Giáo trình phương pháp tính

Về 'nội dung, chúng tôi giới hợn uàùo những bốn đề cơ bửn uờ thông dụng như : khái niệm sai số, cách tinh gần đúng nghiệm của một phương trình, của một hệ phương trình đợi số tuyến tính,

GD - 04

_ LÒI GIÓI THIỆU

Cuốn sách phương pháp tính xuất

bản lần đầu năm 1992 là giáo trình

chuyên đề -:30 tiết - về các phương

pháp tính gần đúng, dùng trong các

trường đại học kĩ thuật Trong lần tái

bản này cuốn sách được sửa chữa và

_ bổ sung thêm các sở đồ tóm tắt cho

các phương pháp, giúp sinh viên tổng

LOI NOI DAU ¬

-_ Giáo trình Phương phúp tính - 30 tiét - duge dua vio day

‘6 céc trường dại học kỉ thuật nhồm cung cốp cho sinh uiên những biến thúc mởi đồu co bản uề môn học phương pháp tính Nhung cho dén nay giáo trình nờy uẫn chưa có sách giúo khoa tương ứng, phù hợp uói yêu cầu, ndi dung va thời gian Sơu nhiều năm giảng dạy ở trường Đại học Bách khoa Hà Nội, chúng tôi mạnh dan viét cuén séch nhỏ này nhồm cung cốp tài liệu học tập cho | ‘sinh uiên uờ trao đổi kinh nghiệm uói cóc bạn đồng nghiệp Về 'nội dung, chúng tôi giới hợn uàùo những bốn đề cơ bửn uờ thông dụng như : khái niệm sai số, cách tinh gần đúng nghiệm của một phương trình, của một hệ phương trình đợi số tuyến tính, phép nội suy, phương phóp bình phương _ bê nhốt thành lập công thúc thục nghiệm, tính gần đúng đạo ham va tich phan xúc dinh, tinh gan dung nghiém cua bai toán Côsi đối uới phương trình vi phan thuong Day la mot tai liệu mỏ đều cho môn phương phóp tính, nên phương châm của : ching tôi là : nhẹ phần chúng mình, nặng phần gợi ý dẫn giải

ra phương phúp nêu rõ quy trình tính toán, có thí dụ mừnh

hoạ, có bài tập ôn luyện Học xong gióo trình này sinh tiên có thể sử dụng những phương pháp tỉnh đã trình bày để tính tay _ hay lập chương trình thục hiện trén may uì tính Chúng tôi cố gắng làm rõ những khói niệm cơ bản như cúc loại sơi số, cúc _công thúc tính, các thuột: tính cụ thể của mỗi phương pháp 0à

su hội tụ của một phương phóp gồn đúng nhung không di sâu

uờo phần lí thuyết tinh vi m& chủ yếu la théng qua cdc gidi

thích thông thường va cde thi dụ minh hog Ngoài ro, có một

số uốn đề tỉnh ui của môn phương phóp tính, sinh Uiên nên biết, nhưng khong thé dua vaio chương trình giảng dạy, được

- giới thiệu với bạn đọc thông qua một số phụ lục ngắn

Nhu uậy, một gióo trình 30 tiết ở hệ chính quy có thể bỏ

qua cóc phụ lục va mét vai chúng minh, ở cóc hệ tợi chúc cóc

thể bỏ qua các phụ luc uồ cóc chúng mình

Trong lần xuất bản đầu, cuốn sóch không tránh khỏi thiếu

sót, chúng tôi mong nhộn được # hiến, nhận xét, phê bình của

ban doc

Chúng tôi xin cảm on Khoa dai hoc Tai chite va Khoa Toan —

- Tin ting dung Trường đại học Bách khoa Hà Nội đã khuyến

khích chúng tôi hoàn thành cuốn sách

Thang 7 nam 1991 Tác giả

Seg

Chương 1

SAI số

‘1 1, SAT SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SO TUONG DOI

4 Sai: số tuyệt đối

- ong tính gần đúng ta làm việc với các giá trị gần đúng

của các đại lượng Cho nên vấn để đầu tiên cẩn nghiên cứu,

là vấn đề sai số Xét đại lượng đúng A cod giá trị gần đúng là

a Lúc đó ta nói "a xếp x¿ A" và viết "a = A" Trị tuyệt đối

_ la~ Al goi lA.sai sé tuyét ddi cla a (xem 18 giá trị gần đúng

- của A) VÌ nói chung ta không biết số đúng A, nên không tính được sai số tuyệt đối của a Do đó ta tìm cách ước lượng sai

số đó bằng SỐ dương A, nào đó lớn hơn hoặc bằng |a - A| :

