Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong đề thi thử THPTQG môn toán

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.. Hàm số đ

ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ

THQG

Mục lục

1 Mức độ nhận biết 3

2 Mức độ thông hiểu 66

3 Mức độ vận dụng thấp 174

4 Mức độ vận dụng cao 250

5 Các bài toán vận dụng thực tế 292

NỘI DUNG CÂU HỎI

Đáp án “Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 thì f00(x0) < 0” sai vì ít nhất ta cần có f0(x) = 0 hoặc

f0(x0) không xác địnhchứ không phải f00(x) < 0

Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [−2; 2] và có đồ thị là

đường cong trong hình vẽ bên Hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm

A x = 1 B x = −2 C x = 2 D x = −1

x y

O

2 4

Lời giải

Căn cứ vào đồ thị, ta có

f0(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (−1, 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1

f0(x) > 0, ∀x ∈ (0; 1) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (1; 2) suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1

−∞

Vậy hàm số nghịch biến trên R nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

A Đồng biến trên (−2; 3) B Nghịch biến trên (−2; 3)

C Nghịch biến trên (−∞; −2) D Đồng biến trên (−2; +∞)

97 12

−514

−514

O

C

x y

O

x y

O

Lời giải

Vì lim

x→+∞y = −∞ nên chọn hình đồ thị có nhánh bên phải hướng xuống

Chọn đồ thị đi qua điểm (0; 2)

Chọn đáp án C Câu 9 Cho hàm số f (x) =√

x − x2 xác định trên tậpD = [0; 1] Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất trên D

B Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên D

C Hàm số f (x) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên D

D Hàm số f (x) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D

Lời giải

Đồ thị hàm số nhận đường x = −1 là tiệm cận đứng nên ta loại ngay đáp án A và B vì đồ thị củahai hàm số này đều nhận đường x = 1 là tiệm cận đứng

Đồ thị hàm số nhận đường y = 2 là tiệm cận ngang.

x + 1 thỏa mãn bài toán.

O

2 4

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho có hai điểm cực trị B Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

C Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu D Hàm số đã cho không có giá trị cực đại

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Câu 18 Cho hàm số y = (x − 2) (x2− 5x + 6) có đồ thị (C) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A (C) không cắt trục hoành B (C) cắt trục hoành tại 3 điểm

C (C) cắt trục hoành tại 1 điểm D (C) cắt trục hoành tại 2 điểm

Lời giải

Ta có (x − 2) (x2− 5x + 6) = 0 ⇔

"

x = 2

x = 3 Suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 Vậy hàm số cần tìm là

C

x y

Nếu ad − bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Chọn đáp án D Câu 29 Cho hàm số y = x3 − 3x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1)

Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta xét các khẳng định sau:

1) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0) là giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn[a; b]

2) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0) là giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn[a; b]

3) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 và đạt cực tiểu tại điểm x1 (x0, x1 ∈ (a; b)) thì ta luôn

Câu 33 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 3

Câu 34 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây

Lời giải

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −1 ⇒ loại đáp án C

Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; −1) ⇒ loại đáp án B và D

Câu 35 Cho hàm số y = x + 1

2 − x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

B Hàm số đã cho đồng biến trên R

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 2) ∪ (2; +∞)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Câu 36 Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạnî−√3;√

5ó và có bảng biến thiên như hình vẽ.x

y0y

2√5

Khẳng định nào sau đây là đúng?

y0y

Từ bảng biến thiên suy ra yCĐ= 5; yCT = 4

Trắc nghiệm: Bài toán hỏi cực trị hàm số nên loại A, C Mặt khác yCĐ > yCT

= −2 ⇒ y = −2 là đường tiệm cận ngang của

hàm số

Câu 39

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số

được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây

4

x + 1 = +∞ nên đồ thị hàm số y =

4x + 4

x2+ 2x + 1 có

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng −1.

C Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng 0

D Đồ thị hàm số y = f (x) không có đường tiệm cận

Câu 43 Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 3)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−1; 1)

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và khoảng (1; +∞)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; 1)

Lời giải

Đồ thị hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba có a > 0 do lim

x→+∞y = +∞ ⇒ Loại đáp án A Đồ thịhàm số đi qua điểm (2; 1) ⇒ loại các đáp án B và D

Câu 45

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số bằng

x

y0y

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên Hàm số đã cho nghịch biến

trên khoảng nào dưới đây?

