gởi bạn Nguyễn Khánh Ninh

Gởi Nguyễn Khánh NinhCho tam giác ABC nhọn AB < AC đường tròn O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, D.. Các tiếp tuyến tại B, tại D của đường tròn O cắt nhau tại K.. Vẽ tiếp tuyến A

Gởi Nguyễn Khánh Ninh

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) đường tròn (O) đường kính BC cắt

AB, AC lần lượt tại E, D BD cắt CE tại H Các tiếp tuyến tại B, tại D của đường tròn (O) cắt nhau tại K AK cắt BC tại M MH cắt BK tại N Vẽ tiếp tuyến AS đến đường tròn (O) (S thuộc cung nhỏ CD) DK cắt AH tại I Chứng minh rằng:

a) N, E, I thẳng hàng

b) M, E, D thẳng hàng

c) M, H , S thẳng hàng

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Từ ID là tiếp tuyến của đường tròn (O), chứng minh được I là trung điểm của AH và IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Gọi T (T khác A) là giao điểm của đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ABC và AK Vẽ đường kính AF của (O’) Chứng minh được tứ giác BHCF là hình bình hành Do đó H,O,F thẳng hàng (1)

Góc MIB = góc ACB (tứ giác BTAC nội tiếp), góc KDB = góc ACB (=1/2 sđ cung BD)

Nên góc MTB = góc KDB Do đó tứ giác TKDB nội tiếp

Mà góc KBO = góc KDO = 900 Nên tứ giác OBKD nội tiếp

Ta có: B, T, K, D, O cùng thuộc một đường tròn

 Góc OTK = góc OBK = 900 Mà góc FTA = 900 Do vậy F,O,T thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) có: T, H , O ,F thẳng hàng.

Tam giác MAO có AH, OT là 2 đường cao nên MH OA (tại L)

Do đó L thuộc đường tròn (AETHD) (góc ATH = góc AEH = góc ALH

= góc ADH = 900) => góc ALE = góc ADE Mà góc ADE = góc EBO Nên góc ALE = góc EBO

 Tứ giác BELO nội tiếp

Mặt khác góc NBO = góc NLO = 900 nên tứ giác BNLO nội tiếp

Ta có: B, N, E, L, O cùng thuộc 1 đường tròn => góc NEO = góc NLO

= 900

Góc NEO + góc OEI = 900 + 900 = 1800

Vậy: N, E, I thẳng hàng

b) Ta có góc MTE = góc ADI (tứ giác TADE nội tiếp), góc ADE = góc ABC

Do đó góc ABC = góc MTE => tứ giác MTEB nội tiếp

 Góc MEB góc MTB Mà góc BED = góc BTA (cùng bù với góc ACB)

Do vậy góc MEB + góc BED = góc MTB + góc BTA = 1800

Vậy M, E, D thẳng hàng

c) OE  IE Nên OE là tiếp tuyến của đường tròn (AETHDL) tâm I => góc OEL = góc OAE

Xét OEL và OAE có góc EOL chung, góc OEL = góc OAE

Do đó OEL đồng dạng OAE (g.g) => OE OA OE OL => OA.OL = OE2 Nên OA.OL = OS2

Xét OLS và OSA có góc LOS chung, OS OL OA OS

Do đó OLS đồng dạng OSA (c.g.c)

 Góc OLS = góc OSA Mà góc OSA = 900 Nên góc OLS = 900

Ta có: góc MLO + góc OLS = 900+ 900 = 1800

 M, L, S thẳng hàng

Mà H, M, L, N thẳng hàng

Nên M, N, H, L, S thẳng hàng

Vậy M, H, S thẳng hàng

Người gởi: Nguyễn Đức Tấn, mong muốn liên lạc với bạn qua điện thoại.