Số dương ‘A, nay: 'gọi là: sai so tuyệt đối giới hạn của a Rõ rang néu “Ag đã là sai số tuyệt đối giới hạn cua a thi moi sé A’ > A, déu có thể xem là sai số tuyệt đối giới hạn của a Vì vậy trong những điều kiện cụ thể người ta chọn A, là số 6 dương

bé nhốt có thể được :thoả mãn (1.1)

Néu số xấp xi a,.của A cé sai số tuyệt đối giới hạn là A,

thì ta quy ước viết :

2 Sai số tương đối

|a — A| |a — AI

TÌ số ————- = —— gọi là sai số tương B II 5 đối của a (so :

với A) Noi chung ti sé dé khéng tinh dugc vi A nơi chung

không biết

Ta gọi tỉ số :

A,

gọi là sơi số tương đối giới hạn của a

Cac công thức (1.4) và (1.5) cho liên hệ giữa sai số tương

đối và sai số tuyệt đối Biết A, thì (1.4) cho phép tính dq, biết

6, thi (1.5) cho phép tinh A,

Do nã + nên (1.2) cũng có thể viết tóc

Trong thực tế người ta xem A, là sai số tuyệt đối và lúc đó

ð, cũng gọi là sai số tương đối

3 Chú thích -

Sai số tuyệt đối không nối lên đẩy đủ "chốt lượng" của một

số xấp xi, "chất lượng" ấy được phân ánh qua sai số tương đối

Lấy thí dụ : đo bai chiều dài A va B dude a = 10m với

A, = 0,05m_ va b = 2m véi A, = 0,05m R6 rang phép do A

thực hiện "chất lượng" hơn phép đo B Điều đó không phản

ánh qua sai số tuyệt đối vì chúng bằng nhau, mà qua sai số

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số,

nhựng ta chỉ kể các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính

8

“Bhs Dogtas

"29,§

tix trái sang phải là chữ số cé nghia Chang han số 2,74 có ba

Rõ ràng nếu œ, là đáng tin thì tất cả những chữ số có nghĩa

đứng ở bên trái nó cũng là dang tin va néu a, la đáng nghỉ

thi tất cả những chữ số có nghĩa ở bên phải nó cũng là đáng nghỉ

3 Cách viết số xấp xí

Cho số a là giá trị xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là A Cơó-hai cách viết số xấp xỉ a Cách thứ nhất là viét