A (0; 1) B (−1; 0) C (−2; −1) D (−1; 1)

x y

O 1

−1 1 2

Câu 48 Đường cong trong hình bên

là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Câu 49 Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên

Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x y

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞)

B Hàm số luôn luôn đồng biến trên R \ {−1}

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞)

D Hàm số luôn luôn nghịch biến trên R \ {−1}

Câu 51 Cho hàm số y = x4 − x2 + 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

B Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Chọn đáp án A Câu 52 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x − 1

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (−3; 2)

B Giá trị cực đại của hàm số bằng 0

C Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (−3; 2) bằng 0

D Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −2

Đồ thị đi qua điểm (0; −1) nên phương án D bị loại và đồ thị đi qua điểm (2; 1) nên B loại.

Đồ thị có hai điểm cực trị nên phương án C bị loại (có y0 = x2+ 3 > 0)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3), thay vào phương án A thấy thỏa mãn

Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho

A yCĐ= −2 và yCT = 2 B yCĐ = 3 và yCT = 0

Chọn đáp án D Câu 65 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảngnào sau đây?

O

y3

Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến

Xét từ trái qua phải trên khoảng (a; b) nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến trên(a; b), nếu đồthị đi lên thì hàm số đồng biến trên(a; b)

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy: Xét từ trái qua phải thì đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (−1; 1)

Nên hàm số đồng biến trên (−1; 1) suy ra hàm số đồng biến trên (0; 1)

ãnhận đường thẳng y = a

c làm tiệm cậnngang và đường thẳng x = −d

Dựa vào cách đọc Bảng biến thiên để xác định hàm số.

Tìm ra các điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ vào các hàm số ở đáp án để loại trừ

Cách giải:

Từ bảng biến thiên, ta có lim

x→+∞f (x) = −∞; lim

x→+∞f (x) = +∞ nên loại y = −x3 + 6x2 − 9x+vày = x4+ x2− 3

Ta thấy điểm (3; −1) thuộc đồ thị hàm số f (x) nên thay x = 3; y = −1 vào hai hàm số ở phương án

y = x3− 5x2+ x + 6 và phương án y = x3− 6x2+ 9x − 1 ta thấy chỉ có hàm số y = x3− 6x2+ 9x − 1thỏa mãn nên hàm số cần tìm là y = x3− 6x2+ 9x − 1

O12345

1

−1

A Hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu là x = 2 B Hàm số y = f (x) có giá trị cực đại là −1.

C Hàm số y = f (x) có điểm cực đại là x = 4 D Hàm số y = f (x) có giá trị cực tiểu là 0

Lời giải

Phương pháp:

Dựa vào cách đọc đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị

Ở đây cần lưu ý giá trị cực trị của hàm số là trung độ điểm cực trị của đồ thị hàm số, điểm cực trịcủa hàm số là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số

x + 3 Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số không có cực trị B Giá trị cực đại dương

C Điểm cực tiểu âm D Giá trị cực tiểu dương

• Điểm cực đại nằm phía trên trục hoành ⇒ Giá trị cực đại dương ⇒ B đúng

• Điểm cực tiểu nằm phía bên phải trục tung ⇒ Điểm cực tiểu dương ⇒ C sai

• Điểm cực tiểu nằm phía dưới trục hoành ⇒ Giá trị cực tiểu âm ⇒ D sai

Câu 75 Cho hàm số y = f (x) có bẳng biến thiên như sau:

x

y0y

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞)

Câu 76 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 5

x − 1 là đường thẳng có phương trình nào dướiđây?

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 6

Câu 78 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

x

y0y

5 2

Phương trình có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = x3− 3x + 3 cắt đường thẳng y = x tại

ba điểm phân biệt

Hàm số đã cho là hàm nhất biến nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1, đường tiệmcận ngang là y = 2.

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R Hàm số y = f0(x) có đồ thị như

hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

O

123

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

dưới đây Khẳng định nào sau đây là

Câu 87 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R Bảng

biến thiên của hàm số y = f0(x) được cho như hình vẽ

Hàm số y = f



1 − x2

+ x nghịch bến trên khoảngnào?

+ x thì g0(x) = −1

2f

01 − x

2

+ 1

Câu 91 Hàm số y = x4− x nghịch biến trên khoảng nào?

