Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải bài tập chương iứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trong chương này chủ yếu ta dùng giới hạn và đạo hàm để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, các đường tiệm cận, giá trị lớn nhất, giá trị nh

Trang 1

1 Mở đầu.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một chương quan trọng trong chương trình giải tích 12 Nó chiếm 23 tiết theo phân phối chương trình, gần một phần ba thời lượng môn giải tích lớp 12 Bài tập chương này được sử dụng rất nhiều trong các kỳ thi THPT Quốc Gia

Trong chương này chủ yếu ta dùng giới hạn và đạo hàm để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, các đường tiệm cận, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị hàm số

Học sinh cần có kỹ năng thành thạo khi xét các tính chất của hàm số cho trước cũng như khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm đơn giản

Tuy nhiên qua thực tế dạy học, đây là một chương với khá nhiều kiến thức mà nếu học sinh không được rèn luyện tốt thì rất dễ mắc phải những sai lầm cơ bản Với lý do mong muốn có một tài liệu với một hệ thống bài tập nhằm rèn luyện cho các em những kỹ năng làm bài và tránh những sai lầm cơ bản không đáng

có tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:

“ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải bài tập chươngI “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”.”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài “ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải

bài tập chươngI “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” với mục

đích giúp học sinh lớp 12 được rèn luyện một cách thành thạo những kỹ năng xét các tính chất của một hàm số cho trước cũng như khảo sát và vẽ đồ thị một

số hàm số đơn giản

Qua đó cũng rèn luyện cho các em những kỹ năng tư duy khoa học, chặt chẽ và lôgic khi giải quyết một bài toán nói riêng cũng như khi giải quyết một vấn đề nói chung trong cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài “ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải

bài tập chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chủ yếu

nghiên cứu về những vấn đề mà học sinh dễ mắc sai lầm trong thực tế giảng

Trang 2

dạy Đó là những khái niệm, định lý, tính chất, những bài tập mà học sinh hay sai Nghiên cứu nguyên nhân và chỉ ra nguyên nhân sai lầm từ đó tổng kết và rút

ra kinh nghiệm để tránh những sai lầm gặp phải

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Nghiên cứu lý luận

+ Điều tra thực tế, thu thập thông tin

+ Thực nghiệm sư phạm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm

vi nghiên cứu của đề tài)

* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:

Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trong khoảng I.

a Nếu f ' x   0 với   x I thì hàm số f đồng biến trên I.

b Nếu f ' x   0với   x I thì hàm số f nghịch biến trên I.

c Nếu f '(x) = 0 với   x I thì hàm số f không đổi trên I.

Nhận xét: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f x'    0 x I ( hoặc

 

f x   x I ) và f x '  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng

biến ( hoặc nghịch biến) trên I

* Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng ( ; )a x0 và ( ; )b x0 Khi đó

a Nếu f ' x   0trên khoảng (a; x ) 0 và f ' x   0 trên khoảng (x ;b) 0 thì hàm số f

đạt cực tiểu tại điểm x0

Trang 3

b Nếu f ' x   0trên khoảng (a; x ) 0 và f ' x   0 trên khoảng (x ;b) 0 thì hàm số f

đạt cực đại tại điểm x0

Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b)

chứa điểm x0, f x ' 0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a Nếu f ''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

b Nếu f ''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

* Về tiệm cận của đồ thị hàm số.

Định nghĩa 1 Đường thẳng yy0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

yf x nếu lim   0

   hoặc lim   0

Định nghĩa 2 Đường thẳng x x 0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

yf x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

x x f x x x f x x x f x x x f x

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bản thân tôi năm học 2018-2019 đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở hai lớp khối 12 Lớp 12A3 có chất lượng học tập ở mức độ khá, lớp 12A7 có chất lượng trung bình Ý thức được những sai lầm học sinh thường mắc phải ở chương học này Ngay khi học song chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thông qua bài kiểm tra hết chương ở cả hai lớp tôi đã thống kê những bài mà học sinh đã giải sai và nhận thấy rằng có rất nhiều bài các em giải sai không phải là bài khó, đó chỉ là bài ở mức độ cơ bản nhưng do nắm không kỹ lý thuyết cũng như chưa được rèn luyện tốt kỹ năng Hơn nữa đây cũng là những dạng bài có chứa đựng những nội dung học sinh dễ mắc sai lầm

