Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Việc đưa Wolfram Alpha vào việc dạy học toán về hàm số, sẽ rất hữu ích và tiệnlợi.. Chúng tôi nghiên cứu “Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” góp phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

Lê Thị Thùy Trang

Hồ Chính Sách

Huế, tháng 9/2013

LỜI NÓI ĐẦU

Từ những bài toán đơn giản cho đến các phương trình cao cấp, phức tạp, người dùng đều có thể tìmthấy sự hỗ trợ từ các ứng dụng, dịch vụ trực tuyến và các Website Đây là những công cụ tiện lợi, đắc lực vàhiệu quả nhất trong việc dạy học toán

Và Wolfram Alpha là một trong những website hữu ích đó

Wolfram Alpha không chỉ hữu ích cho các bạn học sinh học toán và rèn luyện khảnăng tiếng Anh mà còn giúp các thầy cô giáo tìm được nguồn học liệu phong phú phục

vụ cho việc giảng dạy Chúng có đầy đủ tài nguyên cho người mới bắt đầu đến ngườithông thạo nhất, dù trình độ của bạn ở mức nào, bạn sẽ luôn tìm được bài học phù hợpcho mình

Việc đưa Wolfram Alpha vào việc dạy học toán về hàm số, sẽ rất hữu ích và tiệnlợi Bởi vì, Wolfram Alpha chọn lọc những thông tin, hình ảnh chi tiết về hàm số để cónhững câu trả lời nhanh và chính xác nhất về các thông tin liên quan về hàm số đó ĐưaWolfram Alpha vào việc dạy hàm số sẽ giúp học sinh có cái nhìn khái quát và hiểu rõhơn về hàm số

Chúng tôi nghiên cứu “Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số” góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng cho việc giảng dạy của giáo viên

và việc học toán của học sinh

I Giới thiệu về Wolfram Alpha.

Wolfram Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển Đây là mộtdịch vụ trực tuyến có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính toáncâu trả lời từ các dữ liệu có cấu trúc, chứ không chỉ cung cấp một danh sách các tài liệuhoặc trang có web có thể chứa câu trả lời như cách máy tìm kiếm thường làm Websitenày được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm 2009, và được phát hành cho côngchúng ngày 15 tháng 5 năm 2009 Wolfram Alpha được viết ra bằng 5 triệu dòng mãMathematica

sản phẩm Mathematica – một ứng dụng điện toán được sử dụng rất phổ biến trong cộngđồng các nhà toán học, khoa học cũng như các chuyên gia kỹ thuật khác.

Tận dụng lợi thế này Wolfram Research đã tập trung nghiên cứu phát triển thànhcông cụ tìm kiếm Wolfram Alpha Mục tiêu của công cụ tìm kiếm này không chỉ đơngiản dừng lại ở việc tìm kiếm mà còn cung cấp đường liên kết đến các trang web chongười dùng

Công cụ tìm kiếm này sẽ tiến hành phân tích từ khóa tìm kiếm mà người dùngnhập vào, tìm kiếm tổng hợp thông tin và cuối cùng trình bày ra trước mắt người dùngcâu trả lời chứ không phải là những đường liên kết Nói một cách khác thì WolframAlpha sẽ làm thay cho người dùng nhiệm phải truy cập đến từng đường liên kết thì mới

có được những thông tin cần thiết

Trong cuộc trình diễn tại Trung tâm Internet và Xã hội Berkman thuộc Đại học

Harvard, Tiến sĩ Wolfram đã cho biết: “Mục tiêu của chúng tôi là làm cho những kiến

thức chuyên môn có thể truy cập được bởi bất cứ ai, bất cứ nơi đâu, bất cứ lúc nào”.

