tài liệu xác suất thống kê

Anh ta th ng u nhiên t ng chìa chìa nào không trúng thì b ra... lÇn lÇn ii... trong đó Γxlà hàm Gamma.

SÁCH H NG D N H C T P

Lý thuy t xác su t c ng là c s đ nghiên c u Th ng kê – môn h c nghiên c u các các

ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, x lý thông tin, nh m rút ra các k t lu n ho c quy t

đ nh c n thi t Ngày nay, v i s h tr tích c c c a máy tính đi n t và công ngh thông tin, lý thuy t xác su t th ng kê ngày càng đ c ng d ng r ng rãi và hi u qu trong m i l nh v c khoa

h c t nhiên và xã h i Chính vì v y lý thuy t xác su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t các nhóm ngành đ i h c

Có nhi u sách giáo khoa và tài li u chuyên kh o vi t v lý thuy t xác su t th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên ph i làm vi c đ c

l p nhi u h n, vì v y c n ph i có tài li u h ng d n h c t p c a t ng môn h c thích h p cho đ i

t ng này T p tài li u “H ng d n h c môn toán xác su t th ng kê” này đ c biên so n c ng

nh m m c đích trên

T p tài li u này đ c biên so n cho h đ i h c chuyên ngành i n t -Vi n thông theo đ

c ng chi ti t ch ng trình qui đ nh c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông N i dung

c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i h c kh i k thu t và theo kinh nghi m

gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm tài li u h c

t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các ngành đ i h c và cao đ ng kh i k thu t Giáo trình g m 6 ch ng t ng ng v i 4 đ n v h c trình (60 ti t):

Ch ng VI: Quá trình ng u nhiên và chu i Markov

i u ki n tiên quy t môn h c này là hai môn toán cao c p đ i s và gi i tích trong ch ng trình toán đ i c ng Tuy nhiên vì s h n ch c a ch ng trình toán dành cho hình th c đào t o t

xa, do đó nhi u k t qu và đ nh lý ch đ c phát bi u và minh h a ch không có đi u ki n đ

ch ng minh chi ti t

Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c

đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n

m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t

và ch d n rõ ràng c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c

m r ng t ng quát h n các k t qu và h ng ng d ng vào th c t H u h t các bài toán đ c xây

d ng theo l c đ : đ t bài toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này Các ví d là đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng h n khi ti p thu bài h c Sau các ch ng có ph n tóm t t các n i dung chính và cu i cùng là các câu h i luy n t p Có kho ng t 20 đ n 30 bài t p cho m i ch ng, t ng ng vói 3 -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i này bao trùm toàn b n i dung v a đ c h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p các ki n th c v a đ c h c

nh ng c ng có nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p và sáng t o các ki n

th c đ gi i quy t Vì v y vi c gi i các bài t p này giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình

Tuy r ng tác gi đã r t c g ng, song vì th i gian b h n h p cùng v i yêu c u c p bách c a

H c vi n, vì v y các thi u sót còn t n t i trong giáo trình là đi u khó tránh kh i Tác gi r t mong

s đóng góp ý ki n c a b n bè đ ng nghi p, h c viên xa g n và xin cám n vì đi u đó

Cu i cùng chúng tôi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông, Trung tâm ào t o B u Chính Vi n Thông 1 và b n bè đ ng nghi p đã khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thành t p tài li u này

CH NG I: CÁC KHÁI NI M C B N V XÁC SU T

GI I THI U

Các hi n t ng trong t nhiên hay xã h i x y ra m t cách ng u nhiên (không bi t tr c k t

qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra) Ch ng h n ta bi t ch c ch n r ng lông c a qu có

m u đen, m t v t đ c th t trên cao ch c ch n s r i xu ng đ t ó là nh ng hi n t ng di n

ra có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i khi tung đ ng xu ta không bi t m t s p hay m t ng a s xu t

hi n Ta không th bi t có bao nhiêu cu c g i đ n t ng đài, có bao nhiêu khách hàng đ n đi m

ph c v trong kho ng th i gian nào đó Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khoán trên th

tr ng ch ng khoán… ó là nh ng hi n t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hành quan sát khá nhi u l n m t hi n t ng ng u nhiên trong nh ng hoàn c nh nh nhau, thì trong nhi u tr ng h p

ta có th rút ra nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hi n t ng này Lý thuy t xác su t nghiên c u các qui lu t c a các hi n t ng ng u nhiên Vi c n m b t các quy lu t này s cho phép

d báo các hi n t ng ng u nhiên đó s x y ra nh th nào Chính vì v y các ph ng pháp c a lý thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rãi trong vi c gi i quy t các bài toán thu c nhi u l nh v c khác nhau c a khoa h c t nhiên, k thu t và kinh t -xã h i

