow, ta có

>

=

≡

'

)

) )

(

(

!% )

) ( suy ra (& (mt)

n thì > Theo nh lý Sylow, ta có

=

≡

'

=

≡

)

)

!%

Bài 9 Ch ng minh nhóm c p 132 không là nhóm n

con Sylow, 3 – nhóm con Sylow, 11 – nhóm con Sylow Gi s G là nhóm n thì

> > > Theo nh lý Sylow, ta có

>

=

=

≡

''

'

!%

Bài 10 Ch ng minh r ng nhóm c p 144 không là nhóm n