Công cụ web này sẽ tự động hóa việc trả lời các câu hỏi ngẫu nhiên nhờ lấy dữ liệu từ các

cơ sở dữ liệu công cộng hoặc những dữ liệu có bản quyền, và các nguồn cấp dữ liệu trựctiếp Người dùng có thể vào website để tìm kiếm những thông tin đơn giản - ví dụ nhưchiều cao của núi Everest - hoặc những thông tin phức tạp đòi hỏi phải trộn lẫn nhiều dữliệu với nhau, chẳng hạn như GDP cập nhật của một quốc gia Các chức năng khác nhaucủa trang web cũng giúp giải quyết các bài toán phức tạp, số liệu khoa học hoặc vẽ biểu

đồ các sự kiện tự nhiên

Tiến sĩ Wolfram cho biết “Cũng giống như tương tác với một chuyên gia, trang

web sẽ hiểu những gì bạn đang nói, thực hiện tính toán, và sau đó trình bày với bạn những kết quả” Nhưng điều này cũng dẫn đến kết quả là phần lớn các dữ liệu mang tính

khoa học, và có ít thông tin văn hóa như thông tin về các ngôi sao nhạc pop hoặc diễn

viên điện ảnh Về tiến trình triển khai dự án mới này, Tiến sĩ Wolfram đã tiết lộ “hàng

nghìn tỉ mẫu dữ liệu” đã được lựa chọn và quản lí bởi một nhóm các chuyên gia tại

Trung tâm nghiên cứu Wolfram Những chuyên gia này cũng đã tiến hành chuẩn hóa

Không những thế câu trả lời mà Wolfram Alpha đưa ra được tổ chức theo cấu trúc

rõ ràng với hình ảnh biểu đồ, đồ họa… rất rõ ràng và dễ hiểu Người dùng còn có thể tảinhững câu trả lời này về dưới dạng tệp tin PDF để phục vụ cho mục đích riêng

Có thể thấy đây là một tính năng rất tuyệt vời bởi thay vì lần mò đến từng đườngliên kết như trên trang kết quả tìm kiếm của Google thì với Wolfram Alpha người dùng

có thể thấy ngay được những thông tin cần thiết rất dễ đọc và theo lõi cũng như đối chiếu

Wolfram Alpha được cung cấp dưới dạng trang web tại địa chỉwww.wolframalpha.com Ngoài ra, bạn còn có thể tải về và sử dụng Wolfram Alpha nhưadd-ons trên trình duyệt hay gadget trên màn hình Desktop

Slogan của Wolfram Alpha là bạn hãy nhập thứ mình muốn “biết hoặc tính toán” vào ô

tìm kiếm.

Wolfram Alpha có cơ sở dữ liệu đồ sộ, đã qua hơn hai năm phát triển, nhưng hiệntại vẫn mang mác Alpha Khác với những bộ máy tìm kiếm đã xuất hiện (Google, Bing,Yahoo!,…), Wolfram Alpha sẽ cho ra kết quả tìm kiếm cụ thể ngay trên màn hình chứ

không phải là các đường dẫn đến trang web của hãng thứ ba Đặc biệt hơn cả là “trí

thông minh nhân tạo” của Wolfram Alpha còn giúp giải những bài toán cao cấp, là giải

pháp hữu hiệu cho giáo viên, học sinh, sinh viên trong học tập

5

II Ứng dụng của Wolfram Alpha trong toán học.

Tính đến thời điểm hiện tại Wolfram Alpha có trong tay hơn 10 nghìn tỉ dữ liệukhác nhau, hơn 50.000 thuật toán và mô hình tổ chức thông tin, và khả năng ngôn ngữ cóthể xử lý thông tin ở hơn 1.000 lĩnh vực khác nhau Ngoài ra công cụ tìm kiếm này cònđược tích hợp ứng dụng điện toán nổi tiếng Mathematica mà Wolfram Research đã pháttriển trong hơn 20 năm qua

Nhờ được vận hành trên nền tảng cơ sở siêu máy tính “bó” (cluster) nên WolframAlpha còn tận dụng được hết năng lực của những công nghệ thế hệ web và điện toán songsong mới nhất như webMathematica hay gridMathematica

Wolfram Alpha có hầu hết các chức năng tính toán cơ bản của các bộ môn toán từ

sơ cấp đến cao cấp Wolfram Alpha còn có thể được coi là một công cụ chuyên thực hiệnnhiều phép toán phức tạp mà Google đôi lúc phải “bó tay”

Tìm đáp án cho một bài toán đạo hàm, tích phân, giải phương trình hay vẽ đồ thị,

…thì Wolfram Alpha sẽ là công cụ không thể thiếu Wolfram Alpha có thể nhận biếtphép toán bạn nhập vào, thông qua các ký tự, từ ngữ được quy ước trước Theo đó, có thể

gõ những phép toán đơn giản như trên ứng dụng Microsoft Office Excel thường dùng: +,-, *, /, sqrt(x) – tính căn x, sqr(x) – tính bình phương của x,… và cả các công thức lượnggiác, chẳng hạn sin(x), cos(2) Với các phép toán đơn giản, bạn sẽ nhận được ngay kếtquả ở dưới khung nhập liệu, bên cạnh đó còn kèm theo một số thông tin liên quan