Ch ng này trình bày m t cách có h th ng các khái ni m và các k t qu chính v lý thuy t xác su t:

- Các khái ni m phép th , bi n c

- Quan h gi a các bi n c

- Các đ nh ngh a v xác su t: đ nh ngh a xác su t theo c đi n, theo th ng kê

- Các tính ch t c a xác su t: công th c c ng và công th c nhân xác su t, xác su t c a

bi n c đ i

- Xác su t có đi u ki n, công th c nhân trong tr ng h p không đ c l p Công th c xác

su t đ y đ và đ nh lý Bayes

- Dãy phép th Bernoulli và xác su t nh th c

Khi n m v ng các ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con, ph n bù c a

m t t p con … h c viên s d dàng trong vi c ti p thu, bi u di n ho c mô t các bi n c

tính xác su t các bi n c theo ph ng pháp c đi n đòi h i ph i tính s các tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c và s các tr ng h p có th Vì v y h c viên c n n m v ng các ph ng pháp đ m - gi i tích t h p (đã đ c h c l p 12 và trong ch ng 1 c a toán đ i s A2) Tuy nhiên đ thu n l i cho ng i h c chúng tôi s nh c l i các k t qu chính trong m c 3

M t trong nh ng khó kh n c a bài toán xác su t là xác đ nh đ c bi n c và s d ng đúng các công th c thích h p B ng cách tham kh o các ví d và gi i nhi u bài t p s rèn luy n t t k

n ng này

̇ Phép th tung đ ng xu có không gian m u là Ω={S, N}

̇ V i phép th tung xúc x c, các bi n c s c p có th xem là s các n t trên m i m t xu t

hi n V y Ω={1,2,3,4,5,6}

̇ Phép th tung đ ng th i 2 đ ng xu có không gian m u là

Ω={(S,S),(S,N),(N,S),(N,N)}

Chú ý r ng b n ch t c a các bi n c s c p không có vai trò đ c bi t gì trong lý thuy t xác

su t Ch ng h n có th xem không gian m u c a phép th tung đ ng ti n là Ω={ }0,1 , trong đó 0

M i bi n c ch có th x y ra khi m t phép th đ c th c hi n, ngh a là g n v i không gian

m u nào đó Có hai bi n c đ c bi t sau:

• Bi n c ch c ch n là bi n c luôn luôn x y ra khi th c hi n phép th , bi n c này trùng

v i không gian m u Ω

• Bi n c không th là bi n c nh t đ nh không x y ra khi th c hi n phép th Bi n c

không th đ c ký hi u φ

Tung m t con xúc x c, bi n c xu t hi n m t có s n t nh h n hay b ng 6 là bi n ch c

ch n, bi n c xu t hi n m t có 7 n t là bi n c không th

1.1.3 Quan h gi a các bi n c

Trong lý thuy t xác su t ng i ta xét các quan h sau đây cho các bi n c

a Quan h kéo theo

Bi n c A kéo theo bi n c B, ký hi u A⊂B, n u A x y ra thì B x y ra

T ng c a m t dãy các bi n c {A1,A2, ,A n} là bi n c ∪n

i i

Hai bi n s A, B g i là xung kh c n u bi n c tích AB là bi n c không th Ngh a là hai

bi n c này không th đ ng th i x y ra

Chú ý r ng các bi n c v i phép toán t ng, tích và l y bi n c đ i t o thành đ i s Boole

do đó các phép toán đ c đ nh ngh a trên có các tính ch t nh các phép toán h p, giao, l y ph n

bù đ i v i các t p con c a không gian m u

A

1

{ }

Ví d 1.3: M t nhà máy có ba phân x ng s n xu t ra cùng m t lo i s n ph m Gi s r ng

m i s n ph m c a nhà máy ch do m t trong ba phân x ng này s n xu t Ch n ng u nhiên m t

s n ph m, g i A1,A2,A3 l n l t là bi n c s n ph m đ c ch n do phân x ng th nh t, th hai, th ba s n xu t Khi đó h ba bi n c A1,A2,A3 là h đ y đ

g Tính đ c l p c a các bi n c

Hai bi n c A và B đ c g i là đ c l p v i nhau n u vi c x y ra hay không x y ra bi n c này không nh h ng t i vi c x y ra hay không x y ra bi n c kia