Với thực trạng đó tôi tiếp tục cho học sinh làm bài khảo sát với hệ thống bài tập

có chứa đựng những nội dung dễ sai và thu được kết quả khảo sát như sau:

Lớp Sĩ

số

Điểm từ 8.0-10.0

Điểm từ 6.5-8.0

Điểm từ 5.0-6.5

Điểm dưới 5.0

Trang 4

3

12A

7

Với kết quả này tôi thấy với lớp có lực học khá, tỷ lệ đạt điểm khá giỏi là 64,4% vẫn còn tới 35.6% đạt điểm trung bình và dưới trung bình Đặc biệt ở lớp có học lực trung bình, tỷ lệ đạt điểm khá giỏi chỉ chiếm 30.4%, có tới 68.2% học sinh đạt điểm trung bình và dưới trung bình Đây là một tỷ lệ chưa cao, chưa đúng với thực lực học sinh

Với thực trạng trên cần một giải pháp để giúp các em tránh được những sai lầm

cơ bản Làm sao để kết quả làm bài phản ánh đúng năng lực các em

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề.

Xây dựng hệ thống bài tập có chứa đựng nội dung học sinh dễ mắc sai lầm, chỉ

ra sai lầm học sinh dễ mắc phải từ đó giúp học sinh tránh được sai lầm khi giải toán.

2.3.1 Chủ đề tính đơn điệu của hàm số.

VD1 Xét tính đơn điệu của hàm số 2x 1

3

y x







A Hàm số nghịch biến trên khoảng (    , 3) ( 3;    )

B Hàm số đồng biến trên khoảng (    ; 3) ( 3;    )

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) ( ;1 1 )

2 2

   

D Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (    ; 3) và (3;  )

Lời giải sai:

Tính đạo hàm 2

7

( 3)

x



Chọn đáp án: B

Phân tích sai lầm:

Trang 5

Lấy phản ví dụ: Chọn x1  4;x2   2 f x( ) 9; ( ) 1  f x2  5 ; x1 x2 nhưng

( ) ( )

f x  f x nên không thỏa mãn hàm đồng biến trên khoảng đó

Lời giải đúng:

Chọn đáp án: D và chỉ ra đáp án D không mắc sai lầm như B.

VD2 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

2x 4

x m



A m 2 B m 2 C m 2 D m 2

2

4 2

(2x 4)

m

+ Theo Định lý: y ' 0 tại hữu hạn điểm trên miền D Nhưng thử lại khi

2 ' 0

m  y   x D Vậy m 2 không thỏa mãn

2

4 2

(2x 4)

m



+ Thử lại khi m  2 y' 0   x D Vậy m 2 không thỏa mãn

+ Chọn: C.

VD3 Tìm m để hàm số y mx 9

x m





 luôn đồng biến trên (   ; 2)

A   3 m 3 B    3 m 3 C 2 m 3 D 2  m 3

+ TXĐ: D   ( ; ) ( ;m  m  ) ;

2

2 2

9

m

x m



+ Thử lại: m  3 y' 0  x nên không thỏa mãn Chọn: A

Trang 6

Tới đây học sinh đã tránh được sai lầm như VD2 nhưng lại không biết kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định trên miền (   ; 2)

+ TXĐ: D   ( ; ) ( ;m  m  ) ; 2 2

2

9

m

x m



+ Thử lại: m  3 y' 0  x nên không thỏa mãn nên   3 m 3

+ Hàm số xác định trên (   ; 2)  m 2 Vậy: 2  m 3 nên chọn: D.