Điểm đặc biệt của công cụ thông minh này là có thể suy luận logic và tìm ra quyluật của một dãy số

Tất cả những gì người dùng cần làm chỉ là truy cập vào địa chỉwww.wolframalpha.com để sử dụng các công cụ tính toán mà thôi

Các chức năng chính:

- Equation Solving (Giải phương trình, hệ phương trình)

- Polynomials (Tính toán các tính chất của đa thức nhiều biến, phân tích đa thứcthành nhân tử)

- Rational Functions (Tính toán các tính chất của hàm hữu tỉ)

- Vectors (Thực hiện các phép toán trên vector như tính độ dài, chuẩn hóa vector,tích có hướng, chuyển đổi giữa các hệ tọa độ)

- Matrices & Linear Algebra (thực hiện các phép toán về ma trận, tính vết, hạng,

ma trận nghịch đảo, vector riêng, giá trị riêng, định thức, các phép biến đổi tuyến tính )

- Finite Groups (tìm số nhóm hữu hạn với bậc cho trước, thông tin về một số nhómhữu hạn đặc biệt)

- Finite Fields (tính toán một số tính chất của trường hữu hạn)

Bảng tóm tắt các phép toán được sử dụng trong Wolfram Alpha.

7

III Sử dụng Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

1 Định nghĩa về hàm số qua việc sử dụng Wolfram Alpha.

Ở phổ thông, ta đã được học về khái niệm hàm số Đó là: “Cho một tập hợp khác

rỗng D ⊂ ℝ Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x Tập D gọi

là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f ”.

Wolfram Alpha sẽ cho ta một khái niệm chung và cơ bản nhất về hàm số Vàotrang web www.wolframalpha.com, nhập “what is function?” ta sẽ có những khái niệm

liên quan đến hàm số

(Toán học) Một hệ thức toán sao cho mỗi phần tử của tập hợp đã cho (miền xác định của hàm số) được liên kết với một phần tử của tập hợp khác (miền giá trị của hàm số).

Ở hình ảnh trên là những định nghĩa về hàm số mà Wolfram Alpha cung cấp chochúng ta Ngoài khái niệm về lĩnh vực toán học, Wolfram Alpha cung cấp cho chúng takhái niệm về các lĩnh vực khác.

Wolfram Alpha cung cấp về cách phát âm, nguồn gốc, lịch sử,… về khái niệmcủa hàm số Hình ảnh dưới đây sẽ cho ta thấy rõ đều đó

9

Phát âm

Các hình thức biến đổi

Lịch sử tần số từ Tổng tần số điển hình

Sự tách từ

Được biết đến đầu tiên khi sử dụng ở Anh

Nguồn

2 Sử dụng Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, ta tiến hành các bước sau đây:

B1: Tìm miền xác định của hàm số.

B2: Xét sự biến thiên của hàm số.

a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của hàm số

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị củahàm số (nếu có)

B3: Vẽ đồ thị của hàm số.

- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị

Chúng ta sẽ tìm hiểu các bước trên qua việc sử dụng Wolfram Alpha

2.1 Miền xác định của hàm số.

Đầu tiên, ta tìm hiểu định nghĩa về miền xác định của các hàm số thông quaWolfram Alpha

11

Ví dụ 1: Tìm miền xác định của hàm số

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “domain ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Vậy hàm số xác định trên ℝ

V

í dụ 2: Tìm miền xác định của hàm số:

(Toán học) Là tập hợp các giá trị của biến độc lập mà hàm số xác định

Vậy hàm số có miền xác định trong đoạn

13

2.2 Xét sự biến thiên của hàm số.

2.2.a Miền giá trị của hàm số.

Ta sẽ thấy tính năng của Wolfram Alpha qua việc tìm miền giá trị của các hàm số

ở các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “range ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Vậy miền giá trị của hàm số là ℝ

V

í dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số:

Vậy hàm số có miền giá trị trong đoạn

15

í dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số:

Vậy miền giá trị của hàm số trong nửa đoạn

V

í dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số:

Vậy miền giá trị của hàm số trong nửa đoạn

2.2.b Giới hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có).

