Gioi han hay

Tiết1, 2, 3,4,5,6 tuần 1,2

Ngày soạn: 05/02/012 GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

I Mục tiêu:

- Biết tìm giới hạn của các dãy số, của các hàm số dựa vào định nghĩa, vào các giới

hạn đặc biệt, dựa vào các định lí

- Giải một số dạng bài tập nâng cao

Kết hợp sử dụng đ/n

Kết hợp sử dụng đ/n

Thêm bớt chia thành 2 bài

Giải tìm kết quả từng bài

I/ PHẦN GIỚI HẠN Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

lim 2 lim 2 lim

 + ÷= +

Mặt khác: lim2 = 2 và vì ( )1 1 1

n

−

Nhưng : lim1 0

n= nên ( )1

2

n n

−

= +

Vậy: ( )1

2

n n

 − 

 + ÷= + =

 + ÷

b) lim sin3 1 limsin3 lim1

Nhưng: sin3 sin3 1 1

n n

n ≤ n ≤ n n≤ và

1 lim 0

n= nên

sin3

4

n

n = ngoài ra

lim1 = 1 Vậy lim sin3 1 1

4

n n

 − = −

Bài 2: Lớp 11C1 và 11C7 xem thêm các bài 4.7, 4.8 , 4.9, 4.10, 4.11 STK trang

138, 139

Bài 3: Tìm giới hạn: lim( n2 + −1 3n3+1)

Giải: lim( n2 + −1 3 n3+ =1) lim( n2+ − + −1 n) (n 3 n3+1)

lim n 1 n lim n n 1

Với

B

( )2 3

1

−

Vậy: lim( n2+ −1 3 n3+ =1) 0 Bài 4: Tìm các giới hạn của dãy số U , với: n

Dạng 0

0 cần nhân lượng

liên hợp

Dang khi tìm chỉ cần thay

các giá trị vào

a) U n =3n2−7n+5 b) U n = −2n3+6n2 −4 Giải:

3

6 4 lim( U n) lim 2n 6n 4 limn 2

n n

Vì lim n3 = +∞ và 3 ( )

6 4 lim 2 2 0 lim U n

n n

 − + = > ⇒ − = +∞

Vậy lim( )U n = −∞

Bài 5: lim 3 3 0

6 3

1

6 3

− + −

Bài 6: Tìm 2

1

2x 1 lim

12x 11

x

x x

→

− + dạng

0

0 Nhân tử mẫu cho x+ 2x 1− là được:

2 2

Bài 7: a) Tìm lim 3x( 2 +7x+11) =3.22 + 7.2 11 37+ =

b)

3 4 1

1 1

(2 1)(1 3) (2x 1)( 3)

x

x x x

→

− −

c) lim 10 1 lim0 1 lim(0 1) 0 1 1

x

 − =  −  = − = − = −

3

lim 4 ( 3) 4 3 4 1 1

x x

→ − = − = − = − =

2

3x 1 2 3.2 1 21

7

x

x

→

Bài 8: Tìm các giới hạn a)

2 2

2

2 5

1 1 0

x

x

+

+

b)

2

3

x

−

Có lim (2( 3) 1) 7

x − x

→ − − = −

2 2

( 3)

x

+ −

+

c)

1

0

+

→ + + = + + > >

Đưa về dạng a3 – b3

Thêm bớt một lượng đưa

về tính hiệu 2 giới hạn

Nhân một lượng liên hợp

d)

1

−

Bài 9 Tìm

2

1

lim 1

x

x

→

−

−

Giải:

3

1 ( ) ( )

 − 

1

lim

1

x

x

→

=

−

1

→

Bài 10 Tìm

3

1

3 2 lim

1

x

x

→

− −

−

Gi ải: : 3

1

3 2 lim

1

x

x

→

− −

−

3

1

1 1 3 2 lim

1

x

x

→

− + − −

=

−

( 1)( 1)

1

x

− + + −

−

( 3 2 1).( 3 2 1) ( 1) 3 2 1)

2

3 lim( 1) lim

3 2 1

x

− + =

3 3 3

2 2

− =

Bài 11 Tìm

2 3

9 lim

6 3

x

x x

→

− + −

Gi

9

3

6 3

x

x x

− + −

→

Bài 12 Tìm

a)