T ng quát các bi n c A1,A2, ,A nđ c g i là đ c l p n u vi c x y ra hay không x y ra

c a m t nhóm b t k k bi n c , trong đó 1≤k≤n, không làm nh h ng t i vi c x y ra hay không x y ra c a các bi n c còn l i

F = G= A B C∪A B C∪A B C

c Ba bi n c A,B,C đ c l p nh ng không xung kh c

1.2 NH NGH A XÁC SU T VÀ CÁC TÍNH CH T

Vi c bi n c ng u nhiên x y ra hay không trong k t qu c a m t phép th là đi u không th

bi t ho c đoán tr c đ c Tuy nhiên b ng nh ng cách khác nhau ta có th đ nh l ng kh n ng

xu t hi n c a bi n c , đó là xác su t xu t hi n c a bi n c

Xác su t c a m t bi n c là m t con s đ c tr ng kh n ng khách quan xu t hi n bi n c đó khi th c hi n phép th

Gi s phép th C tho mãn hai đi u ki n sau:

(i) Không gian m u có m t s h u h n ph n t

(ii) Các k t qu x y ra đ ng kh n ng

Khi đó ta đ nh ngh a xác su t c a bi n c A là

thÓcã hîptr−êngsè

víièilîithuËn hîptr−êng

A P

cña töphÇnsè

cña töphÇnsè)

3)(A = =

A C

k n k

n = = − (1.3)

Ví d 1.6: Tung m t con xúc x c hai l n Tìm xác su t đ trong đó có 1 l n ra 6 n t

Gi i: S các tr ng h p có th là 36 G i A là bi n c “ trong 2 l n tung con xúc x c có 1

l n đ c m t 6” N u l n th nh t ra m t 6 thì l n th hai ch có th ra các m t t 1 đ n 5, ngh a là

có 5 tr ng h p T ng t c ng có 5 tr ng h p ch xu t hi n m t 6 l n tung th hai Áp d ng quy t c c ng ta suy ra xác su t đ ch có m t l n ra m t 6 khi tung xúc x c 2 l n là

!6

6

k k C

6(

!6

6 =

−

k k A

Ví d 1.8: M t ng i g i đi n tho i quên m t hai s cu i c a s đi n tho i và ch nh đ c

r ng chúng khác nhau Tìm xác su t đ quay ng u nhiên m t l n đ c đúng s c n g i

Gi i: G i A là bi n c “quay ng u nhiên m t l n đ c đúng s c n g i” S các tr ng h p

nh ngh a xác su t theo c đi n tr c quan, d hi u Tuy nhiên khi s các k t qu có th vô

h n ho c không đ ng kh n ng thì cách tính xác su t c đi n không áp d ng đ c

Gi s phép th C có th đ c th c hi n l p l i nhi u l n đ c l p trong nh ng đi u ki n

gi ng h t nhau N u trong n l n th c hi n phép th C, bi n c A xu t hi n k n ( A) l n thì t s

n

A k A

f n n( ))

đ nh ngh a th ng kê v xác su t c ng ch áp d ng cho các phép th mà có th l p l i đ c nhi u

l n m t cách đ c l p trong nh ng đi u ki n gi ng h t nhau Ngoài ra đ xác đ nh m t cách t ng

đ i chính xác giá tr c a xác su t thì c n ti n hành m t s n đ l n l n các phép th , mà vi c này

đôi khi không th làm đ c vì h n ch v th i gian và kinh phí

Ngày nay v i s tr giúp c a công ngh thông tin, ng i ta có th mô ph ng các phép th

ng u nhiên mà không c n th c hi n các phép th trong th c t i u này cho phép tính xác su t theo ph ng pháp th ng kê thu n ti n h n

