skkn khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung " ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số" có một vị trí đặc biệt quan trọng.. Trong quá trình giảng dạy và ôn th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT

**************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Trần Thị Hương

Chức vụ : Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

Nội dung Trang Phần 1: Mở đầu ……….……… ……… 1

I Lý do chọn đề tài……… 1

II Mục đích nghiên cứu của đề tài ……… ………… 1

III Đối tượng nghiên cứu của đề tài ……….……… 1

IV Phương pháp nghiên cứu……… 1

Phần 2 Nội dung đề tài ……….……… 2

I Cơ sở lý luận của đề tài ……… 2

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài ……… ….… 4

III Giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện ……… 5

Phần 3 Kết luận và kiến nghị ……… 19

I Kết luận ……… 19

II Kiến nghị……… 20

Tài liệu tham khảo………

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích 12, nội dung " ứng dụng đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị của hàm số" có một vị trí đặc biệt quan trọng Là một công cụ rất

"mạnh" để giải quyết nhiều bài toán từ dễ đến khó trong các đề thi Trung học phổ thông quốc gia Nhiều bài toán có hướng giải khó nếu học sinh biết vận dụng kết hợp phương pháp đạo hàm thì bài toán trở nên đơn giản hơn Trong quá trình giảng dạy và ôn thi kì thi trung học phổ thông quốc gia, tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Các em thường mắc những lỗi sai mà bản thân học sinh không biết là mình sai Vì vậy mà các em không tựmình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy, cô giáo

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứngdụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài

"Khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và

vẽ đồ thị của hàm số "

II Mục đích nghiên cứu

- Phân tích cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinhhiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng giải đúng bài toán

- Bồi dưỡng cho học sinh thêm về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và

vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 Từ đó phân tích những sai lầm họcsinh thường mắc phải và biện pháp khắc phục

IV Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Phương pháp thông kê, xử lí số liệu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN 2: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung vàphạm vi nghiên cứu của đề tài)

1.1 Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y ( )f x xác địnhtrên K

+ Hàm số y ( )f x đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x x1 ; 2 thuộc K,

1.2 Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Nếu f x( ) và g x( ) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D thì tổng f x( ) g x( )cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tínhchất này nói chung không đúng với hiệu f x( )  g x( )

+ Nếu f x( ) và g x( ) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịchbiến) trên D thì tích ( ) ( ) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D Tính chất này nói chung không đúng với tích ( ) ( ) khi f x( ) và g x( ) là haihàm số không cùng dương trên D

1.3 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số dựa trên định lí sau:

+ Định lí: Cho hàm số y ( )f x có đạo hàm trong khoảng K

(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a Nếu f x ( )  0 với  x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b Nếu f x ( )  0 với  x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

c Nếu f x ( )  0 với  x K thì hàm số f(x) không đổi trên K

- Quy tắc để xét tính đơn điệu của hàm số( SGK- giải tích 12) là điều kiện đủchứ không phải điều kiện cần

2

1.4 Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

+ Định lí 1: Giả sử hàm số y ( )f x liên tục trên khoảng K (x0 h x; 0h) và cóđạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a Nếu f x ( )  0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f x ( )  0 trên khoảng (x x0; 0h) thì

0

x là một điểm cực đại của hàm số f x( )

b Nếu f x ( )  0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f x ( )  0 trên khoảng (x x0; 0h) thì

0

x là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

+ Định lí 2: Giả sử hàm số y ( )f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng

0 0

(x h x; h), với h 0 Khi đó:

a Nếu f x ( 0)  0; (f x 0)  0 thì x0 là điểm cực tiểu

b Nếu f x ( 0)  0; (f x 0)  0 thì x0 là điểm cực đại

Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điềukiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng

1.5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:

Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f x( ) trên miền D màchuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g t( ) với phépđặt ẩn phụ t ( )u x thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.1.6 Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y ( )f x

+ Tiếp tuyến tại điểm M x y0 ( 0 ; 0 )  ( )C có phương trình: yf x ( 0)(x x0) y0 + Đường thẳng d có hệ số góc k, đi qua điểm M x y( ; 1 1 ) có phương trình:

f x k x x y

Nếu điểm M x y( ; 1 1 ) nói trên thuộc ( )C thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (1).Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.

2 Sai lầm thường gặp khi giải toán

1.1 Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vữngđịnh nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạncủa hàm số

1.2 Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khivận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệutrên khoảng (a;b)

1.3 Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến

1.4 Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

1.5 Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua mộtđiểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị ( )C của hàm số

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm sốtrên một miền D

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồthị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho

Qua số liệu thống kê kết quả giải bài tập chương 1- giải tích 12 (trước khi chưa

áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau)

4

L p 12 A2 (s s 40)ớp 12 A2 (sĩ số 40) ĩ số 40) ố 40)

L p 12 A3 (s s 42)ớp 12 A2 (sĩ số 40) ĩ số 40) ố 40)

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, các khái niệm, định nghĩa, định lí, để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phân tích các ví dụ cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và hướng khắc phục các sai lầm đó

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, tính toán

- Phương pháp: phương pháp gợi mở , vấn đáp

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp học nhóm

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học Chẳng hạn sử dụng bảngphụ, phiếu học tập, kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hìnhđộng liên quan trực tiếp tới bài giảng.

