Một số dạng toán về hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0)

PHÒNG GD& ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG – MÔN TOÁN Tên chuyên đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a≠0¿ Tên[.]

TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO LỚP 10

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG – MÔN TOÁN

Tên chuyên đề:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a≠ 0¿

Tên tác giả: Vũ Thị Hảo Đơn vị công tác: THCS Hương Sơn

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

MÔN TOÁN

1 Lời giới thiệu:

Qua những năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh,nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên, trườngcông để định hướng cho tương lai của mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thithường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương hàm số bậc nhất cho dướidạng bài tìm tham số trong hàm theo điều kiện Phần lớn các em còn lúng túng khi làmbài, bởi vì các em chưa hiểu được bản chất của nó Xuất phát từ tình hình đó, qua nhữngnăm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bảnthân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết đượcvấn đề khó khăn ở trên

Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và được thực hiện trong các giờ luyện tập,

ôn tập, ôn thi vào lớp 10

Đứng trước một bài toán ngoài việc xác định được yêu cầu của để bài thì việc trảlời câu hỏi làm gì để đạt được yêu cầu hay nói cách khác là định hướng được cách giảiquyết là rất quan trọng

Chính vì lí do trên tôi chọn đề tài: “Hàm số bậc nhất” nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học và từng bước giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong quá trình tìm ra phương pháp giải Từ đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường đồng thời nâng cao chất lượng thi vào 10 của học sinh cuối cấp

2 Tên chuyên đề:“Một số dạng toán về hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠ 0¿”

3 Tác giả chuyên đề:

- Họ và tên: Vũ Thị Hảo

- Địa chỉ tác giả chuyên đề: Trường THCS Hương Sơn - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0364759924 Email: vuhao4079@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề: Vũ Thị Hảo

Trường THCS Hương Sơn – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

5 Lĩnh vực áp dụng chuyên đề:

Một số dạng bài toán về hàm số bậc nhất

6 Ngày được chuyên đề áp dụng lần đầu: Tháng 11/2021.

7 Mô tả bản chất của chuyên đề:

7.1 Về nội dung của chuyên đề:

7.1.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu hiện nay

Bài tập toán chiếm một phần quan trọng trong nội dung chương trình môn toán ởtrường phổ thông Thời lượng dành cho luyện tập giải toán chiếm khoảng 50% Bài tậptoán rất đa dạng phong phú Hàm số bậc nhất là một trong những phần kiến thức khôngthể thiếu của chương trình toán lớp 9.Nhiều dạng bài toán hay như: Sự biến thiên củahàm, đồ thị hàm số, tìm tham số trong hàm theo điều kiện, viết phương trình đườngthẳng …mà cách giải của nó là phải phân dạng và nắm rõ bản chất để giải

Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thựchành giải toán nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giảiquyết thích hợp, không biết áp dụng vào dạng nào, phương pháp nào là phù hợp nhất,hướng giải nào là tốt nhất

Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ lý thuyết của hàm

số bậc nhất từ đó phân dạng bài tập để học sinh nắm chắc và áp dụng giải quyết mộtcách tốt nhất

7.1.2 Cơ sở lí thuyết

Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, học sinhthường gặp đề thi có nội dung về hàm số nói chung và hàm bậc nhất cũng góp một phầnđáng kể không thể thiếu trong khi giải bài tập về hàm số Muốn giải được bài tập đó đòihỏi học sinh phải nắm vững khái niệm về hàm số bậc nhất, tính biến thiên của hàm, đồthị hàm số, vị trí tương đối của đường thẳng, hệ số góc và góc tạo bởi đường thẳng vớitrục Ox và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Cái khó ở đây là các emchưa phân dạng được bài tập, không nắm bắt được rõ bản chất, còn làm bài một cáchmáy móc Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nênkhông làm được bài tập hàm số Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận thấy được rõbản chất của các dạng bài để từ đó các em hiểu có thể tự mình phát hiện và vận dụng nóvào việc giải bài tập

7.1.3.Các giải pháp cụ thể:

Xây dựng các phương pháp giải bài tập về hàm số bậc nhất y = a x + b (a≠ 0):

Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính:

A/ LÝ THUYẾT VỀ HÀM BẬC NHẤT:

1) Định nghĩa : Hàm số bậc nhất được cho bởi công thức , trong đó a, blà các số cho trước

2) Tính chất : Hàm số bậc nhất xác định  x  R và có tính chất sau :

a) Đồng biến trên R, khi a > 0

b) Nghịch biến trên R, khi a < 0

3) Đồ thị

- Đồ thị của hàm số là 1 đường thẳng đi qua gốc tọa độ O

- Đồ thị của hàm số là 1 đường thẳng

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

+ Song song với đường thẳng y = ax nếu b khác 0; trùng với đường thẳng y = axnếu b = 0

Chú ý : Đồ thị của hàm số còn được gọi là đường thẳng

; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Bước 1: Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy

Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Ox

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

4) Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục Ox

- Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b (a≠0) và trục Ox

Nếu a > 0 thì HS đồng biến ; góc α nhọn, hệ số góc a càng lớn thì α càng lớn (tan α = a)

Nếu a < 0 thì HS nghịch biến ; góc α tù, hệ số góc a càng lớn thìα càng

B.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính chất hàm số bậc nhất: (Tìm tham số để hàm số là hàm bậc nhất, đồng biến, nghịch biến)

Để làm dạng toán này chúng ta chỉ cần đánh giá hệ số của x là đủ.Tuy nhiênngoài điều kiện để hàm số là hàm bậc nhất, đồng biến, nghịch biến thì còn thêm cácđiều kiện khác phụ thuộc vào đề bài

Ví dụ 1: Tìm m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất :

Ví dụ 2: a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất đồng biến?

b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất nghịch biến?

