Gọi đồ thị của hàm số đã cho là C.. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.. Tìm toạ độ đỉnh D với hoành độ của D là số dương.. 3
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - lỚP 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 3 2
y x mx x (1) và đường thẳng ( ) :∆ y=2mx−2
(với m là tham số).
1) Khi m=0 Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2
2) Tìm m để đường thẳng ( )∆ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và
O là gốc toạ độ)
Câu 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình 2sin 3 2 2sin 2 3
4cos 4 cos
x x
π
2) Giải hệ phương trình
( )
2
xy y x
y x x x x x (với ;x y∈¡ )
Câu 3 (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
AB AD CD,= < điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trìnhy = 2 Biết rằng đường thẳng ( ) : 7d x y− −25 0= lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM ⊥BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A 1;2;1 , B 1; 2;4( ) ( − ) và mặt
phẳng ( ) : 2P y z+ =0 Tìm toạ độ điểm C ( ) ∈ P sao cho tam giác ABC cân tại B và
có diện tích bằng 25
2 .
Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a= Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng ϕ với sin 1
3
ϕ = Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a
Câu 5 (3 điểm)
1) Tính tích phân 2 2 ( ) 3 3
4 1
ln + +1 +
2) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ
số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6
Câu 6 (2 điểm) Cho các số thực x y z , , thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )2 ( )
2
8 2
2
Họ và tên thí sinh :……… Chữ ký của Giám thị 1 : ………
Số báo danh : ……… Chữ ký của Giám thị 2 : ………
ĐỀ CHÍNH THỨC