toán 11:lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản...  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx..  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.. Các phương pháp giải phươn

Trang 1

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos( )− =x cos ; sinx ( )− = −x sin ; x

b) Cung bù: cos(π − = −x) cos ; sinx (π − =x) sin ; x

c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan

d) Cung hơn kém π : cos(π +x) = −cos ; sinx (π +x) = −sin ; x

e) Cung hơn kém

2

π

: cos sin ; sin cos ;

2 Công thức lượng giác

cos cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin

tan tan tan( )

1 tan tan cot a cot 1 cot( )

cot a cot

a b

b

a b

b

+ + =

−

− + =

+

2

sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1

1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a a

a

=

= −

=

−

3

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

= −

sin ; cos

3sin sin 3 3cos cos3

e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

−

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

3 Hằng đẳng thức thường dùng

2

sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2

1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos

4 Phương trình lượng giác cơ bản

Trang 2

NGUYỄN TẤN TÀI THPT LAI VUNG I – ĐỒNG THÁP

khi 1

2 sin ( ) ( ) arcsin 2 ; sin sin

2 khi 1

( ) arcsin 2

m

α

>



= +







khi 1

2 cos ( ) ( ) arccos 2 ; cos cos

2 khi 1

( ) arccos 2

m

α

π

>



= +







tan ( )f x = ⇔m f x( ) arctan= m k+ π; tanx =tanα ⇔ = +x α kπ

cot ( )f x = ⇔m f x( ) arccot= m k+ π; cotx=cotα ⇔ = +x α kπ

5 Phương trình thường gặp

a Phương trình bậc 2

2

.sin ( ) cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )

.cos ( ) sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )

cos 2 ( ) cos ( ) 0 cos 2 ( ) 2cos ( ) 1

cos 2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )

.t

a

cos

1

an ( ) cot ( ) 0 cot ( )

tan ( )

f x

b Phương trình dạng asin ( )f x +bcos ( )f x =c

 Điều kiện có nghiệm: a2 + ≥b2 c2

 Chia 2 vế cho a2 +b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.

c Phương trình đẳng cấp

 Dạng a.sin2 x b+ sin cosx x c+ cos2x d=

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx ≠0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

 Dạng a.sin3x b+ sin2xcosx c+ sin cosx 2x d+ cos3x=0

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx ≠0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d Phương trình đối xứng loại 1: a(sinx±cos )x +b.sin cosx x c=

 Đặt t = sinx ±cosx, điều kiện t ≤ 2

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

e Phương trình đối xứng loại 2 : a(tann x+cot )n x +b(tanx±cotx) =0

 Đặt t = tanx - cotx thì t ∈ R ; Đặt t = tanx + cotx thì t ≥2.

 Chuyển về phương trình theo ẩn t.

f Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản

 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.

 Phương pháp đặt ẩn phụ.

 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Trang 3

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 cos sin 2 0

3

    3 tan 2 tanx x= −1

4 sin2 x+sin tan2x 2x=3 5 5cos2x+sin2x=4 3 1

3sin cos

cos

x

7 cos 24 x=sin 3x−sin 24 x 8 tan 1 tan

4

sin cos cos sin

4

10 sin4x+cos4x=cos 4x 11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12 sin + cos =

13 sin 52 x+cos 32 x=1 14 2

cos cos2 cos 4

16

x x x= − 15 sin(πsinx) =1

16

cos sin

1 sin 1 cos

cosx +sin 2x =sin 4x 18 4sin 23 x+6sin2x=3

Bài 2 : Cho phương trình tan(πcosx) =cot(πsinx)

1 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

2 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [−3 ;π π] của phương trình.

Bài 3 : Cho phương trình sin6 x + cos 6 x = m.

1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2 Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng (0;π)

Bài 4: Giải và biện luận phương trình (2m−1 cos 2) x+2 sinm 2x+3m− =2 0

Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.

5 cos 2 4cos 0

2

x− x+ =

3 sin4x+cos4x=cos 2x 4 4 4 1

cos sin sin 2

2

x+ x = x−

5 2 2 cos 32 x− +(2 2 cos3) x+ =1 0 6 cos4 sin4 2sin 1

x

7 4 sin( 6 cos6 ) cos 2 0

2

x+ x − π − x=

  8 2 tanx+3cotx =4

cos sin

4

cos sin 4cot 2

sin cos

x

−

=

+

2 tan cot 2sin 2

sin 2

x

sin cos cos 2

16

13 4cosx−cos 4x= +1 2cos 2x 14 4sin5xcosx−4cos sin5x x=cos 42 x+1

15 cos 4x=cos 32 x−cos2x+1 16 sin3x+cos 2x= +1 2sin cos 2x x

Bài 2 : Cho phương trình sin3x m− cos2x−(m+1)sinx m+ =0

1 Giải phương trình khi m = 2.

2 Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (0;2π)

Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.