1.2.4 nh ngh a xác su t theo hình h c

nh ngh a 1.3: Gi s không gian m u Ω có th bi u di n t ng ng v i m t mi n nào

đó có di n tích (th tích, đ dài) h u h n và bi n c A t ng ng v i m t mi n con c a Ω thì xác su t c a bi n c A đ c đ nh ngh a:

Ω

=)(

tÝchdiÖn

m t th i đi m trong kho ng th i gian nói trên và h

quy c r ng ai đ n tr c thì ch đ i ng i kia trong

9160

451)

=

⇒

tÝchdiÖn

y

1.2.6.2 Qui t c c ng xác su t

a Tr ng h p xung kh c

N u A, B là hai bi n c xung kh c thì

)()()

i

A P

1 1

)(

̇ N u A,B,C là ba bi n c b t k thì

)()()()()()()()

̇ N u {A1,A2, ,A n} là dãy các bi n c b t k

)

()1()

()

()

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i

i n

−+

III S n ph m đ c cho là đ t ch t l ng n u thu c lo i I ho c lo i II Ch n ng u nhiên 1 s n

ph m tìm xác su t đ s n ph m này đ t tiêu chu n ch t l ng

Gi i: G i A1,A2,A3 l n l t là bi n c s n ph m đ c ch n thu c lo i I, II, III Ba bi n c này xung kh c t ng đôi m t P(A1)=0,25, P(A2)=0,55, P(A3)=0,20 G i A là bi n c s n

ph m đ c ch n đ t tiêu chu n ch t l ng V y A= A1∪A2

8,055,025,0)()()(A =P A1 +P A2 = + =

1.2.5 Nguyên lý xác su t l n, xác su t nh

M t bi n c không th có xác su t b ng 0 Tuy nhiên m t bi n c có xác su t b ng 0 v n có

th x y ra trong m t s l n các phép th Qua th c nghi m và quan sát th c t , ng i ta th y r ng các bi n c có xác su t nh s không x y ra khi ta ch th c hi n m t phép th hay m t vài phép

th T đó ta th a nh n nguyên lý sau đây, g i là “Nguyên lý xác su t nh ”: N u m t bi n c có

xác su t r t nh thì th c t có th cho r ng trong m t phép th bi n c đó s không x y ra

Ch ng h n m i chi c máy bay đ u có m t xác su t r t nh b x y ra tai n n Nh ng trên

th c t ta v n không t ch i đi máy bay vì tin t ng r ng trong chuy n bay ta đi s ki n máy bay

g n b ng 1 thì trên th c t có th cho r ng bi n c đó s x y ra trong m t phép th ” C ng nh

trên, vi c quy đ nh m t m c xác su t th nào đ c g i là l n s tùy thu c vào t ng bài toán c

)(

A P

AB P A B

Ví d 13:Gieo đ ng th i hai con xúc x c cân đ i Tính xác su t đ t ng s n t xu t hi n trên hai con xúc x c ≥10 bi t r ng ít nh t m t con đã ra n t 5

̇ N u {A1, A2, , A n} là càc bi n c đ c l p thì

(A A A n) P( ) ( ) ( )A P A P A n

P 1 2 = 1 2 (1.13) 1.3.2.2 Tr ng h p t ng quát:

925

1525

625

725

1025

Ví d 1.15: M t th kho có m t chùm chìa khóa g m 9 chi c, b ngoài chúng gi ng h t

nhau nh ng trong đó ch có đúng 2 chi c m đ c kho Anh ta th ng u nhiên t ng chìa (chìa nào không trúng thì b ra) Tính xác su t đ m đ c kho l n th ba

( )1

( )1

7

1

;15,0)(,85,0)

685,0)

()

=P A P T A P B P T B T

b Áp d ng công th c Bayes ta có

7473,07

685,0)

T P

A T P A P T A

M i bi n c này có xác su t k n k

k n k

p p

A A A A

(

lÇn lÇn

(ii) Khi k t ng t 0 đ n n thì P n(k;p) m i đ u t ng sau đó gi m và đ t giá tr l n nh t

t i k = tho mãn: m

p n m p

;1(

p k n k

n

q p k n k n

p k

P

p k

P

k n k

k n k

n

)!