3

lim 3

x

x x

−

→

−

− Ta có

3 3

x x

x

−

−

→

→

− = − = >

Vậy

3

lim 3

x

x x

−

−

b)

2 3

lim

3

x

x

→

−

2

c)

2

4 2

2 4 lim

4 lim( 2 4) 4 0 ; lim(4 ) 0 à 4 0 4

−

→

−

− − = +∞

−

− − = > − = − > →

x

x

Dạng 0

0

Phân tích ra thừa số đơn

giản khử dạng vô định

Nhân lượng liên hợp để

khử dạng vô định

Trước tiên cho hs xét tính

liên tục tại 1 điểm sau đó

xét trên tập xác định R

Sử dụng ĐL1 để xét tính

liên tục trên khoảng sau đó

xét tính liên tục tại 1 điểm

xét liên tục bên trái bên

phải của điểm đó

2

4 21

4

−

e) lim9 32 lim9 3 lim9 3 lim9 1 1

−

f)

2

2 4

x x

+

−

g)

2

h)

2

1 1

( 1)( 1 1)

i)

2 2

II/ PHẦN HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1 Xét tính liên tục của các hàm số

a)

2

neáu x

 − −

≠



=  −



Trên tập xác định R

b)

2

neáu x

 − −

≠



=  −



Trên tập xác định R

c)

2

neáu x

≠



=  −



Trên tập xác định R

d)

( )

f x



=  + <

 Trên tập xác định của nó

Giải: TXĐ R

• Trên khoảng (−∞; 1), f(x) = 2x + 4 là hàm đa thức nên liên tục

• Trên khoảng (1; +∞), f x( )=x3+ +x 1là hàm đa thức nên liên tục

• Tại x0 =1

Ta có f(1) = 3

lim ( ) lim(2 4) 6 (1)

3

lim ( ) lim( 1) 3 (1)

→ = → + + = =

Vì lim ( )1

x f x

−

1

lim ( )

x f x

+

→ nên lim ( )1

x f x

→ không tồn tại Vậy f(x) không liên tục tại x0 =1

Tóm lại f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) nhưng gián đoạn tại điểm x0 =1

Bài 2 Cho hàm số

( )

0

f x

 + + <



=  Định a để f(x) ltục trên R

Sử dụng ĐL1 để xét tính

liên tục trên khoảng sau đó

xét tính liên tục tại 1 điểm

xét liên tục bên trái bên

phải của điểm đó

Từ đó suy ra giá trị a

Sử dụng ĐL3 về hàm số

liên tục để tìm nghiệm trên

khoảng

Sử dụng ĐL3 sau đó giải

tìm điều kiện nghiệm

Giải:

• Trên khoảng (−∞; 0), f(x) = x2 + 2x + 1 là hàm đa thức nên liên tục

• Trên khoảng (0 ; +∞), ( )f x = +x a là hàm đa thức nên liên tục

Do đó f(x) liên tục trên R Khi chỉ khi f(x) liên tục tại điểm x0 = 0

• Xét tại x0 = 0

Ta có: f(0) = 0 + a = a

2

lim ( ) lim( 2 1) 1

lim ( ) lim(0 0 )

x f x x x a a

f(x) liên tục tại x0 = 0 ⇔ lim ( )x→0− f x = xlim ( )→0+ f x = f(0)⇔ =a 1

Tóm lại a = 1 là giá trị cần tìm

Bài 3 CMR pt: 4x3−5x− =3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)

Giải: Xét f x( ) 4= x3−5x−3 liên tục trên R nên liên tục trên [0; 2]

Ta có f(0) = – 3 ; f(2) = 19 ⇒ f(0).f(2) = – 57 < 0 ⇒

0 (0;2) : ( ) 00

Vậy phương trình 4x3−5x− =3 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 2)

Bài 4 CMR pt: x4−x2− =4 0 có nghiệm x thỏa mãn 0 3

x >

Giải: Ta có f x( )=x4−x2−4 liên tục trên R nên nó liên tục trên [0; 2]

Mặt khác f(0).f(2) = – 32 < 0 Vậy pt có nghiệm x0∈(0;2)

Vì x là nghiệm của pt nên 0 4 2

x −x − = ⇔

4 2 2

x =x + > x = x

⇒ < < ⇒ > ⇒ >

II/Củng cố: Củng cố trong từng bài tập

III/ Rút kinh nghiệm:

Kí duyệt tuần 1,2 kì II