VD4 Tìm m để hàm số y x m(s inx cos x)  đồng biến trên R

A Không tồn tại m B m 1 C m 1 D 1 1

+ TXĐ: D R

+ ' 1 (cos x sin ) 0 (cos x sinx) 1 1

cos x sin

x



+ Học sinh không xét dấu biểu thức cos x sin x trước khi chia để cô lập m

Cách 1: Xét dấu biểu thức cos x sin x và cô lập m để lập bảng biến thiên giải tiếp Tuy nhiên cách này dài không phù hợp thi trắc nghiệm

Cách 2:

+ TXĐ: D R

+ y' 1  m(cos x sin ) 0  x   x R m(cos x sinx)    1 minm(cos x sin  x  1

1

2

VD5 Tìm m để đạo hàm bậc nhất của hàm số 3 2

yx   mx nhận giá trị

âm với  x (0;  )

A m 2 B m 2 C m 0 D m 0

Trang 7

+ y'  3x2 6x 3  m   0 x (0;   ) m x 2 2x  x 0; 

Đặt: f x( ) x2 2x  f x'  2x 2 0    x 1

Bảng BT

x 0 

 

'

 

f x

0

Từ bảng biến thiên suy ra: m 0 chọn: C.

Đây là một dạng toán mà học sinh rất dễ sai khi không có kỹ năng kiểm tra dấu bằng Học sinh hay suy ngay từ m x 2  2x  x 0;  không có dấu bằng nên ra

0

m  cũng không có dấu bằng Tuy nhiên khi m 0 bài toán vẫn đúng, lý do là hàm số không đạt GTNN trên khoảng xét

+ y'  3x 2  6x 3  m   0 x (0;   ) m x 2  2x  x 0; 

Đặt: f x( ) x2  2x  f x'  2x 2 0    x 1

Bảng BT

x 0 

 

'

 

f x

0

Từ bảng biến thiên suy ra: m 0 chọn: D.

2.3.2 Chủ đề cực trị hàm số.

VD1 Tìm cực trị của hàm số  2

2

A 2;0 B 1; 2 C 0; 2 D ( 1;1) 

Trang 8

+

2

x



+ Với x 2 thì y' không xác định nên y ' 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị

+ Sai lầm do học sinh nắm không chắc kiến thức với suy luận phương trình ' 0

y  vô nghiệm thì hàm số không có cực trị

+ Do TXĐ: D R nên khi x 2 thì y' không xác định nhưng x  2 D và y' đổi dấu khi qua điểm x 2 nên x 2 vẫn là cực trị hàm số

+ TXĐ: D R

+

2

x



+ Với x  2 D và y' không xác định

+ Xét dấu y' suy ra cực trị là 2;0 Chọn: A.

VD2 Cho hàm số yf x  có TXĐ: D Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f x '( ) 0 0

B Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số nói chung không phải là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

C Hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm khác nhau

D Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến hoặc không đổi trên D thì nó không

có cực trị trên D

Dạng này học sinh không chắc chắn câu nào là sai nên khoanh bừa

Trang 9

Học sinh không nắm chắc kiến thức về cực trị Tại cực trị hàm số có thể có đạo hàm hoặc không có đạo hàm Nếu có đạo hàm thì đạo hàm tại đó bằng không Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số

có đạo hàm hay không có đạo hàm

Do đề chưa cho hàm số có đạo hàm tại x0 nên chọn đáp án là: A.

VD3 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên D và đồ thị (C) Chọn khẳng định Sai

trong khẳng định sau

A Giá trị cực đại của hàm số luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của hàm số

B Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f x ' 0 0

C Tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị song song hoặc trùng với trục ox

D Tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị có hệ số góc k=0

Do đề cho hàm số có đạo hàm tại x0 nên các khẳng định B; C và D là các khẳng

định đúng Chọn A.

VD4 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng a;b chứa điểm x0 và

 0

A Nếu f '' x 0 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0

B Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

C Nếu f '' x 0 thì hàm số đạt cực trị tại x

Trang 10

D Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Học sinh không nắm chắc định lý 2(quy tắc 2) về cực trị Quy tắc 2 chỉ áp dụng

khi thỏa mãn  

 

0 0

f x









 và các trường hợp khác không áp dụng được Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho có thỏa mãn điều kiện hay không thì mới được áp dụng

Do đề cho hàm số có đạo hàm tại f x ''( ) 0 0 nên không thể áp dụng quy tắc 2 khẳng định hàm số không có cực trị tại x0 Chọn: A.