- kem theo sai số nhự ở công thức (1.2) hoặc (1.6) Cách thứ hai

là viết theo quy ước : mọi chữ số có nghĩa là đứng tin Một

số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối

giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vi 6 hang cuối cùng Các

_' bảng số cho sẵn như bảng lôgarit, v.v thường in các số xấp

xỈ theo quy ước này

§1:3 SAI SỐ QUY TRÒN `

1 Hiện tượng quy tròn số và sai số, quy tròn

Trong tính toán khi gặp một số có quá nhiều chữ Số 5 dang

nghi người ta bỏ đi một vài chữ số ở cuối cho gọn, việc làm

đó gọi là quy fròn số Mỗi khi quy tròn một số người ta tạo

ra một sai số mới gọi la sai sé quy tron nó bằng hiệu -giữa số

đã quy tròn và :số chưa quy tròn Trị tuyệt đối của hiệu đỗ gọi

là sai số quy tròn tuyệt đối Quy tắc quy tròn phải chọn sao

cho sai số quy tròn tuyệt đối cờng bé càng tốt, ta chọn quy tắc

sau day : quy tron sdo cho sai số quy trèn tuyệt đối không lớn

hơn một nửa đơn vi 6 hang duoc giit lai cuối cùng, túc là ð

don vi 6 hang 66 di dau tiên, cu thé là, nếu chữ số bỏ đi

đầu tiên > ð thì thêm uùo chữ số giữ lại cuối cùng một đơn

Uj, còn nếu chữ số bỏ di đầu tiên < 5 thi để nguyên chữ số

giữ lại cuối cùng

Thí dụ : Số 62,8274 quy tròn đến chữ số: lê thập phân thứ

ba (tức là giữ lại các chữ số từ đầu đến chữ số lẻ thập phân

thứ ba) sẽ thành số 62,827 ; cũng số đó quy tròn đến chữ số

lẻ thập phân thứ hai sẽ thành số 62,83 ; và cũng số đó quy

tròn đến ba chữ số có nghĩa (tức là chỉ giữ lại ba chữ số cớ

2 Sai số của số đã quy tròn

Giả sử a là số xấp xỈ của số đúng A véi sai số tuyệt đối

giới hạn là A, Giả sử ta quy tròn a thành a’ thi [a’ -.al la

sai số quy tròn tuyệt đối Số lượng 8, thỏa mãn

gọi là sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn, cũng gọi là sai số quy

tròn tuyệt đối cho gọn

_Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn Ae | cha a’ Ta co :

Vậy c có thể lấy : :

Ro rang A, > A, tức là việc quy tròn số làm tang sai số

tuyệt đối giới hạn

3 Anh hưởng của sai số quy tròn

Thí dụ : xét đại lượng A = (V2 — 1)! Ấp dụng công thức nhị

thức Niutơn (Newton) ta có công thúc đúng :

- W2 - D9 = 3363 — 23782 (1.10) với “V2 = 1,41421356

Bay gid ta tinh hai vế của: (1.10) bằng cách ‘thay: V2 béi cdc

vế trái của (1.10) là quá trình tính ổn định, quá trỉnh tính A

bằng vế phải của (1:10) là quá trình tính không ổn định

“805%!

“đến G

Để tránh nhầm lấn trước hết ta nhắc lại ý 'nghĩa của các

ký hiệu :

Ax, Ay, Au chỉ các số gia của x, y, u

dx, dy, du chỉ các vi phân của x,,y, u 4

Ay, Ay, Ay lại là các sai số tuyệt đối của x, y, u Theo định

nghĩa (1.1) ta luôn có :

Ta phải tìm A, để có |Au| < A¿

2 Sai số của tổng u = x+y

để có [Au|'< A¿ Vậy có quy tắc :

Sai số tuyệt đối (giới hạn) của một tổng bằng tổng cóc sdi ˆ

số tuyệt đối (giới hợn) của cóc số hạng

Chú thích Xét trường hợp u = x - y với x và y cùng dấu

; A, © Atay

u Jap” |x-yl

Cho nên nếu |x - y| rất bé thì sai số tương đối giới hạn

rất lớn Do đó trong tính toán người ta tỉm cách #ớnh phổi

3 Sai s6 cua tich u = xy

Ta có : Au = du = ydx + xdy = yAx’+ xAy

paul < fy] [4x] + |x| [yl = ly] Ax + [x] Ay

12

_ Ta suy ra: Ay = |y|Ay + |x|Ay

Oty = nổ, ; n nguyên duong (1.15)

4 Sai số của thương u = x/y, y # 0

Tương tự như trường hợp tích ta cớ quy tắc :

-_ Sui số tương đối của một thương bằng tổng cóc sơi số tuong đối của cóc số hạng :

"- = 6, + by si : (1.16)

5 Công thức tổng quát

Cho: u = fa," X2; s ; Xp)

_- ta có sai số tuyệt: đối : A, = > | = = | A, (1.17)

va từ đó ta suy ra sai s6 tugng d6i 6, theo dinh nghia (1.4) Thi du: Tinh sai số tuyệt đối (giới hạn) và sai số tương

đối (giới hạn) của thể tích hình cầu :

V= Ề 2

néu cho đường kính đ = 8,7 + 0,05 em và z = 3,14

Giải Xem x vai d la’ đối số của hàm V, theo (1.14) va (1.15)

ta có :