1(

)!

1(

!

)!

(

!)

;1

+

−

=+

p k

p k P

p k P

n

n

)(

)1)(

1()

;1(

)

;(

−

−+

=+

p k P

p k P

n

)

;1(

)

;(

Khi m=(n+1)p thì ( ( 1) 1) 1

)1)(

1()

;(

)

;1(

=++

−

−+

=

−

p p n n

p p n

p m P

p m P

;1

Ví d 1.19: Tín hi u thông tin đ c phát đi 3 l n đ c l p nhau Xác su t thu đ c m i l n là 0.4

a) Tìm xác su t đ ngu n thu nh n đ c thông tin đúng 2 l n

b) Tìm xác su t đ ngu n thu nh n đ c thông tin đó

c) N u mu n xác su t thu đ c tin ≥0,9 thì ph i phát đi ít nh t bao nhiêu l n

Gi i: Có th xem m i l n phát tin là m t phép th Bernoulli mà s thành công c a phép th

là ngu n thu nh n đ c tin, theo gi thi t xác su t thành công c a m I l n th là 0,4 V y:

a) Xác su t đ ngu n thu nh n đ c thông tin đúng 2 l n là

( ) ( )0,4 0,6 0,288)

4,0

;3

b) Xác su t đ ngu n thu nh n đ c thông tin là P=1−( )0,6 3 =0,784

c) Xác su t đ ngu n thu nh n đ c thông tin khi phát n l n là ( )n

P=1− 0,6

V y n u mu n xác su t thu đ c tin≥0,9 thì ph i phát đi ít nh t n l n sao cho:

778,01

16

,0lg

1,0lg1

,06,09,06

nh ngh a c đi n v xác su t

Xác su t c a bi n c A là

thÓcã hîptr−êngsè

víièilîithuËn hîptr−êng

)()( ≈ = trong đó k n ( A)s l n xu t hi n bi n

A n phép th

Quan h kéo theo

Bi n c A kéo theo bi n c B, ký hi u A⊂B, n u A x y ra thì B x y ra

T ng quát các bi n c A1,A2, ,A nđ c g i là đ c l p n u vi c x y ra hay không x y ra

c a m t nhóm b t k k bi n c , trong đó 1≤k≤n, không làm nh h ng t i vi c x y ra hay không x y ra c a các bi n c còn l i

Qui t c c ng

A P

1 1

)(

Tr ng h p t ng quát

)()()()

)()()()()()()()

)

()1()

()

()

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i

i n

−+

Quy t c nhân

Tr ng h p đ c l p:

)()()(AB P A P B

P = P(A1A2 A n)=P( ) ( ) ( )A1 P A2 P A n

Tr ng h p không đ c l p:

( )B A P A P AB

P( )= ( ) ; ( 1 2 n) ( )1 ( 2 1) ( 3 1 2) ( n 1 2 n 1)

C ông th c xác su t đ y đ

Gi s {A A1, 2, , A n} là m t h đ y đ V i m i bi n c B ta có:

( )1

Khi m=[(n+1)p] thì P n(m;p)=C n m p m(1−p)n−m đ t giá tr l n nh t G i m là giá tr

có kh n ng x y ra l n nh t c a dãy phép th Bernoulli

CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P

1.1 Ta có th có hai không gian m u Ω các bi n c s c p cho cùng m t phép th C?

a) C 3 chi ti t l y ra thu c lo i đ t tiêu chu n

b) Trong s 3 chi ti t l y ra có 2 chi ti t đ t tiêu chu n

1.12 Thang máy c a m t tòa nhà 7 t ng xu t phát t t ng m t v i 3 khách Tìm xác su t đ : a) T t c cùng ra t ng b n

1.21 M t nhà máy ôtô có ba phân x ng I, II, III cùng s n xu t ra m t lo i pít-tông Phân x ng

I, II, III s n xu t t ng ng 36%, 34%, 30% s n l ng c a nhà máy, v i t l ph ph m

v t đ n đó là v t đ n c a viên đ n th nh t

1.24 M t nhà máy s n xu t m t chi ti t c a đi n tho i di đ ng có t l s n ph m đ t tiêu chu n

ch t l ng là 85% Tr c khi xu t x ng ng i ta dùng m t thi t b ki m tra đ k t lu n s n

