Khi x thay đổi, tìm quĩ tích của O và chứng minh rằng S luôn đi qua một đường tròn cố định... Do mặt cầu S luôn đi qua A, A′ nên S chứa đường tròn cố định đường kính A′A nằm trên W.. Ch
Trang 1MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỨ DIỆN
A TỨ DIỆN DỰA TRÊN HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 1 Cho (∆), (∆′) chéo nhau nhận AA′ làm đường vuông góc chung và
AA′ = Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (∆′) Mặt a
phẳng (Q) // (P) cắt (∆), (∆′) tại M, M′ Gọi N là hình chiếu của M lên (P) Đặt ϕ = ∠((AM),(P)) và x=d ( ), ( )( P Q )
a CMR: A′M′MN là hình chữ nhật Tính VAA′M′MN theo a và x
b Đặt MAM′= α,M AA′ ′= β Tìm mối quan hệ giữa ϕ, α và β
c Tìm tâm O và bán kính hình cầu (S) ngoại tiếp AA′M′MN
d Khi x thay đổi, tìm quĩ tích của O và chứng minh rằng (S) luôn đi qua
một đường tròn cố định
Giải
a Do AA′⊥(∆′) và (P)⊥(∆′) suy ra (P) chứa AA′
N là hình chiếu của M lên (P) ⇒ MN ⊥ (P) ⇒ MN ⊥ A′N
(P)⊥(∆′) ⇒ M′A′ ⊥ (P) ⇒ M′A′ // MN ⇒ Tứ giác A′M′MN là hình bình hành
có 1 góc vuông ⇒ A′M′MN là hình chữ nhật (đpcm)
Ta có: MN=d ( ),( )( P Q )= và x MAN= ϕ
Do MN⊥(P) ⇒ MN ⊥ AA′
Lại có AA′ ⊥ AM ⇒ AA′ ⊥ NA
Kẻ AH ⊥ A′N ⇒ AH ⊥ (A′M′MN)
⇒ VA M M N 1
3AH A N MN
2
3AA AN MN′ 3ax
A N′ =A A′ +AN và
M M′ =M A′ +MA − M A MA′ α
M′
N
ϕ
H
M
A′
A
x
x
a
(∆) (∆′)
O
Trang 2⇔
sin sin
α
c Ta thấy M′, A, N nhìn A′M dưới một góc vuông nên tâm O của hình cầu (S)
là trung điểm của A′M Bán kính của (S) là:
sin
A M
ϕ
d Gọi mặt phẳng chứa A′A và (∆) là (K) Ta có OA = OA′ = R suy ra quĩ tích
điểm O là đường trung trực của AA′ thuộc mặt phẳng (K)
Gọi mặt phẳng chứa A′A và vuông góc với (∆) là (W) Do mặt cầu (S) luôn đi qua A, A′ nên (S) chứa đường tròn cố định đường kính A′A nằm trên (W)
Bài 2 Cho (d) ⊥ (d′) và chéo nhau Lấy A cố định ∈ (d) và 2 điểm B, C∈(d′)
sao cho mặt phẳng (B,(d)) ⊥ (C,(d)) Gọi A′, B′, C′ là chân các đường cao chủa ∆ABC Chứng minh rằng:
a A B A C const′ ⋅ ′ = ; AB2+AC2−BC2 =const
b Trực tâm H của ∆ABC cố định Tìm quĩ tích B′ và C′
Giải
Gọi IK là đoạn vuông góc chung
của (d) và (d′) ⇒ (d) ⊥ (IBC)
⇒ BIC = góc nhị diện (B, (d), C) =
2
π,
Mà BC ⊥ IK nên BC ⊥ AK ⇒ K ≡ A′
A B A C′ ⋅ ′ =IK =const;
2
AB +AC −BC = AI =const
b ∆AA′B ~ ∆ CA′H
⇒ A H A B A C IK2 const
′ ⋅ ′
⇒ H cố định Từ đó suy ra B′, C′ nằm trên đường tròn đường kính AH xác định trong mặt phẳng (A, (d′))
A
K ≡ A′
B
C′
B′
(d)
(d′)
H
I
C
Trang 3Bài 3 Cho (d )1 ⊥(d )2 và chéo nhau Các điểm A,M∈(d1) và B,N∈(d2) với AB
là đường vuông góc chung của (d1), (d2) Đặt AB=a AM, =x BN, = y
1 Giả sử AM +BN =MN Kẻ OH ⊥ MN Gọi O là trung điểm của AB
a Chứng minh rằng: MN tiếp xúc mặt cầu (S) đường kính AB
b Chứng minh rằng: VABMN =const ;
2
2
a
xy=
c Chứng minh rằng:
2
a
R≥ với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp ABMN
d Tìm M, N để diện tích toàn phần của tứ diện ABMN nhỏ nhất