4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức:nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp – vận dụng cao

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

5 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học

Giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tự vận dụng, bài tập nâng cao

II Nghiên cứu thực tế

1 Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ

1.1 Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm

xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số

Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơnđiệu của hàm số

Ví dụ 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số:   



2 ( )

x y

x

= -

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số 4 3 2

3

y x m x nghịch biến trên trên  [5]

Một số học sinh giải như sau:

khoảng 0;3

- Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, học sinh thường quên

đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần

Ví dụ 3: Cho hàm số y m x4 Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x 0 [6]

Một số học sinh giải như sau:

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x0

Phân tích sai lầm: Giả sử khi m=-1, ta có:

y x y4 ,   4 =0x3  x=0

Bảng biến thiên

xy’ + 0 -

y 0

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

 là điểm cực đại của hàm số

Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì x x 0 là điểm cực đại thì cũng có thể0

x m đạt cực đại x =2

Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của hàm số: f x( )  x 1  4  x2 [3]

Một số học sinh trình bày như sau:

 

 





Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0)

> 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Lời giải trên sai ở đâu ?

Phân tích sai lầm: Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số, vìkhi tìm điểm tới hạn học sinh quên điều kiện tương đương của phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

x

2

0 4

Một số học sinh giải như sau:

Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng

cực đại , cực tiểu nằm về hai phía của một

đường thẳng nghĩa là, đồ thị hàm số không cắt

đường thẳng y=2x.Nhưng thực ra đường

thẳng y=2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt mà điểm cực đại, cực tiểu vẫn nằm khắc

phía so với đường thẳng y=2x.

Lời giải đúng là:

Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương với  y 0

có hai nghiệm phân biệt x  1 m 3 Gọi A(x ;y )1 1 , B(x ;y )2 2 là các điểm cực trị của hàm số Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

x

x2

x1

2x1 y1 2x2  y2  0 (4x1 2m)(4x2 2m)0 

 2 2 6m  2 2 6 (thỏa mãn điều kiện m 3)

Vậy với  2 2 6 m  2 2 6 là giá trị cần tìm

x m có cực đại và cực tiểu nằm

về cùng phía của trục Ox

Bài 3 Tìm m để hàm số f(x)2x3 3(m 1) x2 6m(1 2m)x có cực đại vàcực tiểu nằm trên đường thẳng : y4x

1.2 Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm

để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) x3  3x 2  9x 7  trênđoạn  2;3

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( )  25  x2 trên đoạn

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )  x 1  x 3

Một số học sinh giải như sau: [6]

Điều kiện xác định của hàm số: 1

33

0

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )  2x 1  x 4[6]

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( )  x 1

3

Phân tích sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với

bài toán tìm cực đại, cực tiểu, của hàm số học sinh quên tính f( 2); (2)  f để sosánh

-∞

+ 

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) cos 1

Một số học sinh giải như sau: [5]

Đặt t cosx; hàm số viết lại ( ) 1

Phân tích sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho

rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g(t),   t nên sau khi đổi biến đã không tìm tập xác định của

2 3 5 '( ) 0 [ 1;1]; (1) 0 ; ( 1) 2

(2 3) ( ) 0; ( ) 2

* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinhthường mắc sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Phân tích sai lầm: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây rất khó phát

hiện Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;

ë , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy

ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;

Bài 2 Chứng minh bất đẳng thức 2sin tan 3 0;

1.4 Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm

để viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 10 Cho hàm số y f x( ) x33x2 có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếptuyến của ( )C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A( 1; 4) [4]

Một số học sinh trình bày như sau:

Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là

tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

tất nhiên là kẻ từ A Nhưng ngoài ra vẫn có

tiếp tuyến của đồ thị ( )C đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm

ê =- ë

= 1

-5

2

x y

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y =4; y =- 9x - 5.

III Kết quả nghiên cứu

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy chất lượng học tập của học sinh khi học chương 1 giải tích 12, tốt hơn nhiều, các em

đã nắm được bản chất của các định nghĩa, định lí và vận dụng đúng, làm bài toán nhanh hơn và đạt kết quả cao hơn Cụ thể qua kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán chuong 1, giải tích12 ở 2 lớp 12A2 và 12A3 như sau:

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:

L p 12 A2 (s s 40)ớp 12 A2 (sĩ số 40) ĩ số 40) ố 40)

L p 12 A3 (s s 42)ớp 12 A2 (sĩ số 40) ĩ số 40) ố 40)

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học toán chương 1 giải tích 12 của học sinh và đem lại hiệu quả cao Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy

18

trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.

PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I – Kết luận

Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinhnhư một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và cácbài toán ứng dụng liên quan đến đạo hàm, giúp các em học sinh sẽ có cái nhìnsâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, quanhững sai lầm ấy mà các em có thể rút ra cho mình những kinh nghiệm vàphương pháp giải toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và củachương 1 ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụrất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán như giải phương trình, bất phươngtrình, tìm điều kiện của tham số để bất phương trình, hệ bất phương trình cónghiệm, nghiệm đúng hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạohàm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn, đơn giản hơn

Đối với học sinh THPT thì những kiến thức về đạo hàm là tương đối khó,nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quenvới việc vận dụng công thức một cách máy móc hơn là hiểu rõ bản chất của cáckhái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học

Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót

Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Lưu Đình Chất, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô

II Kiến nghị

Những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực là tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo và các em học sinh trong việc dạy và học, sẽ được hội