ph m có đ t yêu c u ch t l ng hay không Thi t b có kh n ng phát hi n đúng s n ph m đ t tiêu chu n v i xác su t là 0,9 và phát hi n đúng s n ph m không đ t tiêu chu n v i xác su t

là 0,95 Tìm xác su t đ 1 s n ph m đ c ch n ng u nhiên sau khi ki m tra:

a) c k t lu n là đ t tiêu chu n

b) c k t lu n là đ t tiêu chu n thì l i không đ t tiêu chu n

c) c k t lu n đúng v i th c ch t c a nó

ng u nhiên X có th đ c kh o sát thông qua hàm phân b xác su t c a nó F x( )=P X{ <x}

Nh v y khi ta bi t qui lu t phân b xác su t c a m t bi n ng u nhiên thì ta đã n m đ c toàn b thông tin v bi n ng u nhiên này

Khi bi n ng u nhiên ch nh n các giá tr r i r c thì hàm phân b xác su t hoàn toàn đ c xác đ nh b i b ng phân b xác su t, đó là b ng ghi các giá tr mà bi n ng u nhiên nh n v i xác

su t t ng ng Khi bi n ng u nhiên nh n giá tr liên t c thì hàm phân b xác su t đ c xác đ nh

b i hàm m t đ xác su t

Ngoài ph ng pháp s d ng hàm phân b đ xác đ nh bi n ng u nhiên, trong nhi u tr ng

h p bài toán ch đòi h i c n kh o sát nh ng đ c tr ng c b n c a bi n ng u nhiên

Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên đ c chia thành hai lo i sau:

¬ Các đ c tr ng cho v trí trung tâm c a bi n ng u nhiên nh : K v ng, Trung v , M t

¬ Các đ c tr ng cho đ phân tán c a bi n ng u nhiên nh : Ph ng sai, l ch chu n, H

s bi n thiên, H s b t đ i x ng và H s nh n

Trong các bài toán th c t k v ng đ c s d ng d i d ng l i nhu n k v ng còn ph ng sai đ tính m c đ r i ro c a quy t đ nh Trong k thu t đ l ch chu n bi u di n sai s c a phép

đo

Trong ch ng này ta xét các quy lu t phân b xác su t quan tr ng sau:

- Quy lu t nh th c, quy lu t này th ng g p trong dãy phép th Bernoulli

- Quy lu t Poisson, quy lu t này th ng g p trong bài toán v quá trình đ m s xu t

hi n bi n c A nào đó Quá trình đ n c a các h ph c v

- Quy lu t phân b đ u, quy lu t phân b đ u trên m t đo n là quy lu t phân b xác su t

c a bi n ng u nhiên liên t c đ ng kh n ng l y giá tr trong kho ng đó Quy lu t phân

b đ u có ng d ng r ng trong th ng kê toán Nó có ý ngh a to l n trong các bài toán

Phân b chu n th ng đ c g p trong các bài toán v sai s khi đo đ c các đ i l ng trong

v t lý, thiên v n Trong th c t , nhi u bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n ho c ti m c n chu n (đ nh lý gi i h n trung tâm) ch ng h n: tr ng l ng, chi u cao c a m t nhóm ng i nào đó,

đi m thi c a thí sinh, n ng su t cây tr ng, m c lãi su t c a m t công ty, nhu c u tiêu th c a m t

Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên đ c xác đ nh thông qua tính t ng c a các s h ng nào

đó (tr ng h p bi n ng u nhiên r i r c) ho c tính tích phân xác đ nh (tr ng h p bi n ng u nhiên liên t c) Vì v y h c viên c n ôn t p v tích phân xác đ nh

Nh v y đ i v i bi n ng u nhiên ng i ta ch quan tâm xem nó nh n m t giá tr nào đó

ho c nh n giá tr trong m t kho ng nào đó v i m t xác su t bao nhiêu

Ng i ta phân các bi n ng u nhiên thành hai lo i:

¬ Bi n ng u nhiên r i r c n u nó ch nh n m t s h u h n ho c vô h n đ m đ c các giá

tr Ngh a là có th li t kê các giá tr thành m t dãy x ,x ,

¬ Bi n ng u nhiên liên t c n u các giá tr c a nó có th l p đ y m t ho c m t s các

kho ng h u h n ho c vô h n và xác su t P{X =a} b ng không v i m i a

• S cu c g i đ n m t t ng đài là bi n ng u nhiên r i r c nh n các giá tr 0,1, 2,

• Sai s khi đo l ng m t đ i l ng v t lý Y nào đó là bi n ng u nhiên liên t c nh n giá tr trong m t kho ng

2 1

p p P

x x X

• N u bi n ng u nhiên r i r c X nh n vô h n các giá tr x1, x2, thì hàm phân b có

p

x x x

F

k k

0)

(

1 1

2 1

1

nÕu

nÕu

≤

n

k k

k

x x

x x x p

p p

x x x

F

nÕu

nÕu

nÕu

1

0)

50

151

92

13

32

10

P X

32

30/29

21

30/20

10

30/5

00

)(

x x x x x

x F

nÕu

nÕu

nÕu

nÕu

Õu n

th

~ n1 n2 p Y

g i là có phân b Poisson tham s λ > , ký hi u 0 X ~P( )λ

Trong th c t v i m t s gi thi t thích h p thì các bi n ng u nhiên là các quá trình đ m sau:

1) S cu c g i đ n m t t ng đài

2) S khách hàng đ n 1 đi m ph c v

3) S xe c qua 1 ngã t

4) S tai n n (xe c ); s các s c x y ra m t đ a đi m …

trong m t kho ng th i gian xác đ nh nào đó s có phân b Poisson v i tham s λ là t c đ trung bình di n ra trong kho ng th i gian này

Ví d 3.3: m t t ng đài đi n tho i các cu c g i đ n m t cách ng u nhiên, đ c l p và trung bình có 2 cu c g i trong 1 phút Tìm xác su t đ :

a) Có đúng 5 cu c g i đ n trong 2 phút (bi n c A)

b) Không có m t cu c g i nào trong 30 giây (bi n c B)

c) Có ít nh t 1 cu c g i trong 10 giây (bi n c C)

Gi i: N u ký hi u X (t) là s cu c g i đ n t ng đài trong kho ng th i gian t phút thì

45

)2()

Quy lu t Poisson có ng d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c th c t nh ki m tra ch t l ng

s n ph m, lý thuy t qu n tr d tr , lý thuy t s p hàng, các h ph c v đám đông, các bài toán chuy n m ch trong t ng đài …

N u X1, X2 là hai bi n ng u nhiên đ c l p có phân b Poisson tham s l n l t λ , 1 λ thì 2

1 2

X +X c ng có phân b Poisson tham s λ λ1+ 2

X1+X2 ~P(λ1+λ2) (2.13)

2.3 BI N NG U NHIÊN LIÊN T C

2.3.1 Hàm m t đ phân b xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c

nh ngh a 2.5: Gi s X là m t bi n ng u nhiên liên t c có hàm phân b F (x) N u t n

00

)

x

x kx

x x

F

víivíivíi

)(

x k

x x

f

víivíi

x

k dx x f

)(

)()

(

x x

x

x dt

t f x F

x

víivíi

c T công th c (2.13) ta có { }

6

12

13

2)2()3(3

2< X < =F −F = − =

d Xác su t đ X không l y giá tr trong kho ng (2;3) trong m t phép th b ng

6

56

nÕu

0

1)

b x a a

b

a x

a x dt

t f x F

x

nÕu

nÕu

nÕu

1

0

)()

Quy lu t phân b đ u có nhi u ng d ng trong th ng kê toán nh mô ph ng th ng kê, đ c

bi t trong ph ng pháp phi tham s Trong m t s lý thuy t k t lu n th ng kê ng i ta th ng

xu t phát t quy t c sau đây: N u ta không bi t gì v giá tr c a tham s c n c l ng thì m i giá

tr có th có c a tham s đó là đ ng kh n ng i u đó d n đ n vi c quan ni m tham s c n c

l ng nh m t bi n ng u nhiên có quy lu t phân b đ u

0)

