Ôn tập số phức

ÔN TẬP SỐ PHỨC1.. Hai số phức bằng nhau  Phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.. Cộng và trừ số phức: Thực hiện như đa thức 8.. Nhân hai số phức: Thực hiện theo quy tắc nhân đa thức

ÔN TẬP SỐ PHỨC

1 Tập hợp số phức: C = { z z a bi a b / = + ; , ∈ R & i2 = − 1 }

2 Số phức z = a + bi thì a là phần thực và b là phần ảo

• z = a + bi là số thực ⇔ b = 0, a≠0

• z = a + bi là số thuần ảo ⇔ a = 0, b≠0

3 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z− = a − bi

4 Môđun của số phức z = a + bi là z = a2+ b2

5 Hai số phức bằng nhau  Phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau

6 Số phức z = x + yi (x,y∈ R ) được biểu diễn bởi điểm M(x; y)

7 Cộng và trừ số phức: Thực hiện như đa thức

8 Nhân hai số phức: Thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1

trong kết quả nhận được

9 Chia hai số phức: Nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu

10 Căn bậc hai của số thực âm a là ± | | a i

11 Phương trình bậc hai az2 +bz +c = 0 (a, b, c ∈R & a ≠ 0)

∆ = − b2 4 ac

a) ∆ = 0: Phương trình có nghiệm duy nhất là z =

2

b a

−

b) ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt là 1,2

2

b z

a

− ± ∆

=

c) ∆ < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt là

1,2

2

b i z

a

=

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho các số phức z = + 1 i 3 và w = − 1 i 2

a/ Tìm môđun và số phức liên hợp của các số phức z và w

b/ Tính z2 ; z3 & w2 ; w4

ĐS: b/ z2 = − + 2 2 3 i, z3 = − 8 & w2 = − − 1 2 2 , i w4 = − + 7 4 2 i ,

Bài 2: Thực hiện các phép tính:

a) (1 – 3i)2 – (2 + i)(5 – 2i) b) ( 5 2 ) 4 2

3

i i

i

+

− c)

) 1

)(

2

1

(

3

i i

i

+

−

+

d) 2 2

2 2

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

+

− +

−

− +

e) (1 − 3 ) (1 i 15 + i )10; f) ( )

( )

21

9

1 3 1

i i

+

− ; g)

18

5 7 6

i i

+

ĐS: a/ − −20 7i b/ − +6 i c/ i

5

3 5

4 + d/ i

17

9 34

21 + e/ − 2 i20 f/ − 216   1 − 3 (1 + + 3)i   g/ 2 i9

Bài 3: Tìm số phức z biết : a) 2 z + = + 3 i 7 8 i b) ( 1 3 − i z ) ( + + 4 3 i ) = − 7 5 i

c) ( 1 + i z ) + = − 3 2 i 4 z d) ( 1 2 ) 5 6

2 3

z

+ e) z = 10 và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực của nó

f) z = 34 và z z + =− 6 g) z = 1 và phần thực bằng 2 lần phần ảo.

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức C (ẩn z):

a)

i

i z

i

i

+

+

−

=

−

+

2

3 1 1

2

ĐS: i

25

4 25

22

2

1 ](

3 ) 2 [( − + + + =

i iz i z

i ĐS: -1 + i ; 1/2 c) z + 2 z = 2 − 4 i ĐS: 2/3 + 4i d) z2 − z = 0 ĐS: 0, -1, i i

2

3 2

1 , 2

3 2

1

− +

e) z2 + z = 0 ĐS: 0, i, -i f) z2 = − + 3 4 i ĐS: 1+2i; -1-2i

Bài 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện :

a) z + z + 3 = 4 b) z − z + 1 − i = 2 c) z + − (1 2 ) 10 i = ĐS: a) x = 1/2 và x = -7/2 b) y =

2

3

1 ± c) 2 2

( x + 1) + − ( y 2) = 10

Bài 7: Giải các phương trình sau trong C

a) 3 x2+ + = x 2 0 b) x2+ + = x 1 0 c) x2 − 3 x + 1 = 0 d) x3− = 8 0

6

i

2

i

i

2

1 2

3 ± d)2; 1 − ± i 3

Bài 8: Giải các phương trình sau trong C

1

ÔN TẬP SỐ PHỨC

3 4 0

8 9 0

z − z − = (ĐS: ± ± i ; 3) Bài 9: Giải các phương trình sau trong C

a) ( z + − 2 3 i z ) ( 2− + = z 1 ) 0 b) z3+ = 1 0

ĐS: a/ -2+3i; 1 3

2 ± 2 i b/ -1; 1 3

2 2 i

− ±

Bài 10: Cho phương trình 3

1 0

z − = có các nghiệm phức z1 , z2 , z3 Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3

Chứng minh: ∆ ABC là tam giác đều

Bài 11 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng Oxy theo thứ tự biểu diễn các số

; z (1 )(1 2 ); z

i i

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

CÁC ĐỀ THI VỀ SỐ PHỨC:

1) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau

(i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (CĐ – 2009 )

2) Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 8z2 – 4z + 1 = 0 ( 12CB_TN 2009 ) b) 4z 3 7i z 2i

z i

− − = −

c) 2z2 – iz + 1 = 0 ( 12NC_ TN2009)

d) z2 + 2z + 10 = 0 ( z1 và z2 là nghiệm )

Tính giá trị biểu thức A= z12+ z22 (ĐHKA – 2009)

3) Cho 2 số phức z1= + 1 2 , i z2 = − 2 3 i (TN 2010 BanCB)

Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1− 2 z2

4) Cho hai số phức: z1= +2 5 ,i z2= −3 4i (TN 2010 BanNC)

Xác định phần thực và phần ảo của số phức z z1. 2

5) Giải PT : (1 – i)z + (2 - i) = 4 - 5i (TN2011)

6) Cho số phức z thỏa mãn (1 2 ) + i z z2 + = − 4 i 20 Tính |z| (CĐ : 2011)

7) Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = 2và z2 là số thuần ảo

8) Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số z thỏa mãn mỗi điều kiện

|z-(3-4i)| = 2 (CĐ: 1009)

9) Tìm tất cả các số phức z, bết z2 = |z|2 + z(ĐH: DHKA_2011)

1 0

i z z

+

1 3.i z

1 i

-=

13) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt z2 + 2z +10 = 0 Tính

z + z ; z + z ĐS: 20, 200

14).Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z1 = z2 = 1; z1+ z2 = 3 Tính z1- z2 ĐS: 1

15) Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z1 = 3; z2 = 4; z1- z2 = 37 Tìm số phức 1

2

z

z .

z

+

17).B11.Tìm phần thực và phần ảo z biết

21

1 i 3 z

1 i

æ + ö ÷

=ç ç ÷ ÷

ç +

è ø .

1

i

i

+

phức w z i = + + 1

2 1

z i

i z

+

= −

2

1

w = + + z z

20) CĐ11 Cho z thỏa z2- 2 1 i z 2i ( + ) + = 0 Tìm phần thực và phần ảo của 1

z.

x + y + x + y i = + xy + + xy i

b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z3 = 18 26i + ĐS: a/ x = ±3 ; y = ± 5 b/ x = 3 ; y = 1

25)CDD2012 Gọi z z1, 2là các nghiệm của pt z2 − 2 z + + = 1 2 i 0 Tính z1 + z2

z i =

1

i

i

−

trong Oxy

2