1 3sinx−cosx+ 2 0= 2 3sinx− =1 4sin3x+ 3 cos3x

Trang 4

3 sin4 cos4 1

4

x+ x+π =

  4 2 cos( 4x+sin4x) + 3sin 4x=2

5 2sin 2x+ 2 sin 4x=0 6 3sin 2x+2cos 2x=3

3cos 2 3sin

2

x+ x= 8 4cos3x−3sin 3x+ =5 0

9 sin cosx x−sin2x=cos 2x 10 tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx)

11 2sin 3x+ 3 cos7x+sin 7x=0 12 cos5x−sin 3x= 3 cos3( x−sin 5x)

13 (2sinx−cosx) (1 cos+ x) =sin2x 14 1 cos+ x+sin 3x=cos3x−sin 2x−sinx

15 3sinx− =1 4sin3x+ 3 cos3x 16 3sin cos 2cos 2

3

x+ x+ x−π =

Bài 2 : Cho phương trình 3 sinm x+(2m−1 cos) x =3m+1

1 Giải phương trình khi m = 1.

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 cos sin 1

sin 2cos 4

y

=

cos3 sin 3 1 cos3 2

y

x

=

+

3 1 3sin 2cos

2 sin cos

y

=

2 sin cos cos sin cos 1

y

+

=

+

Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2sin2 x+sin cosx x−3cos2x=0 2 2sin 2x−3cos2x+5sin cosx x− =2 0

3 sin2x+sin 2x−2cos2 x=0,5 4 sin 2x−2sin2x=2cos 2x

5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6 2 1 2

7 3sin 2x+ 4sin 2x +(8 3 9 cos − ) 2x = 0 8 2cos3x+3cosx−8sin3x=0

3 cos 5sin 7sin cos 0

3

x− x+ x− x= 10 3 5sin 4 cos

6sin 2cos

2cos 2

x x

x

11 sin2 2 sin

4

 + =

  12 3 2 cosx−sinx =cos3x+3 2 sin sin 2x x

13 3sin2x−2sin 2x+cos2x=0 14 12 sin3 2 sin

4

 − =

Bài 2 : Cho phương trình msin2x−(m−3 sin 2) x+(m−2 cos) 2x=0

4

π

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 1 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

Trang 5

1 2 sin( x+cosx) +sin 2x+ =1 0 2 sin cosx x=6 sin( x−cosx−1)

3 sin 2 2 sin 1

4

x+ x−π =

  4 tanx−2 2 sinx=1

5 sin3x+cos3x=1 6 (1 sin + x) (1 cos + x) = 2

7 2sin tan cot

4

 + = +

p

sinx+cosx +sin cosx x− =1 0

sinx+cosx −3sin 2x− =1 0 10 cos3x−sin3x =cos 2x

11 sin3x+cos3x+2 sin( x+cosx) −3sin 2x=0 12 ( )3

sinx−cosx = +1 sin cosx x

sin cos

+ + + + + + = 14 (1 sin 2− x) (sinx+cosx) =cos2x

Bài 2 : Cho phương trình cos3x−sin3x m= Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 3 tan( x+cotx) −2 tan( 2x+cot2x) − =2 0 2 tan7x+cot7 x=tanx+cotx

3 tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x =6 4 ( )4 ( 2 2 )

9 tanx+cotx =48 tan x+cot x +96

5 3 tan( x−cotx) +tan2x+cot2x =6 6 ( )4 ( 2 2 )

3 tanx + cotx − 8 tan x + cot x = 21

Bài 2 : Cho phương trình tan2x+cot2x+2(m+2 tan) ( x+cotx) = −m m2 Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản

Giải các phương trình lượng giác sau :

sin cos sin cos

8

x x− x x= 2 cos2 x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2

3 sin3x+cos3x=2 in(s 5x+cos5x) 4 8 8 ( 10 10 ) 5

sin cos 2 sin cos cos2

4

5 sin cot 5

1 cot

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0

2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

9/ 2cos2x-8cosx+7=cos x1 10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+5

4 cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+ 1

cos x 15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos 3 x+sinx=0

Trang 6

17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2 sin2x + sin22x = sin23x + sin24x

3 sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 4 2 2 2 3

cos cos 2 cos 3

2

x+ x+ x=

5 sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6.sin sin 1

    7.

1

    8 cosx cos4x - cos5x=0

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2(π +4 52x)-2cos2 9

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5 π +10x)

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3cos3x

9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 12/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

Dạng 8 : Đặt ẩn phụ

1 tan 2x−2 tanx+sin 2x=0 2

cosx+ 2 cos− x +cosx 2 cos− x =3 3 5

3sin cos 3

2

cos x+2 2 cos+ x =2

Dạng 9 : Phương pháp đối lập

1 sin3x+cos4x =1 2 sin2010 x+cos2010 x=1

3 3cos2x+ =1 sin 72 x 4 sin3 cos4x x=1

5 sin3x+cos3x= −2 sin 22 x 6 cos2 cos5x x= −1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương

1 cos 2x−cos6x+4 3sin( x−4sin3x+ =1) 0 2 3sin 2x−2sin2x−4cosx+ =6 0

3 2sin 2x+cos 2x+2 2 sinx− =4 0 4 cos2x− 3sin 2x+4sin2x−2sinx+ =4 2 3cosx

C BÀI TẬP TỔNG HỢP

Trang 7

Bài 1 cos 2 x− 3 sin 2x= + 1 sin 2x

Bài 2 cos 3x− 4sin 3x− 3cos sinx 2x+ sinx= 0

Bài 3 Giải phương trình: sin 2x+ 2 tanx= 3

3

sin sin 2x x+ sin 3x= 6cos x

x

+

Bài 5 sin 3x+ cos3x+ 2cosx= 0

Bài 6 sinx− 4sin 3x+ cosx= 0

Bài 7tan sinx 2x− 2sin 2 x= 3(cos 2x+ sin cos )x x

Bài 8 cos3x− 4cos 2x+ 3cosx− = 4 0

Bài 9 (2cosx− 1)(2sinx+ cos ) sin 2x = x− sinx

Bài 10 cosx+ cos 2x+ cos3x+ cos 4x= 0

Bài 11 sin 2x+ sin 3 2 x= cos 2 2 x+ cos 4 2 x

Bài 12 sin 3xcos3x+ cos 3xsin 3x= sin 4 3 x

Bài 13 4sin 3x+ 3cos 3x− 3sinx− sin 2xcosx= 0

Bài 14 Giải phương trình:

2

(2sinx+ 1)(3cos 4x+ 2sinx− + 4) 4cos x= 3

Bài 15 sin 6 x+ cos 6x= 2(sin 8x+ cos ) 8x

Bài 16 cos cos 2 cos 4 cos8 1

16

3

2

(2sinx− 1)(2sin 2x+ = − 1) 3 4cos x

cos 2x− cos8x+ cos 6x= 1

sin 4x− 4sinx+ 4cosx− cos 4x= 1

3sinx+ 2cosx= + 2 3 tanx

3

2cos x+ cos 2x+ sinx= 0

2(tanx− sin ) 3(cotx + x− cos ) 5 0x + =

4cosx− 2cos 2x− cos 4x= 1

sin sin 2 sin 3

3 cos cos 2 cos3

sin sin 4 2cos 3 cos sin 4

6

1 sin sin cos sin 2 os

2cos 2x− sin 2x= 2(sinx+ cos )x

1 cos cos 2 cos3

2

4

1 sin + x+ cosx+ sin 2x+ cos 2x= 0

tanx+ tan x+ tan x cotx cot x cot x+ + + = 6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3 + x= sinx+ cos 2x

cos 2x+ 2(sinx+ cos )x − 3sin 2x− = 3 0

4(sin 3x− cos 2 ) 5(sinx = x− 1)

Bài 37 Giải phương trình: sinx− 4sin 3x+ cosx= 0

3

cos10x+ + 1 cos8x+ 6cos3 cosx x= cosx+ 8cos cos 3x x

Bài 39 Giải phương trình: sin4 cos4 1

4 4

cos cos3 sin sin 3

4

(sinx+ sin 2x+ sin 3 )x = sin x+ sin 2x+ sin 3x

cos sin

x

D GIỚI THIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM

Trang 8

NGUYỄN TẤN TÀI THPT LAI VUNG I – ĐỒNG THÁP A02:T×m no thuéc (0;2π ) cña PT:

5 ÷ 3

+ +cosx sin3x+ = +

1 2sin2x

B02: GPT: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.2 − 2 = 2 − 2

D02: T×m no thuéc [0;14] cña PT:

cos3 4cos 2 3cosx− x+ x− =4 0

A03: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

cot x 1 cos 2x sin x2 1 sin 2x.

+ B03: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

cot x tan x 4 sin 2x 2

sin 2x

D03: Gi¶i ph¬ng tr×nh

sin2 x tan x cos2 2 x 0

2

2 4

π

B04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

5 sin x 2− = 3 1 sin x tan x.( − ) 2

D04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x.− )( + )= −

A-05: GPT: cos23x.cos2x-cos2x = 0

A-06: GPT: 2 sin( 6 cos6 ) sin cos

0

2 2sin

x

=

−

B-06: GPT: cot sin 1 tan tan 4

2

x

x+ x + x =

D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2

2 B07: GPT: 2sin 2 sin 7 1 sin

2 D07: GPT: sin cos 3 cos 2

2 2

x

A08: GPT

3

2

x

π π

−

B08: GPT

D08: GPT 2sin (1 cos 2 ) sin 2 x + x + x = + 1 2 cos x

A09: GPT

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 s inx)

x

B09: GPT

3

s inx cos sin 2+ x x+ 3 os3c x=2( os4c x+sin ).x

D09: GPT

3 os5 c x − 2sin 3 cos 2 x x − sinx 0 =

A10: GPT

1

x

π

+ B10: GPT

D10: GPT

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	645,5 KB