_ by = 6, + Bố,

: Sy = 0,0016/3, 14.= 0,0005

13

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài

toán đã cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được

thông qua việc thực hiện các phép tính thông thường bằng tay

hoặc trên máy tính điện tử Phương pháp thay bời toún phúc

tợựp bồng bài toán đơn giản như thế gọi là phương phóp gồn

đúng Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai sé

phương pháp Đề giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các

phép tính thông thường, ta luôn luôn phải quy tròn các kết quả

trung gian Sai số tạo ra bởi tất cả các lần quy tròn như vậy

gọi là sai sé tính toớn Sai số cuối cùng là tổng hop ¢ cua "hai

loại sai số ¡phương pháp v va tính toán nói trên ees

2 Thí dụ _

da) Hãy tính tổng :

Giải A là tổng của 6 phân số Ta có thể tính trực tiếp A

mà không phải thay nó bằng một tổng đơn giản hơn VÌ vậy 6

đây không có sai số phương: pháp Để tính A::ta hãy thực hiện

14

các phép chia đến ba chữ số lẻ thập phân và đánh giá các sai Số: quy tròn Ọ tương ứng :

= 1,000 với 6, = 0

a 0,126 với 0; = 0 wor be 2k - 0,087 với đ; = 1.10”

b) Hay tinh dai luong

với sai số tuyệt đối không vượt quá 5.10”

Giải Vế phải của B là một chuỗi số đan dấu hội tụ

Do đớ việc tính B là hợp lý Nhưng vế phải là một "tổng vô

hạn số hạng", ta không thể cộng hết số này đến số khác mãi

được Do đó để tính B ta phải sử dụng một phương pháp gần

đúng, cụ thể là thay B bằng tổng của n số hạng đẩu :

Bài toán tính B„ đơn giản hơn bài toán tính B Lúc đó

|B - B,| là sai số phương pháp, và sế n phải được chọn sao

cho sai "36 phương pháp ấy cộng với sai số tính toán vẫn còn

Chú ý rồng : trong sai:số tổng hợp cuối cùng có phần của

sai số phương pháp và cố phần của sai số tính toán, cho nên

ta phải khéo phân bổ sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai SỐ

su ON DINH CUA MOT QUA TRINH TINH 1 Mở đầu

Xét một quá trình tính vô hạn (tức là gồm vô số bước) để

tính ra một đại lượng nào đó Ta nới quá trình tính là ổn định nếu sai số tinh todn tite la ede sai số quy tron tích luỹ lai không tăng uô hợn

_Nếu sơi số đó tăng uô han thì ta nói quá trình tinh la không ổn dinh: ˆ -

Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi

vọng tính được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép Cho nên trong tính toán kị nhất là các quá trỉnh

tính không ổn định

Để - kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính thường

._ người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại một bước, sau đó các phép

- tính đều làm đúng không có sai số, nếu cuối cùng sai số tính

toán không tăng vô hạn thÌ xem như quá trình tính là ổn định

2 Thí dụ

- Xét quá trình tính

_yọ và q cho trước „

Giả sử tại bước ¡ xác định nào đớ khi tính y; ta phạm một

sai số ð; (đây không phải là kí hiệu của sai số tương, đối như

-trước đây), nghía.là thay cho y¡ ta chỉ thu được y¡ Giả sử :

Lấy (1.21) trừ (1.19) vế với vế ta được :

Vier — Yit1 = qy; — 4y;

Vier ~ Yin = a(y; — yi)

Tiép theo ta cd :

Ÿit2 = đŸi+q

Ÿi+2 = Wit - Bằng phép trừ như trên ta lại có :

sau đó mọi phép tính đều làm đúng thì ở bước ¡ + n ta sẽ mắc

sai sé :

; | Yitn — Yienl = laq|ô

Ta thấy có hai trường hợp cẩn phân biệt :

1) Trường hợp |q{ < 1 ~ lúc đó |q|” < 1 nên sai số

-|Ÿi+n — Yienl < ð với mọi n

nghĩa là sai số tính toán bị chặn (không tăng vô hạn) Vậy quá

trình tính ổn định :

2) Trường: hợp |q| >1 - - Lúc đó |q|” tăng khi n tăng và

|al” => œ khi n => e, nên: sai số

‘ | Vien — mai > khi n -> œ_

Vay qué trinh tính không ổn định

Trong thực tế, mac dù quá trình tính là vô hạn, người ta cũng chỉ làm một SỐ hữu hạn bước, nhưng vẫn phải đồi hỏi quá trỉnh tính: ổn định mới hi vọng với một số hữu hạn bước -có thể đạt được mức độ chính xác mong muốn