e Chứng minh rằng: H thuộc một mặt phẳng cố định và MN tạo với mặt
phẳng đó 1 góc không đổi Tìm quĩ tích điểm H
2 Giả sử 2 2 2
AM +BN =k k>
a Chứng minh rằng: MN =const b Tìm M, N để VABMN lớn nhất
c Tìm a, k để MN tiếp xúc với hình cầu đường kính (AB)
Giải
1 a Lấy J∈(d1) khác phía M
qua A với AJ=BN
⇒ ∆OAJ = ∆OBN ⇒ OJ ON=
⇒ OA OH= ⇒ MN tiếp xúc
mặt cầu (S) đường kính AB
b Ta có: NB ⊥ AB, NB ⊥ AM ⇒ NB ⊥ BM
2 2
2
2
a
c MA ⊥(ABN) ⇒ MA ⊥ AN ⇒ A,B,M,N nằm trên mặt cầu đường kính MN
⇒
x y
tp
S = AB AM⋅ + AB BN⋅ + AM AN⋅ + BM BN⋅
1
x y
2
2
a
2
tp
=
(d1)
(d2)
B
A
O
H
N
M′
t
I
K
Trang 4e Qua B dựng mặt phẳng (P) ⊥ AB Gọi M′, K là hình chiếu của M, H lên (P)
′= = = ′ ⇒ BK là phân giác của NBM ′
⇒ H thuộc mặt phẳng phân giác (Q) của nhị diện (AB, (d ) ;1 ) (AB, (d )2 )
Kẻ NI ⊥ BK ⇒ NI ⊥ (Q) ⇒ Góc (MN, (Q)) = ∠(MN Q, ( ))=IHN
2
IHN=IBN= NBM ′= ° (đpcm)
Ta có H thuộc mặt cầu đường kính AB suy ra điểm H thuộc giao của mặt cầu
đó với mặt phẳng (Q) Vậy quĩ tích điểm H là đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (Q) và H≡/A,B
MN =MA +AB +BN =a +k ⇒ MN = a2 +k2 (đpcm)
Với
2
k
2 ABMN
Max
12
ak
c Giả sử MN tiếp xúc mặt cầu đường kính AB suy ra OH OA OB= =
⇒ AM =MH BN; =NH ⇒ a2 +k2 =MN2 =(AM +BN)2 =k2 + ⋅2 AM BN⋅
2
a = ⋅AM BN⋅ 2
k
Bài 4 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau nhận AB làm đoạn vuông
góc chung Gọi M∈Ax ; N∈By là 2 điểm di động sao cho AM =BN
a Chứng minh rằng: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định đồng thời
MN hợp với Ax và By những góc bằng nhau
b Chứng minh rằng: Khi M, N di động thì tập hợp trung điểm I của MN là
đường vuông góc chung của AB, MN
c Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với Ax và By tại M, N
tương ứng Tìm quĩ tích giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
Bài 5 Cho hai đường thẳng cố định (∆), (∆′) chéo nhau và độ dài a cho trước
a. Dựng đường thẳng (d) ⊥ (∆) tại M và cắt (∆′) tại N sao cho MN a=
b Cho A∈(∆) và B∈(∆′) CMR: Tồn tại duy nhất mặt cầu (S) tiếp xúc với
(∆) và (∆′) lần lược tại A và B
Trang 5B TỨ DIỆN VUÔNG
Bài 1 Cho tứ diện vuông S.ABC Gọi G, H là trọng tâm, trực tâm của ∆ABC
còn O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Kí hiệu các độ dài
SA=a SB=b SC= và diện tích c sS=S∆ABC, sA =S∆SBC,sB =S∆SCA, sC=S∆SAB
1 Chứng minh rằng: ∆ABC nhọn
2 Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABC)
3 Chứng minh rằng:
SH =SA + SB + SC
4 Chứng minh rằng: 3 sS≥sA +sB+sC
5 Chứng minh rằng: S, G, O thẳng hàng
6 Giả sử SC cố định còn A, B ∈ (d) cố định Kẻ SE ⊥ CA, SF ⊥ AB
Tìm quĩ tích E, F CMR: Tâm cầu O thuộc 1 đường thẳng cố định
7. Giả sử SC c const= , SA+SB=k const
a Tìm SA để VSABC max
b Tìm quĩ tích tâm O Chứng minh rằng: Khi VSABC max thì R cần min
c Cho k c= CMR: Tổng các góc phẳng của đỉnh C bằng
2 π CMR: Mặt phẳng (CAB) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định
