De thi thu lan 2 Thanh Thuy Phu Tho

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.. Một hình chữ nhật MNPQ có các đỉnh nằm trên E và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp nhau góc 0 60.. Hãy vi

TRƯỜNG THPT THANH THỦY ĐỀ KSCL CHUẨN BỊ THI ĐH-CĐ LẦN II NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán A.Thời gian:180 phút ( Không kể giao đề)

.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 3

(1) 1

x y x

+

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng( ) : d y = + + x m 3 cắt( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A hợp với (d) một gócj mà cos 3

34

j biết điểm A có hoành độ dương.

tan tan 2 1

Câu 3( 1 điểm) Giải bất phương trình 32x+ - £1 1 x3+3x2+2x

Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân: 2( )

sin 0

1 x sin 2

p

=Ú +

Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B.BiếtAD = 2 AB = 2 BC, diện tích tam giác BCD bằng

2 2

a , hình chiếu của S lên đáy là trung điểm cạnh CD và góc hợp bởi SC và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.

Câu 6 (1 điểm) Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn:x+ + = Chứng minh rằng:y z 3

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc Phần B))

A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác hình chữ nhật ABCD cóAB 2 AD và đường

tròn đường kính AB là ( ) (2 )2

( ) :C x-1 + y+1 = Viết phương trình đường thẳng AC biết trung điểm của CD4 nằm trên đường thẳng( ) d : x + + = y 2 0

Câu 8a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + - = , đường thẳng y z 3 0

( ) :

- Gọi A là giao điểm của (d) và (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua E ( 2;1;1 ) và lần

lượt cắt (d) tạiM, cắt (P) tại B sao cho tam giác MAB là tam giác cân tại M.

Câu 9a (1 điểm) Biết z z1, 2 là hai nghiệm của phương trìnhz2+4iz+ =6 6(z+2i) Tính z1- z2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elips

25 9

E + = Một hình chữ nhật MNPQ có các đỉnh nằm trên (E) và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp nhau góc 0

60 Tìm tọa độ đỉnh M biết x M >0,y M >0

Câu 8b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng( )P :x+2y- + = và đường z 1 0

thẳng

1 ( ) :

1

z

= +

Ï

Ô =

-Ì

Ô

Ó

Trên mặt phẳng (P) lấyđiểm A ( 1; 1; 0 - ) Hãy viết phương trình đường thẳng qua A và nằm

trên (P) sao cho khoảng cách giữa đường thẳng này và (d) lớn nhất.

Câu 9b (1 điểm) Có 12 nhà khoa học gồm các nghành Toán học (4 người), Vậ Lí (3 người), Hóa học ( 5 người).

Chọn ra ngẫu biên 4 nhà khoa học để lập Hội đồng khoa học Tính xác suất để trong 4 người được chọn ra nghành nào cũng có ít nhất 1 người

Thí sinh làm bài nghiêm túc Giám thị không giải thích thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1

(2 ,0)

1) Học sinh làm đúng, đủ các bước cho điểm tối đa

2) Phương trình hoành độ giao điểm:

2

1

x

x

Ta có: 2

4 0

m

D = + > nên phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt

Giả sử tiếp tuyến tại A x y ( 0; 0) và có hệ số góc k thì tiếp tuyến này có vtpt là = - ;

mà góc hợp bởi tiếp tuyến và (d) bằng j nên

cos

34

4

k

k

= -È Í

Í = -Î

Khi đó:

( ) ( )

2

2

1

È

¢

Í

Nhưng x0 >0 nên chỉ có x0 1thoả mãn

1; ( )

A Ê Á ˆ Œ  = - ˜ d m

1,0

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 2

(1,0)

tan tan 2 1

cos cos 2 cos 2

x

cos cos2 x x π 0

Phương trình đã cho tương đương với:

cos 2 1

1 co 2

2

x x

x

= -È

Í Î

2

x= -  = +x p kp loai

2

6

È = - + Í

ÍÎ

KL: Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 6 ,(

6

k

È = - + Í

Œ Í

ÍÎ

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung Điểm

Câu 3

(1,0)