(

x

x e

x f

x

nÕu

nÕu

λλ

x e

x dt

t f x F

x

x

nÕu

nÕu

Phân b m th ng xu t hi n trong các bài toán v th i gian s ng c a m t loài sinh v t,

tu i th c a thi t b … ho c kho ng th i gian gi a hai l n xu t hi n c a m t bi n c E nào đó mà

s l n xu t hi n c a E tuân theo lu t phân b Poisson

Ví d 2.5: Tu i th c a m t m ch đi n t trong máy tính là m t bi n ng u nhiên có phân b

m tham s λ >0 Gi s tu i th trung bình c a m ch đi n t này là 1 =6,25

V y có kho ng 55% s m ch đi n t bán ra ph i thay th trong th i gian b o hành

Bi n ng u nhiên X đ c g i là không nh (memoryless) n u

G( )= − λ

V y bi n ng u nhiên X không nh khi và ch khi X có phân b m Vì v y phân b m còn đ c g i là phân b Markov

2.3.4 Quy lu t phân b Erlang−k

nh ngh a 2.8: Bi n ng u nhiên X có phân b Erlang − tham s k λ>0 n u hàm m t

0)!

1()(

1

x

x e

x k x f

x k k

nÕu

nÕu

Có th ch ng minh đ c r ng n u X1,X2, ,X k là k bi n ng u nhiên đ c l p cùng có phân b m tham s λ>0 thì X = X1+X2 + + X k có phân b Erlang− tham s λ k

( ) 2

− −

= ∀ ∈5 (2.26)

Phân b chu n đ c Gauss tìm ra n m 1809 nên nó còn đ c g i là phân b Gauss Phân

b chu n th ng đ c th y trong các bài toán v sai s g p ph i khi đo đ c các đ i l ng v t lý, thiên v n

Trong th c t , nhi u bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n ho c ti m c n chu n ( nh lý

gi i h n trung tâm) Ch ng h n: tr ng l ng, chi u cao c a m t nhóm ng i nào đó, đi m thi c a thí sinh, n ng su t cây tr ng, m c lãi su t c a m t công ty, nhu c u tiêu th c a m t m t hàng nào

- Do đó khi μ t ng lên thì đ th d ch sang ph i, còn khi μ gi m đ th d ch sang trái

- Khi σ t ng lên thì đ th s th p xu ng, còn khi σ gi m đ th cao lên và nh n h n

−Φ

μ

−Φ

μ

−Φ

y

π

21

O

)(

1−Φ a

)

( a−Φ

21002200

,0200

Hai công th c trên là c s c a quy t c hai xích ma và ba xích ma:

N u X có phân b chu n N(μ;σ2)thì có đ n 95,44% giá tr c a X n m trong kho ng

(μ−2 ;σ μ+2σ) và h u nh toàn b giá tr c a X n m trong kho ng (μ−3 ;σ μ+3σ)

0)

2/(2)

1 2 /

x

x e

n

x x

f

x n

n

nÕu

nÕu

(2.37)

n i

Phân b χ do Karl Pearson đ a ra vào n m 1900 2

T (3.34) suy ra r ng n u X1, X2 là hai bi n ng u nhiên đ c l p có phân b khi bình

ph ng l n l t n và 1 n b c t do thì 2 X1+X2 là bi n ng u nhiên có phân b khi bình ph ng

2

1 n

n + b c t do

2 2

1 X ~ n1 n2

Giá tr t i h n khi bình ph ng n b c t do m c α , ký hi u χ2α(n), đ c đ nh ngh a nh sau:

=

+

−

t n

t n

n

n t

f

n

,1

2/2

1)

) 1 ( 2

(2.41)

y

)(

trong đó Γ(x)là hàm Gamma

Ng i ta ch ng minh đ c r ng n u Z ~ N(0;1), V ~χ2n; Z và V đ c l p thì

n V

Z

Giá tr t i h n m c α c a phân b Student n b c t do ký hi u t n(α) th a mãn:

P{T >tα(n)}=α (2.43)

B ng tính các giá tr t i h n tα(n)cho trong Ph l c IV

Hàm m t đ (3.38) là hàm ch n nên đ th đ i x ng qua tr c tung Khi s b c t do t ng lên, phân b Student h i t r t nhanh v phân b chu n t c N(0;1) Do đó khi n đ l n ( n≥30)

có th dùng phân b chu n t c thay cho phân b Student Tuy nhiên khi n nh ( n<30) vi c thay

i p x X

1 n

tα −