BAI TẬP

ow

1 Khi đo một số góc ta được các giá trị sau :

a= 219878 ; ; b= 110”

Hãy tính sai số tương đối của các số : xấp xi đó biết rằng sai

số tuyệt đối trong các phép do la 1"

2 Hay xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xi sau đây cho biết sai số tương đối của chúng :

5 Hay quy tròn các số dưới đây (xem là đúng) với ba chữ

số đáng tỉn và xác định sai số tuyệt déi A- va sai số tương đối

ð của chúng :

a) 2,1514 ; -— ,b) 0,16152 ;

c) 0,01204 ; d) -0,0015281

6 Hãy xác định giá trị của hàm số đưới đây cùng với sai

số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của các

đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin :

e= 1+ tại te tai +

với sai số tuyệt đối không quá 1072

hóc Chương 2

TINH GAN ‘DUNG NGHIEM THỰC CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

§2.1 NGHIEM VA KHOANG PHẦN LI NGHIỆM

1 Nghiệm thực của phương trình một ẩn

Xét phương trình một : ẩn :

trong đó : f là một, hàm số cho trước của đối số x

- Nghiệm thực của phương trình (2.1) là số thực ø thỏa mãn

@ 1) tức là khi thay œ vào x ở vế trái ta được :

Vậy hoành độ œ của giao điểm M của hai dé thi (2.6) chinh

la mét nghiém của (2.5), tức là của (2 1)

3 Sự tổn tại nghiệm thực của phương trình (2.1)

Trước khi tỉm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương

trình (2.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay

không Để trả lời ta có thể dùng phương pháp đồ thị ở mục 9

trên Ta cũng có thể dùng định lí sau : -

Định lí 2.1 - Nếu có hai: số ‘thuc a va.b (a <.b) sao cho

fla) va fo) trai đấu tức là

#

đồng thoi f(x) lién ‘tue trén [a, b] thi 6 trong khodng [a, b] cé

£‡ nhốt một nghiệm thục của phương trình (2 1)

29

'„ đồ thị (hinh 2-3) D6 thi caa “47

hoành, nên phải cắt trục hoành a

khoảng từ a đến b Vậy phương | , /

Định nghĩa 2.1 ~ "Khoảng fa, b] nao dé goi la khodng phan

li nghiệm của phương trình (9.1) nếu nó chúa một va chỉ một nghiệm của phương trừnh đó

Dé tim khoảng phân li nghiệm ta có định li:

Định lí 2.2:- Néu [a, b] la mét khodng trong đó hàm số _

ƒ liên tục uờ đơn điệu, đồng thời fla) va fe) trới dấu, tức

~~ 1a 06 (2.8) thi fa, b} là một khoảng phân li nghiệm cua phương

- nghiệm của phương trình (2.1)

_Nếu f(x) có đạo hàm thì điều

kiện đơn điệu có thể thay bằng

điêu kiện khéng đổi đấu của đạo _

hàm vì đạo hàm không đổi dấu |

"Seq!

déu va f(a), f) tréi déu thì [a, b] la mét thoảng phân li

nghiém cia phuong trinh (2.1)

Muốn tỉm các khoảng phân li nghiệm của phương trình (2.1)

thường người ta nghiên cứu sự biến thiên của hàm gố y, = f(x)

Giải : Trước hết ta xét sự biến “thiên của hàm số f(x) No

xác định và liên tục a moi x, đồng thời

Vậy khoảng [1, 2] chứa

nghiệm của phương trình (2.9)

Hình 2—5

24

Nhung vi phương trình này y chỉ có một nghiệm nên chính nghiệm

_Xét phương trình (2.1) với giả thiết nó có nghiệm thực a da

h phân li 6 trong khoang [a, bị Lấy một x € [a, b] lam giá trị

_gần đúng cho œ thì sai số tuyệt đối |œ — œ| < b— a Để có

sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân li nghiệm da tim ra Trước hết ta chia đôi khoảng [a, b], điểm chia là c = (a + b)/2

Rõ ràng khoảng phân lí nghiệm mới sẽ là [a, c] hay [c, bị

- Ta tính f(c) Nếu f(c) = 0 thi c chính là nghiệm đúng œ Thường thì f(c) z 0.:Lúc đó ta so sánh dấu của f(c) với dấu của f(a)