Hướng dẫn giải

a) Hàm số bậc nhất đồng biến khi

b) Hàm số bậc nhất nghịch biến khi

Ví dụ 3 : Cho hàm số Tìm m để :

a) Hàm số trên là hàm số bậc nhất

b) Hàm số đồng biến, nghịch biến

a) Với điều kiện nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?

b) Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R?

Hướng dẫn giải

a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi (*)

Vậy với thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

b) Với thì > 0 Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch

Kết hợp với điều kiện (*) ta được 0 m < 25

Vậy với thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R

Ví dụ 5: Cho hàm số bậc nhất y = (m2 + 3m + 5) x + m – 1

Chứng minh rằng hàm số đã cho đồng biến với mọi giá trị của m

Hướng dẫn giải

Hàm số bậc nhất đã cho có hệ số a = m2 + 3m + 5

Ta có: m2 + 3m + 5 = m2 + 2m + - + 5 = (m + )2 + > 0 với mọi m

Do đó hàm số y = (m2 + 3m + 5) x + m – 1 đồng biến với mọi m

Ví dụ 6 :Tìm số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(m²−4)x+m−3 nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải Để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì m²−4<0⇔−2<m<2.

Vậy có đúng 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài là

m∈{ −1 ;0 ;1 }

* BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất?

Bài 2: Xác định giá trị của m để:

a) Hàm số bậc nhất y = ( 1 + 2m)x + 5 là hàm số nghịch biến

b) Hàm số bậc nhất y = (1 – 2m)x + là hàm số đồng biến

Bài 3: Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến , nghịch biến trên tập R

Bài 5: Cho hàm số

a) Tìm điều kiện của a để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

b) Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R

Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhấtvà các bài toán thường gặp

b) y=-3x+3

Cho x=0 thì y=3, ta được điểm P(0; 3) thuộc đồ thị hàm số y=-3x+3

Cho y=0 thì x=1, ta được điểm Q(1; 0) thuộc đồ thị hàm số y=-3x+3

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y=-3x+3

-2x + 4 = x -2 ⇔ x = 2 Thay vào y = x -2 =2 -2 =0

Vậy tọa độ giao điểm của (d') và (d) là: (2 ; 0)

Ví dụ 3 : a, Vẽ đồ thị của các hàm số y=x+1 và y=-x+3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b, Hai đường thẳng y=x+1 và y=-x+3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại

A và B Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

c, Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a, Đồ thị hàm số y=x+1 đi qua A(-1; 0) và (0; 1)

Đồ thị hàm số y=-x+3 đi qua B(3; 0) và (0; 3)

b, Với đường thẳng y=x+1:

Cho y=0 ta suy ra x=-1 Vì vậy đường thẳng cắt trục Ox tại A(-1; 0)

Với đường thẳng y=-x+3:

Cho y=0 ta tuy ra x=3 Vì vậy đường thẳng cắt trục Ox tại B(3; 0)

Gọi C (x; y) là giao điểm của đường thẳng y=x+1 và đường thẳng y=-x+3

Vì C(x; y) thuộc vào cả 2 đường thẳng trên nên ta có: x+1=-x+3 Từ đó suy ra x=1Thay x=1 vào hàm y=x+1 ta được y=2

Vậy C(1; 2)

c, Ta có AB = 4 Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB

*Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ACE,BCE có

AC = BC = 2√2 Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC +BC = 4 + 4√2 (đơn vị độ dài)

* Diện tích tam giác ABC là:12 CE AB = 4(đơn vị độ dài)

Ví dụ 4 :Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (2m+1)x - 3m + 2 luôn luôn đi qua với

mọi giá trị của m

Hướng dẫn giải

Gọi điểm mà đồ thị hàm số đã cho luôn luôn đi qua với mọi m là M(x0; y0)

Phương trình y0 = (2m+1)x0 - 3m + 2 nghiệm đúng với mọi m

nghiệm đúng với mọi m

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m là M(1,5; 3,5)

Ví dụ 5: Cho đường thẳng (d) y =2x - 1 và (d') y = - x + 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường (d) và (d')

b) Tìm m để đường thẳng (d’’) y = (m2 – 1) x + m2 -6 đồng qui với hai đường (d) và (d')

Hướng dẫn giải

a,Tọa độ giao điểm A(1;1)

b,Để đường thẳng (d’’) y = (m2 – 1) x + m2 - 6 đồng qui với hai đường (d) và (d')thì đường thẳng (d’’) phải đi qua điểm A(1;1) và m ≠ ±1nên có:

1 = (m2 – 1) + m2 - 6 suy ra m = -2 ; m =2 Vậy m = ± 2 thì đường thẳng (d’’)

y = (m2 – 1) x + m2 -6 đồng qui với hai đường (d) và (d')

Ví dụ 6: Cho hàm sốy = mx + m – 1 (1)(m≠ 0 là tham số)

a.Chứng minh rằng: đường thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

b Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng (1) đi qua điểm cố định N(x0; y0) với mọi m thì:

Phương trìnhy0=m x0+m−1nghiệm đúng với mọi m

⟺(x0+1)m−(y0+ 1)=0

⟺{x0 + 1=0

y0+ 1=0⟺{x0 =−1

y0=−1

Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; -1) với mọi m

b)Gọi A là giao điểm của đường thẳng(1) với trục tung Với x=0 thì y=m-1 nên A(0; m -1)

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành với y=0 thì x=1−m m nên B(1−m m ;0) Ta có OA = |m-1|; OB= |1−m m |

Diện tích tam giác OAB là 2 nên ta có:

|m-1| |1−m m | = 4

Suy ra (m−1)2

= 4 |m|

Giải phương trình ta được m¿3 ± 2√2 ; m= -1

Vậy m = -1; m¿3 ± 2√2 thì đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diệntích bằng 2

Ví dụ 7: Cho d có phương trình đường thẳng y = (2m + 1)x – 2 (m≠−1

2¿, d cắt Ox tại Acắt Oy tại B Tìm m sao cho :

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng √2

b) Diện tích tam giác AOB = 12

b) OA.OB =1 Suy ra |2 m+1| =4 , m=3

2;m=

−5 2

* BÀI TẬP VẬN DỤNG :

Bài 1: Cho đường (d) y = 0,5x + 2 và (d') y = 5 - 2x Hai đường lần lượt cắt trục Ox tại

A và B Giao điểm của hai đường (d) và (d') là C Tìm tọa độ A, B, C

Bài 2: a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng tọa độ:

a) Vẽ đồ thịhàm số trên

b) Xác định hàm số có đồ thịlà đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc vớiđường thẳng y = -2x + 3

c) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng y = -2x + 3 và đường thẳng tìm đượcở câu b).

d) Gọi P là giao điểm của đường thẳng y = -2x + 3 với trục tung Tìm diện tích tamgiác OAP

Bài 4 : Cho các hàm số : y = x + 4 ; y = -2x + 4

a) Vẽ 2 đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) 2 đường thẳng y = x + 4 ; y = -2x + 4 cắt nhau tại C và cắt trục hoành theo thứtự tại A và B Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC

Bài 5: Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng sau luôn luôn đi qua một điểm

cố định Tìm toạ độ của điểm cố định đó:

Bài 6 : Cho các hàm số y = 2x (d) ; y = x – 1(d’) ; y = (m+1)x + m – 2(d’’)

Tìm m để đường thẳng (d’’) đồng qui với hai đường (d) và (d')

Dạng 3 : Tìm tham số trong hàm theo điều kiện cho trước

- Tìm tham số trong hàm.

- Viết phương trình đường thẳng.

* Tìm một tham số trong hàm:

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc k của đường thẳng y = kx + 3 – k trong mỗi trường hợp sau:

a) Xác định k để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1 ; 2)

b) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số

c) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = ( 2k + 1)x – 5

d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

e) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

Hướng dẫn giải

a) ĐK để hàm là bậc nhất k≠ 0

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1 ; 2) nên có :

2 = k(-1) + 3 – k suy ra k = 12 (TM)

b) Đường thẳng y = kx + 3 – k song song với đồ thị hàm số

khi k =2

3và 3−k ≠ 0phương trình đường thẳng có dạng:

c) ĐK để hàm là bậc nhất k≠−1

2Đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = ( 2k + 1)x – 5 khi k ≠ 2 k +1 suy ra k ≠−1

Vậy đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = ( 2k + 1)x – 5 khi k≠−1

2 và k≠ 0 ;k ≠−1

d) Vì đồ thị hàm số y = kx + 3 – k cắt trục tung tại điểm có tung độ là b = 3 – k,mà theo giả thiết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên

phương trình đường thẳng có dạng: y = x+2

e) Vì đường thẳng y = kx + 3 – k cắt trục hoành tại đểm có hoành độ bằng 3, nêntung độ tại điểm này bằng 0

ta có: phương trình đường thẳng có dạng :

Ví dụ 2 : Cho đường thẳng (d): y = -x +2 và (d’): y = 2x + m -3 Xác định m để (d ) và

(d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành

Hướng dẫn giải

Ta thấy d và d’ cắt nhau vì a = -1 khác a’ = 2

d và d’ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành tức là cùng đi qua điểm A (x ; 0)Khi đó ta có : - x +2 =0 và 2x + m -3 = 0

Suy ra : 3−m2 =2 nên m =-1

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc nhất : y = ax – 4 (a≠ 0) (1) Xác định hệ số a trong mỗi trườnghợp sau

a) đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2

b) đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5