Đặt 3 2x+ =1 y thì khi viết lại bất phương trình thành:

3 2x+ £1 x+1 + + €x 1 2x+ +1 3 2x+ £1 x+1 + +x 1

ta sẽ có: 3 ( ) (3 )

y + £y x+ + +x (*)

Xét hàm số: f t( )= +t3 t có f t¢( ) 3= t2+ > " Œ1 0 t nên hàm số đồng biến trên

( -• + • ; ); mà (*) chính là f y( )£ f x( +1) nên y£ +x 1 Khi đó:

3

0

x

x

≥ È

Í

KL: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 5 3 5

S È- - - + ˘

0,5

0,25

0,25

Câu 4

(1,0)

Ta có:

1

Tính

2 sin 0 sin (sin )

x

p

2

t= xd x =dt x=  =t x=  =p t

nên ta có:

J =Út e dt= t e -Úe dt= t e -e =

KL: Vậy I = + 1 2 J = 3

0,5

0,5

Câu 5

(1,0)

+) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

S AB BC AB AB a Từ đó ta có:

AB=BC =a AD= a và dễ dàng suy ra được CD a 2

Gọi H là trung điểm CD, từ giả thiết suy ra góc hhọp bới SC và mặt đáy

chính là góc SCH 600

Trong tam giác vuông SHC suy ra:

Suy ra:

3

a

+) Tính khoảng cách giữa AB và SD.

Gọi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành BADE thì AB//ED nên AB/ /(SDE)

Do đó khoảng cách giữa AB và SD bằng khoảng cách từ trung điểm M của AB

đến mặt phẳng (SDE).

Lấy N là trung điểm cạnh DE thì dễ có M, H, N thẳng hàng và MN 4 HN;

Do đó d M SDE ( , ( ) ) 4 d H SDE ( , ( ) ) Ta

có: ED SH ED ( SHN ) ( SED ) ( SHN )

^

Trong tam giác vuông SHN hạ HK ^ SN thì: HK d H SDE ( ,( ) )và

14

HK a

HK = HS +HN =  = Vậy khoảng cách cần tìm là: 4 6

2 7

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6

(1,0)

Vói hai bộ 3 số dương a, b, c và x, y, z bằng quy đồng rồi khai triển và áp dụng BĐT

Cauchy

cho 2 số dương ta chứng minh được: 2 2 2 ( )2

a b c

+ +

+ + (*)

mà:

Áp dụng BĐT (*) ta có:

( 2 2 2)2

≥

Mà

x x + y+ £ + + + = + +

, suy ra:

0,25

0,25

H

A

D

S

E N M

K

( 2 2 2)

4

4

≥

Dễ chứng minh được ( 2 2 2) ( )2 2 2 2

3 x + y + z ≥ x + + y z =  9 x + y + z ≥ 3

Đặt t=x2+y2+z2 ≥1, ta có 4 2 1 ( 3 4)( 7) 0

5 21

t

chứng minh

0,25

0,25

Câu 7a

(1,0)

Gọi I là tâm của đường tròn (C) và M là trung điểm

cạnh CD thì AMB= AMI+IMB=450+450 =900 nên điểm

M nằm trên đường tròn (C) Do đó M là giao đi

(C).

Giải hệ:

( ) (2 )2

2 0

x y

+ + = ÏÔ

Ì

È Í Î

Gọi J là trung điểm IM thì ( )

0; 1 1; 2

J J

-È

-Î , khi đó AC là đường thẳng

qua J và hợp với IM góc j mà 1

cos

5

TH1: IM y: + =1 0 , giả sử AC ax b y: + ( + =1) 0,(a2 +b2 π0) Khi đó:

2 2

2 1

4

2 5

b

È

= + € = € Í = - Î Chọn b=1, suy ra: 2

2

a a

È

Í =

Suy ra: : 2 1 0

AC x y

+ + = È

Î

TH2: IM x : + = 1 0 , giả sử AC a x: ( - +1) b y( +2) 0,= (a2+b2 π0) Khi đó:

2 2

2 1

4

2 5

a

È

2 2

b b

È

Í =

Suy ra: : 2 3 0

AC x y

AC x y

È

Vậy có 4 phương trình AC như trên thỏa mãn

0,25

0,25

0,25

0,25

(d)

J

I

B

A

M

Câu Nội dung Điểm

Câu 8a

(1,0)

Ta lấy điểm M ( 1 ; + - t t ; 2 + Œ t ) ( ) d  EM = - - - t 1; t 1; t + 1 )

Khi đó đường thẳng EM và đường thẳng (d) cùng hợp với (P)

những góc bằng nhau Do đó:

1 1

t

+ +

3 t-1 =3t + + € =2t 3 t 0

Suy ra: EM = - - 1; 1;1 )

Vậy đường thẳng cần tìm chính là

:

EM - = - =

.

0,25

0,5

0,25

Câu 9a

(1,0)

Viết lại phương trình thành: ( )2

z+ i - z+ i + = Đặt w = + z 2 ita có phương trình:

( )2

3

= + È

-Î Khi đó:

€

Í + = - Í =

Vậy z1- z2 = 2 i = 2

0,25

0,5

0,25

Câu 7b

(1,0)

Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng cũng là trục đối

xứng của (E) nên góc giữa hai đường chéo của hình chữ nhật

bằng 600thì góc hợp bởi OM và chiều dương của trục Ox

sẽ là j bằng 300 hoặc 600

+) TH1: j 300 thì hệ số góc của OM bằng

tan 30

3

3 :

3

0,25

0,25

(d) (l)

( P )

A

B

M

E

y

Q P

Giải hệ:

1

25 9 3 , ( , 0) 3

Ï

ÔÔ Ì

ÔÓ

suy ra: 675 675

;

52 156

+) TH2: j 600 thì hệ số góc của OM bằng

0 tan 60 3 OM y: = 3x Giải hệ:

1

25 9

3 , ( , 0)

Ï

Ô Ì

Ó

suy ra:

75 225

;

28 28

KL: Vậy có hai điểm M thóa mãn: 675 675

;

52 156

75 225

;

0,25

0,25

Câu 8b

(1,0)

+) Giả sử đã dựng được đường thẳng (l) là đường thẳng cấn

tìm, khi đó ta dựng được (Q) chứa (d) và song song với (l).

Khi đó khoảng cách giữa (l) và (d) chính bằng khoảng cách từ A đến

(Q) Gọi H là hình chiếu của A lên (d), K là hình chiếu của A

lên (Q) thì AK £ AH const -

+) Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho lớn nhất khi

H ∫ K Khi đó: (l) nằm trên (P) và vuông góc với AH.

+) Vì H trên (d) nên ( 1 ; + - ;1 )  = ; - + 1;1 );

2

Suy ra: ; ;1

2 2

Suy ra: l =Î ( )P ˚= -( )

( ) :

l - = + =

-0,25

0,5

0,25

(d)

(l)

(Q)

(P)

K

A H

Câu Nội dung Điểm

Câu 9b

(1,0)

Gọi biến cố A:” Chọn ra 4 nhà KH mà nghành nào cũng có ít nhất 1 người” thì:

TH1: Chọn ra được 1 Toán, 2 lí, 1 Hóa Suy ra có: 1 2 1

4 .3 5 60

C C C (cách) TH2: Chọn ra được 1 Toán, 1 lí, 2 Hóa Suy ra có: 1 1 2

4 .3 5 120

C C C (cách) TH3: Chọn ra được 2 Toán, 1 lí, 1 Hóa Suy ra có: 2 1 1

4 .3 5 90

C C C (cách) Suy ra: W =A 60 120 90 270 + + = ; mà 4

12 495

C

Vậy xác suất cần tìm là: ( ) 270 6

495 11

A

P A W

W

0,25

0,25

0,25

0,25

………… HẾT………

http://www.thanhthuy.edu.vn