Để tìm giới hạn của hàm số, Wolfram Alpha sẽ chỉ rõ qua các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của hàm số

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “lim ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

2.2.c Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Chúng ta có thể tìm được đường tiệm cận của hàm số thông qua việc tìm giới hạncủa hàm số đó

V

í dụ 1: Tìm các đường tiệm cận của hàm số:

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “asymptote ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Vậy hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Ngoài ra, ở hình ảnh trên, Wolfram Alpha đã vẽ đồ thị chỉ rõ các đường tiệm cận,với đường kẻ màu hồng chỉ đường tiệm cận đứng và đường kẻ màu vàng chỉ đường tiệmcận ngang

Wolfram Alpha cũng có thể tìm các đường tiệm cận thông qua việc tìm giới hạncủa hàm số đó.

Lấy ví dụ hàm số để tìm hiểu rõ điều này

Đối với tiệm cận ngang, nhập “horizontal asymptote ”, ta sẽ có được kết quả như

Vậy hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

Ở hình ảnh trên, thì đường kẻ màu hồng chỉ đường tiệm cận xiên và đường kẻ màuvàng chỉ đường tiệm cận đứng

Cũng có thể tìm đường tiệm cận xiên bằng cách nhập “oblique asymptote ” , hình

ảnh dưới đây cho ta thấy rõ kết quả:

2.2.d Đạo hàm của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số:

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “derivatives ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Vậy đạo hàm của hàm số là

V

í dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số:

Vậy đạo hàm của hàm số là

21

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “extrema ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Vậy hàm số đạt GTLN khi và đạt GTNN khi

Vậy hàm số đạt GTNN khi và hàm số này không có GTLN.

V

í dụ 4: Tìm cực trị của hàm số:

Vậy hàm số không có cực trị

2.3 Đồ thị của hàm số.

Wolfram Alpha cho chúng ta hình ảnh về đồ thị hàm số một cách rõ ràng và chínhxác nhất Các hàm số từ đơn giản đến phức tạp đều được Wolfram Alpha vẽ một cách chitiết, rất có ích trong việc tìm và khảo sát hàm số, tìm GTLN và GTNN, chiều biến thiêncủa hàm số

V

í dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số:

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com

B2: Nhập “plot ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

V

í dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số:.

25

í dụ 3: Vẽ đồ thị của hàm số:.

Như đã giới thiệu ở các mục trên, chúng ta sẽ đi tìm hiểu một cách tổng quát nhất

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm số cơ bản.

3.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức.

Miền giá trị của hàm số là ℝ

Đạo hàm của hàm số

là

Hàm số đạt cực tiểu tại

Nhìn trên đồ thị có thể thấy rõ chiều biến thiên của đồ thị hàm số này Hàm

số đồng biến trên mỗi khoảng và , nghịch biến trên khoảng

3.2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm trùng phương

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

và , nghịch biến trên mỗi khoảng và

3.3 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ.

Hình thức biến đổi của hàm số

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

và , nghịch biến trên mỗi khoảng và

3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số

là

Đạo hàm của hàm số

là

Kết luận

Wolfram Alpha là một cỗ máy trả lời câu hỏi khá tốt đối với những nhu cầu thôngthường của bạn Nó cung cấp một cách thức tìm kiếm trên web mới mà trong đó ngườidùng không cần thiết phải nhấp liên tục vào các liên kết để tìm được các thông tin cầnthiết, Wolfram Alpha tự thực hiện việc đó cho bạn

Nếu Wolfram Alpha được sử dụng đan xen trong việc dạy học toán về hàm số sẽtạo được sự thích thú cho học sinh giúp giờ dạy học của giáo viên hiệu quả hơn, đồngthời cũng giúp học sinh hiểu bài một cách sâu sắc hơn, dễ tiếp thu hơn Học sinh có thểđối chiếu, so sánh, quan sát, nhận xét để từ đó có thể khái quát được các vấn đề của hàm

Tài liệu tham khảo

[1] Internet: http://www.wolframalpha.com/about.html

[2] Internet: http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram Alpha

[3] Đại số 10 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), NXB Giáo dục

[4] Giải tích 12 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), NXB Giáo dục

[5] Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), NXB Giáo dục

35