để suy ra khoảng phân li nghiệm thu nhỏ Nếu fíc) trái dấu

f(a) thì khoảng phân li ñghiệm thu nhỏ là [a, c] Nếu f(c)

cùng dấu f(a) thỉ khoảng phân li nghiệm thu nhỏ là [c, b] Như vậy sau khi chia đôi khoảng [a, b] ta được khoảng phân li

nghiém thu nhé 1a [a, c] hay [c, b], ki hiéu là [a,, b,], nd nam

trong [a, b] va chi dài bằng nửa khoảng [a, b] tức là :

1

by ~ a, = 2 (b' _ a)-

Tiép tục chia đôi khoảng [ay bị] ` và làm như trên ta sẽ được

kEkoảng phân li nghiệm thu nhỏ mới, kí hiệu là [a;;'b;], nó nằm _ trong [ai, bị tức là trong, [a, b] va chỉ dài bằng nửa khoảng

[a,, byl:

- Lặp lại việc làm trên đến lần thứ n ta được khoảng phân li

nghiệm thu nhỏ thứ n, kí hiệu là Tâm b,], nó nằm trong [a, bị

và chỉ đài bằng 1/8" của [a, bị : „ se

Do đó với n đủ lớn, an hay bạ đều đủ gần a

Khi n — © thì: an —> ứ, bạ —> đ Nên ta nói phương pháp

Chú thích : Trong quá trình chia đôi liên tiếp rất có thể

gặp một điểm chia tại đó giá trị của f bằng không Lúc đó ta

được nghiệm đúng : hoành độ của điểm chia đó

2 Thí dụ:

Xét phương trình (2.9) Ave

Ta đã chứng minh rằng phương trình này chỉ có một nghiệm

thực œ đã phân li ở trong khoảng [1, 2] Vậy :

£(5) = (3) - 27 1>0 trái dấu f(1) Vay a € [1, 3/2]

Ta chia đôi khoảng [1, 3/2], điểm chia là ð/4 Ta có f(ð/4) < 0,

cùng đấu với £@) Vậy œ € [5/4, 3/21

Ta chia đôi khoảng [ð/4, 3/2], điểm chia là 11/8 Ta có

f(11/8) > 0, trái đấu f(ð/4) Vậy œ € [ð/4, 11/8]

26

Ta chia đôi khoảng [5/4, 11/8], điểm chia lạ 21/16 Ta có

_f21/16) < 0, cùng dấu với f(ð/4) Vậy œ € [21/16, 11/8]

Ta chia đôi khoảng [21/16, 11/8] điểm chia là 43/32 Ta cơ

£(43/32) > 0, trái dấu f(21/16) Vậy œ € [21/16, 43/32]

-'Ta dừng quá trình chia đôi tại đây và lấy 21/16 = 1, 3125 hay 43/32 = 1,34375 làm giá trị gần đúng của thì sai số

không vượt quá 1/27 = 1/33 = 0,08195

Vì ta đã chia đôi 5 lần và độ đài khoảng [1, 2] là 2 - 1 = 1,

_(xem công thức (2.10) và (2.11))

3 Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi

1) Cho phương trinh f(x) =

2) An định sai số cho née & £

8) Xác định khoảng phan li: nghiệm la, b]

4) Tinh c = (a+b)/2, tinh f (c)

œ=b |lz — bị <£

27

Sau đó ta chọn một số xo) nao đó € la, b] lam xấp xi đầu rồi tính dần SN Fo ae ae :

Quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp

ở đây gọi là phương phớp lặp, hàm @ gọi là hàm lặp

2 Sự hội tụ

Định nghĩa 9.9 - Nếu dãy x, > a khi n — œ thì ta nói

phương phóp lap (2.18) Œ 14) hội tụ

Khi phương pháp lặp hội tụ thi x, càng gin a néu n cang lớn Cho nên ta có thể xem xạ uới n xác dịnh là giú trị gồn đúng của a Néu phương pháp lặp khống hội tụ thì xạ có thể rất xa ơ VÌ vậy chỉ có phương phúp lặp "bội tụ mới có gió trị