VD5 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A Khi đi qua x0 đạo hàm của hàm số f x  đổi dấu thì x0 là điểm cực trị của hàm số

B Nếu hàm số f x  có đạo hàm số có đạo hàm tại x0 và f x ' 0 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số

C Nếu hàm số f x  có đạo hàm đạt cực trị tại x0 thì f x ' 0 0

D Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f x ' 0 0

Trang 11

Do đề cho hàm số có đạo hàm tại x0 nên chọn đáp án là: C.

VD6 Với giá trị nào của m thì hàm số sau không có cực trị?

y x  m x  m x

3 m 3

   C 1 1

3 m 3

   D 1 1

+ y' 3x  2  6(2m 1)x 12m 5; Hàm số không có cực trị khi phương trình vô nghiệm nên ' (2 1) 9 3(122 5) 0 18 2 6 0 1 1

             Chọn A Phân tích sai lầm:

Do hiểu hàm số không có cực trị khi phương trình y’=0 vô nghiệm nên mắc phải sai lầm ở điều kiện   0

' 3x 6(2 1) 12 5

y   m x m ; Hàm số không có cực trị khi phương trình có

' (2 1) 9 3(12 5) 0 18 6 0

             Chọn D.

VD7 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

1

3

y x   m x  m  x đạt cực tiểu tại x 2

A.m m13

 B.m 3 C.m 1 D m m31

y x  m  m x m  ; Hàm số đạt cực trị tại x 2 nên

1 '( 2) 0

3

m y

m





    

 Chọn: A.

Học sinh bỏ sót việc kiểm tra x 2 có phải là điểm cực tiểu hay không

Trang 12

Ta có: y' x2  2(m2  m 2)x 3m2  1; Hàm số đạt cực trị tại x 2 nên

1 '( 2) 0

3

m y

m





    

Thử lại: Khi m 1 không thỏa mãn và m 3 thỏa mãn, nên chọn: B.

VD8 Tìm m để hàm số 4

x 2

y m  nhận x 0 làm điểm cực đại

A Không tồn tại m B m 0 C m 0 D m 0

' 4 x ; '' 12 x

y  m y  m ; Hàm số nhận x 0 làm điểm cực đại khi

 

0 0 '' 0 0

y

m y







Cách giải này học sinh mắc sai lầm ở chỗ bỏ sót trường hợp  

 

' 0 0 '' 0 0

y y









vẫn có thể nhận x 0 làm điểm cực trị Quy tắc 2 không dùng được cho bài toán này

Ta có y' 4 x  m 3  y' 0   0 luôn đúng với mọi m

Để hàm số nhận x 0 0 làm cực đại thì y' phải đổi dấu từ dương sang âm qua x0 nên m 0 Chọn: C.

2.3.3 Chủ đề tiệm cận.

VD1 Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2x

2

x y x





A 1 B 2 C.0 D 3

Ta có: xlim y1 suy ra hàm số có một tiệm cận ngang

  2

lim

x y



 nên hàm số có một tiệm cận đứng

Trang 13

Chọn: B.

Do sai trong phép tính giới hạn xlim  y1 nên bỏ sót một tiệm cận

Ta có: xlim y1; limx  y1 suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang

  2

lim





 nên hàm số có một tiệm cận đứng

Chọn: D.

VD2 Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 3x 22

4

x y

x

 



A 1 B 2 C 3 D.4

Ta có: 4  x2   0 x 2 nên hàm số có 2 tiệm cận đứng

Mặt khác: xlim y1 nên hàm số có 1 tiệm cận ngang

Chọn: C.

Do thói quen tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức hữu tỷ là giải mẫu số bằng không và không thử lại nên mắc sai lầm

Ta có: 4  x2   0 x 2

Thử lại: xlim 2y

  thì chỉ x 2 thỏa mãn là tiệm cận

Mặt khác: xlim y 1

   nên hàm số có 1 tiệm cận ngang

Chọn: B.

VD3 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2

1 2x

x y





  không có tiệm cận đứng?

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	654,5 KB