Quay quanh trục bất kìKí hiệu : R rx, ry, rz, Phép quay xác định bằng một vetơ và góc quay: Trục quay đi qua gốc tọa độ và một điểm r Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục qu
Trang 13D Transformations
Các phép biến đổi 3 chiều
Trang 2Biểu diễn điểm trong không gian 3D
• Ma trận tổng quát trong không gian 3D được biểu diễn :
• Biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất
q p
n j
f c
m i
e b
g d
a T
0 0
]
[
z y x
t h
f c
t i
e b
t g
d a
T
Trang 3Translation - Tịnh tiến
(x’,y’,z’)
(x,y,z) T=(t x ,t y ,t z )
z y x
t z
z
t y
y
t x
Trang 4Translation - Tịnh tiến dạng ma trận thuần nhất
0 0
0
1 0
0
0 1
0
0 0
x t
t
t z
y
x
z y x
Trang 5Scaling – Biến đổi tỉ lệ
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
x
s s
x
s z z
s y y
s x x
'
'
'
Trang 6cx z
iz y
bx y
gz yd
x x
0 0
0
0 1
0 1
0 1
1 ' '
'
z y
x
f c
i b
g d
z y x
- Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1
- Các phần tử chiếu và tịnh tiến bằng 0
Trang 7Phép lấy đối xứng
Trang 9Quay quanh trục tọa độ
0 0
0
0 1 0
0
0 0 cos
sin
0 0 sin
x z
Trang 10Quay quanh trục tọa độ
0 0
0
0 cos
0 sin
0 0
1 0
0 sin
0 cos
Trang 11Quay quanh trục tọa độ
0 0
0
0 cos
sin 0
0 sin
cos 0
0 0
0 1
x z
Trang 12Quay quanh trục bất kì
Kí hiệu : R( rx, ry, rz, )
Phép quay xác định bằng một vetơ và góc quay:
Trục quay đi qua gốc tọa độ và một điểm r
Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục quay
Trang 13Các bước thực hiện phép quay
B1 Tịnh tiến trục quay sao cho trục quay đi qua gốc tọa độ
B2 Quay trục quay để nó nằm trên một trục tọa độ (Oz).
B3 Áp dụng phép quay góc theo trục tọa độ.
B4 Áp dụng phép quay ngược để trở về trục ban đầu.
B5 Tịnh tiến ngược trục quay về vị trí ban đầu
Trang 14Phân tích
- Xác định Vector trục quay V = B-A = (x b -x a , y b -y a , z b -z a )
- Xác định Vector đơn vị u dọc theo trục quay như sau:
Với a, b, c là hướng Cosine của các trục quay
) , ,
( a b c V
Trang 15Bước 1 Tịnh tiến trục quay sao cho đi qua gốc tọa
độ
Ta tiến hành tịnh tiến trục quay AB (A(xa, ya, za ), B(xb, yb, zb )) sao cho A trùng với gốc tọa độ Ma trận tịnh tiến được xác định như sau:
1 0
0 0
1 0
0
0 1
0
0 0
1
1 ' '
'
z y
x
T z
y
x z
y
x z
y x
a a a
Trang 16Bước 2Quay trục quay u=AB sao cho trục AB nằm trên một trục tọa
Trang 17Bước 2
d
c k
Với d là chiều dài của vector u’
Tương tự ta tính được sin
Khi đó ma trận phép quay như sau:
0 0
0 /
/ 0
0 /
/ 0
0 0
0 1
)
(
d c d
b
d b d
c
Rx Quay u quanh trục x sao
cho nó nằm trong mặt phẳng xz
Trang 18Bước 2Tiếp theo xác định ma trận chuyển đổi của vector đơn vị ngược chiều kim đồng hồ quanh trục y trong mặt phẳng xz để nó
trùng với chiều dương của trục oz:
Tương tự ta tính được sin
Khi đó ma trận phép quay như sau:
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
)
(
d a
a d
Ry Quay u’ quanh trục y sao
cho nó nằm trùng với chiều dương của oz
d k
'.
' cos
Trang 19Bước 3 Quay quanh trục z một góc
0 0
0
0 1 0
0
0 0 cos
sin
0 0 sin
x z
Trang 20Bước 4 Quay ngược trở về trục ban đầu
0 0
0 /
/ 0
0 /
/ 0
0 0
0 1
)
(
1
d c d
b
d b d
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
) (
1
d a
a d
Trang 21Bước 5 Quay ngược trở về trục ban đầu
Tịnh tiến ngược trục AB trở lại vị trí ban đầu ta có ma trận phép biến đổi như sau:
0 0
1 0
0
0 1
0
0 0
1
1
a a a
z y x T
Trang 22Tổng hợpKết quả của phép quay quanh trục bất kì
1 1
1
) (
) (
) ( )
( )
Trang 23Quay quanh trục bất kì
Khi trục quay không đi qua gốc tọa độ : trục quay được xác định bởi 2 điểm.
Tịnh tiến về gốc tọa độ
Quay quanh trục qua gốc tọa độ
Tịnh tiến ngược lại vị trí ban đầu