O

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số, số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

Câu 95 Hàm số y = −x3− 3x2+ 9x + 20 đồng biến trên khoảng

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như

hình bên Phát biểu nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình

bên Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số đã cho là

x

y0y

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

như hình bên Hàm số đã cho nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

A (−∞; −1) B (−1; 1)

C (1; +∞) D (0; 1)

x

y0y

Chọn đáp án C Câu 104.

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

e

ãx

Lời giải

Ta có: 0 < 2

e < 1 ⇒ hàm số y =

Å 2e

ãxnghịch biến trên tập số thực R

x→±∞y = m ⇒ đường thẳng y = m là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hơn nữa lim

x→(2m) +y = +∞ ⇒ đường thẳng x = 2m là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là (2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y

Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta có hàm số có 3 cực trị, trong đó có 2 cực tiểu và một cực đại

Câu 112

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình

vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Chọn đáp án A Câu 116.

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

−1 3

x − 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞)

Câu 119.

Cho hàm số y = f (x) Biết rằng f (x) có đạo hàm là f0(x) và hàm số

y = f0(x) có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)

B Hàm y = f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞)

C Trên (−1; 1) hàm y = f (x) luôn tăng

y

O 4

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 1 B Hàm số có đúng hai cực trị

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 D Hàm số không xác định tại x = 1

A f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) B f (x) đồng biến trên khoảng (0; 6).

C f (x) nghịch biến trên khoảng (3; +∞) D f (x) đồng biến trên khoảng (−1; 3)

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = f (x) đồng biến trên (−1; 3); hàm số y = f (x) nghịch biến trên(−∞; −1), (3; +∞)

Câu 123 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây

Đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y = 2019 tại bao nhiêu điểm?

Hàm bậc ba chỉ có tối đa 2 điểm cực trị ⇒ do đó loại hàm số y = x3− 6x2+ 9x − 5

Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c có 3 điểm cực trị ⇔ a·b < 0 do đó chọn đáp án y = 2x4−4x2+3

Từ hình vẽ ta thấy hệ số a > 0 nên loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −3) chỉ có đáp án D thỏa

Câu 132

Hỏi hàm số nào có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ sau?

Đây là đồ thị hàm số trùng phương nên loại A và B

Đồ thị cắt trục tung tại tung độ 4 nên chọn C

Câu 133 Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau

x

y0y

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) ∪ (1; +∞) và nghịch biến trên (−1; 0) ∪ (0; 1)

B Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (11; +∞) và nghịch biến trên (−1; 11)

C Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−1; 1)

D Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên hai khoảng(−1; 0) ; (0; 1)

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biếntrên hai khoảng (−1; 0) ; (0; 1)

Câu 134 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)

B Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b)

C Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b)

D Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b)

Ta có lim

x→±∞y = 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 Mặt khác lim

x→1 +y = +∞, lim

x→1 −y = −∞nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1

Câu 136 Cho hàm số y = 3x − 1

x + 2 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên đoạn [0; 2] Khi đó 4M − 2m bằng

−13

−53

−53

Cho hàm số y = f (x), có đạo hàm là f0(x) liên tục trên R và hàm số

f0(x) có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực

Ta có bảng xét dấu

Câu 139 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dươngkhi qua x0

B Nếu f0(x) = 0 và f00(x) < 0 thì x0 là cực tiểu của hàm số y = f (x)

C Nếu f0(x) = 0 và f00(x) = 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số đã cho

D Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm

Lời giải

Theo định nghĩa ta có: Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ

âm sang dương khi qua x0

x

y0y

Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞)

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1)

D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞)

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có hệ số a > 0 và hàm số có ba điểm cực trị nên a · b < 0 nên chọn y = (x2− 2)2−1

Chọn đáp án C Câu 145.

Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y = ax − 1

bx + c có đồ thị hàm số nhưhình vẽ bên:

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình

bên Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Vì 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ R

Dấu đẳng thức xảy ra tại đếm được điểm nên hàm số luông đồng biến trên R

Chọn đáp án D Câu 149.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như

hình vẽ bên Hàm số y = f (x) đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

A (−∞; 0) B (0; 2)

C (−2; 0) D (2; +∞)

x

y0y

Dựa vào bảng xét dấu y0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 suy ra yCT = −8

Vậy tọa độ điểm cực tiểu là (−1; −8)