Để kiểm tra xem một phương pháp lặp có hội tụ hay không

ta có định lí sau :

Dinh li 3.4 - Xét phương pháp lặp (9.18) (2.14) giả sử

1) [a,b] ta khoảng phân li nghiệm œ của phương trinh (2.1) tức là của (2.12) ;

2) Moi x, tỉnh theo (2.18) (2.14) đều € Ịa, bl :

3) Ham (x) ¢6 dao ham thoa man re

Lie @)| <q <la<x<bt | (2.15)

3

trong đó q la một hông Số

28

Trước hết ta nhắc lại công thức L.agrangid :

Công thức Lagrangiơ ' - Cho ham số F(x) lién tục lrên

Ta, bị, có đạo ham trong (a, b) thì tồn tại số c & (a, b), túc

lac=art ob - a), 0 < @ < 1 sao cho

F(b) - -Fía) = E’(c)(b - a)

Ap: dung công thức Lagrangid vào (2.17) ta được

voi c <a + la ~ x,- p & fa, bỳ |

Theo gia thiét (2.15) ta.co |e@°()| < q < 1 Do đó (2.18) cho :

fam xl = |p'@| |7 xa-il < 4l# ~ #a¬i|

Nhân các bất đẳng thức này vế với vế ta được :

Í Nếu \(%) > 0 ía có thể chọn xẹ G [a, b] một cóch- bất ki,

leon nếu p’{x) < 0 thi phải chọn x, theo quy téc : |

f ( a 5 ) rồi so sứnh đấu của nó uới dấu của f(a)

Két qua nay co thé suy từ công thức (2.17)

4 Đánh giá sai số

Giả sử ta tính theo (2.13) (2.14) n lần và xem xạ là giá trị

gần đúng của a Khi do sai số |œ - xạ| có thể đánh giá bằng

a) Công thúc đánh gid sai số thứ nhất

(1 -q) |z- xa| < q lăn - xa~¡|

Vi 0 < q < 1 nén 1 -q > 0 Chia bất dang thức trên cho - (1 - q) ta được công thức :

Định “a 2.5 Xét PMNs trinh

' c6 ‘nghiem: x e ‘Te, ‘dj va X la một số € ƒc, dị được xem la

i gió trị gain ding cia X Lúc đó ta có :

nên có ¬

g1

Ta da biét a la nghiệm phân li trong khoảng [a, bị x va x, € Ía, bị

Vậy công thức (2.25) 'cho

Xét phuong trình 2.9 ở 92 1 Ta đã chứng minh được rằng '

nó có một nghiệm thực œ phân li ở trong khoảng [1, 2] Bây

giờ ta dùng phương pháp lặp để tính gần đúng nghiệm ø đó

Muốn thế trước hết ta phải tìm được hàm lặp p(x) thich hgp

để phương pháp lặp hội tụ, tức là p(x) phai thỏa mãn những

giả thiết của định lí 2.4

Từ (2.9) ta có thé viết

Nhưng lúc đó

y’(x) = 8x? > > 8 tai moi x € [I, 2]

Với ham gy chọn như vậy phương pháp lặp không có hi vọng

hội tụ

32

Bây giờ ta viết (2 9) ở dang : 2 ly

So với phương pháp chia đôi thi ¿ Phương pháp lặp ở đây hội

tụ nhanh hơn nhiều

"Seg

6 Chi y

Trong thực tế người ta dừng quá trình tính khi

|Xn ~ Xe-¡| < sai số cho phép £

§2.4 PHƯƠNG PHÁP NIUTON (tiếp tuyến)

1 Mô tả phương pháp

Ý chủ đạo của phương pháp Niutơn là tìm cách thay phương

trình (2.1), phi tuyến đối với x, bằng một phương trình gần

đúng, tuyến tính đối với x

_ Trước hết ta nhác lại công thức Taylo : Công thúc Toyio

Cho bờm số f(x) xóc định uờ có dao hàm đến cốp n + 1 tai

a), Céng thúc sđánh gia sơi số thứ phốt

‘Dé là cong thức đánh giá sai số thứ nhất mà ta muốn tìm cho phương pháp lặp '

: I; b) Công thúc đánh giá sơi số thứ hơi

HH Cong thúc này tổng quát hơn, nó cớ thể áp dụng để tính ]Jlsai số của nhiều phương pháp khác nhau Đó là nội dung của định lí 2.5 dưới đây