8 Lấy M ∈ ∆ABC Gọi k/c từ M tới (SBC), (SCA), (SAB) là a b c1, 1, 1
a Tính , ,a b c theo a b c1, 1, 1 để VSABC min
b Tính , ,a b c theo a b c1, 1, 1 để a+ + min b c
c Gọi , ,α β γ là góc giữa SM với SA, SB, SC Chứng minh rằng:
cos α +cos β +cos γ = 1
9. Giả sử CA = 2.SB, CB = 2.SA Kẻ SE ⊥ CA, SF ⊥ CB
a Chứng minh rằng: EF ⊥ SC b Tính cos ESF
c Gọi I là điểm giữa AB Chứng minh rằng:
4 4
tg
1 tg
SCI EF AB SCA
10. Giả sử ∆ABC đều cạnh l Kéo dài HS lấy SS1 =SH CMR: S ABC1 đều
Trang 6Giải
2
C
2 i Nếu H là trực tâm ∆ABC suy ra CH ⊥AB mà CS ⊥AB ⇒ SH ⊥ AB
Tương tự suy ra SH ⊥ BC Vậy SH ⊥ (ABC)
i Nếu SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AB Lại có SC ⊥ AB ⇒ CH ⊥ AB
Tương tự suy ra AH ⊥ BC ⇒ H là trực tâm ∆ABC
3 Gọi K = (CH) ∩ (AB) ⇒ CK ⊥ AB và SK ⊥ AB Khi đó:
4
5 Dựng hình hộp chữ nhật SAC′BCB′S′A′, khi đó O là tâm hình hộp và cũng
là trung điểm của đường chéo SS′ ⇒ S, G, O thẳng hàng
6 Điểm E, F nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính CS với
mặt phẳng (C, (d)) Tâm O thuộc giao tuyến cố định của mặt phẳng trung trực đoạn CS với mặt phẳng chứa (d) và vuông góc (S, (d))
SABC
1
SABC
Max
b Khi A, B di động sao cho SA SB k+ = thì C′∈PQ với SP=SQ= k
Dễ thấy S, A, B, C nằm trên mặt cầu đường kính CC′ với tâm O là trung điểm của CC′ ⇒ Quĩ tích O là đoạn P′Q′ với P′,Q′ là trung điểm của CP và CQ
k
R= CC′= SC +SA +SB ≥ c + SA+SB = c +
Rõ ràng Max VSABC và MinR đều đạt tại
2
k
x=
Trang 7c cosACB SC2 SC SA( SB) SA SC SC SB
+
sinACS.cosBCS cosACS.sinBCS
2
ACB+ACS+BCS=π
i Gọi P1, Q1 là trung điểm của SP, SQ Xét hình lập phương cạnh
2
k là
1 1 1 2 2 2 2
SP C Q S P C Q Khi đó hình cầu nội tiếp lập phương sẽ tiếp xúc với (CAB)
8 a SABC MSAB MSBC MSCA ( 1 1 1)
1 6
SABC
1
abc
abc bca cab abc
Ta có:
3
1 1 1
2
3
1
c Dựng hình chữ nhật SA M B C A MB1 1 1 1 ′ ′ nhận SM làm đường chéo Khi đó:
9 Từ giả thiết CA = 2.SB, CB = 2.SA ta có:
CB −SB =CA −SA ⇔ SA −SB = SB −SA ⇔SA=SB
a ∆SCA = ∆SCB ⇒ SE SF= ⇒ CE=CF ⇒ CE CF
CA=CB ⇒ EF // AB
Trang 8b 2 2 2 2 2 2
2
ESF
Do CA=2.SA suy ra trong tam giác vuông SCA thì ,
SCA=π SAC=π
2
CE=CA−EA= SA
4
ESF = − =
c Ta có:
1
tg
SA SI
SCI
4
CE EF
AB =CA=
4
4
1
tg
SCI EF
AB SCA
10 ∆ABC đều nên
l AB
l AB
SB=SA= =
S A =S H +HA =l ⇒S A= l
Vậy SABC đều (đpcm)
Bài 2 Trên mặt phẳng (P), cho một điểm O cố định, một đường thẳng (d) cố
định không đi qua O, một góc vuông xOy quay quanh điểm O, các cạnh Ox, Oy
cắt (d) theo thứ tự ở A và B Trên đường thẳng vuông góc với (P) đi qua O lấy
điểm S Gọi a là khoảng cách từ O đến (d) và OAB= α
a Tính góc α khi 8
3
a
3
SA= OA
b Kẻ OE ⊥ SA, OF ⊥ SB Tìm quĩ tích của các điểm E, F khi góc vuông xOy
quay quanh O
Bài 3 Cho mặt cầu tâm O cố định Xét một tam diện 3 góc vuông có đỉnh S cố
định trên mặt cầu và các cạnh cắt mặt cầu lần lượt tại A, B, C Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định