Ta đã biết œ là nghiệm phân li trong thoảng [a, bị x và xn € Ía, bị

Vậy công thức (2.25) cho -

nó có một nghiệm thực a phân li ở trong khoảng [1, 2] Bây

giờ ta dùng phương pháp lặp để tính gần đúng nghiệm z đó

Muốn thế trước hết ta phải tìm được hảm lặp @() thích hợp

để phương pháp lặp hội tụ, tức là @Œœ) phái thỏa mãn những

giả thiết của định lí 2.4

_ *¿ oờ:ở lên:cộn x, : Thế thì có công thúc sœơu đây gọi lò khai

„ triểu Taylo bậc n của F(x), tai x,

men e-em tenant enema es an” NA,

teh iy cổ giá tri toi x d lan can Xo: Cong thức (2.31)

“muén nơi rằng c là một số trung gian giữa xạ 0ù x

_Bây giờ xét phương trỉnh (2.1) với giả thiết nó có nghiệm

- thực ¿-phân li ở trong khoảng [a, b] Giả sử hàm f có đạo hàm

f(x) # 0 tại x € [a, b] và đạo hàm cấp hai f*(%) tại x € (a,

bì: Ta chon x, € le b] réi viét khai trién Taylo bậc nhất của f tại Xo

te = flag) +(e - x) CK) + 5x ~ xo)2?(e)

Như v5 ‘ta da ‘thay phương trình (2 D bang phuong trinh (2.32)

don- giản hơn nhiều: vÌ i (2, 32) tuyén tính đối uới +

Đương nhiên việc” thay thé do chi la gan ding Goi x, la nghiệm của (2 32) taco:

t,) |

Fe) |

35

và xem x, la gid trị gần đúng của nghiệm a :

Phương pháp tính xạ theo (2.34) (2.35) gọi là phương phóp

Niuton

Chi ø 4 - VÌ phương trình (2.32) dùng để thay cho phương

trình (2.1) là tuyến tính đối với x nện phương pháp Niutơn cũng

gọi là phương pháp tuyến tính hóa

Chú ý 2 - Nhìn (2.34) (2.35) ta thấy phương pháp Ñiutơn

thuộc loại phương phóp lặp uới hàm lặp

Chú ý 3 - Vé mat hinh hoc thi f’(x,) la hé sé géc cia tiếp

tuyến của đồ thị hàm y = f(x) tại xạ Xét một trường “hợp

cụ thể

Ta vẽ đồ thị trong hình 2-6 Cung đồ thị AB cắt trục hoành

tại M có hoành độ chính là nghiệm a Dé tính gần đúng a ta

thay một cóch gồn đúng cung AB bỏi tiếp tuyến tại B, B có

hoành độ xạ, tiếp tuyến này cắt

trục hoành tại P, P cớ hoành LY

độ xị và ta xem xị lờ giá trị 5

Từ đó ta suy ra (2 38) Cho nên phương pháp Niutơn còn

cổ tên là phương pháp tiếp: tuyén

2 Sự hội tụ và sai số

_Mục.đích của ta là tính gần đúng ø Điều đó chỉ cớ thể thực

hiện được bằng phương pháp Niutơn nếu x„ > a Khi n —> œ

Ta có kết quả (không chứng minh) sau :

Dinh li 2:6 Giả sử [a, b] la khodng phan li nghiệm œ của phương trình (2.1), f có đạo hàm Ÿ, ?` với f uờ †f' liên tục trên [a, b], f va f° không đổi dấu trong (a, b) Xấp xỉ đầu xọ chọn là

a hay b.sao cho f(x,) cing d&u với f” Khi đó xạ tính bởi (2.34)

(2.35) héi tu vé a “khí n —> œ, cụ thể hơn tœ có xạ đơn điệu

tăng tới œ nếu ŸŸ` < 0, x, don điệu giảm tới œ nếu Pf’? > 0

Dừng lại ở bước tính thứ n xác định, ta được X, VA xem x, là giá trị gầm ding của ơ

f2) = 9? - 2 > 0 cùng dấu với f” nên ta chọn xo = 2 Với

xạ ấy công thức tính (2.40) cho