tài liệu xác suất ma trận

Công thức nhân về xác suất :a Xác xuất có điều kiện : Gọi P B / A là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện... Chứng minh : Gọi E là không gian mẫu chứa hai b

LÝ THUYẾT THÔNG TIN

Bùi Văn Thành

thanhbv@uit.edu.vn

Tháng 7 năm 2013

1

Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin

KHOA MẠNG & TRUYỀN THÔNG

Chương 0

XÁC SuẤT

MA TRẬN2

XÁC SU T (Probability)  Ấ

1.1 THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ:

1.1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)

Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính : -Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra -Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy

-Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau.

-Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra

3

1.1.2 Không gian mẫu (Sample Space)

Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của thí nghiệm đó.

Ví dụ: Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là: E = {1, 2,

b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện)

Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố:

-nếu r A ta nói biến cố A xảy ra ∈ -nếu r A ta nói biến cố A không xảy ra ∉

Ví dụ:

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì:

-Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 {2, 4, 6} ∈ -Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 {1, 3, 5} ∉

1.1.4 Các phép tính về biến cố

Cho 2 biến cố A, B với A E và B E ⊂ ⊂

a) Biến cố hội A ∪ B (Union): Biến cố hội của 2 biến cố A và B

được ký hiệu là A B: A B xảy ra ∪ ∪  (A xảy ra HAY B xảy ra)

b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection): A ∩ B xảy ra (A xảy ra

VÀ B xảy ra)

A∩B 6

c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A):A xảy ra  A

Ví dụ:

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5} -Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6} -Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng

Ta có: A B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A = {2,4,6} : biến ∪

cố khi mặt chẵn xuất hiện A ∩ C = φ => A và C là 2 biến

cố cách biệt

e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)

Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong không gian mẫu E Nếu A1 A2 … Ak = E thì K biến cố trên được gọi là ∪ ∪ ∪một hệ đầy đủ

8

P(A) = Số trường hợp A xảy ra/Số trường hợp cóthể xảy ra

a Gọi A là một biến cố bất kỳ trong khơng gian mẫu E : 0 ≤ P(A) ≤ 1

b P (φ) = 0 => φ là Biến cố vơ phương P (E) = 1 => E là Biến cố chắc chắn

9

n(A B)=n1 + n2 + n3= n1+n2+n2+n3 –n2 = n(A) +n(B) -n(A ∩ B) ∪

Do đó : n( A B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N ∪ P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ∪

10

Ghi chú :

Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:

A ∩ B = φ =>P(A ∩ B) = P(φ) = 0

==> P (A B) = P(A) + P(B) ∪

b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập)

Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là A :

1.2.4 Công thức nhân về xác suất :

a) Xác xuất có điều kiện :

Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện

Với P(A) > 0 ; P(B) > 0 12

Chứng minh : Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn

A làm không gian mẫu thu gọn

Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A

Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A

b) Công thức nhân về xác suất:

Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính:

P(A∩B) = P(B/A) * P(A) hay P(A∩B) = P(A/B) * P(B)

c) Biến cố độc lập :

Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố B không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là: P(B/A) = P(B) ngược lại: P(A/B) = P(A) Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành:

P(A∩B) = P(A) * P(B) 14

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

a) Công thức xác suất đầy đủ :

Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau từng đôi một A1, A2…, Ak

Theo giả thiết bài toán thì

B = (B ∩ A1) (B ∩ A2) … (B∩Ak) ∪ ∪ ∪P(B)= P[(B∩A1) (B∩A2) … (B∩Ak)] = P(B∩A1) ∪ ∪ ∪+ P(B∩A2) + … + P(B∩Ak)

Vì: P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai)

k

P(B) = ∑ P(B/ Ai)*P(Ai) i=1

Công thức này được gọi là công thức xác xuất đầy đủ

16

Ví dụ:

Trong nhà máy có 4 phân xưởng.Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng của nhà máy; Phân xưởng II chiếm 1/4; Phân xưởng III chiếm 1/4; Phân xưởng IV chiếm 1/6 Tỷ lệ phế phẩm tương ứng với các phân xưởng là 0,15; 0,08; 0,05; 0,01

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm của nhà máy thì sản phẩm đó là phế phẩm

Giải : Gọi A1, A2, A3, A4 là biến cố lấy đúng một sản phẩm của

phân xưởng I,II,III,IV Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm

B = (B∩A1) (B∩A2) (B∩A3) (B∩A4) 4 ==>P(B) = ∑P(B/ ∪ ∪ ∪ Ai)*P(Ai) i=1

Theo đề bài:

P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, ∑P(Ai) = 1 P(B/A1) = 0,15, P(B/A2) = 0,08, P(B/A3) = 0,05, P(B/A4) = 0,01 Vậy P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816

17

k P(Ai/B)= P(B/Ai )* P(Ai ) /(∑ P(B/Ai ) * P(Ai )) i=1

18

Công thức này được gọi là công thức Bayes, hay công thức xác suất các giả thiết về các biến cố Ai có thể xem như giả thiết theo đó biến cố B xuất hiện Ta phải tính xác suất của các giả thiết với điều kiện biến cố B xuất hiện

19

1.2.6 Công thức Bernoulli :

a) Công thức Bernoulli :

Nếu tiến hành những phép thử độc lập, trong mỗi phép thử xác suất hiện của biến cố A như nhau và bằng p thì xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thửđó được biểu diễn bằng công thức Bernoulli

Pn(k) = Cn k pk qn-k Với q = 1-p

Ghi chú :

a.Trong trường hợp biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép thử thì ta ký hiệu xác xuất đó là Pn(k1,k2)

Gọi Aki là biến cố A xuất hiện ki lần

A = Aki Ak1+1 … Ak2 ∪ ∪ ∪

k2

Pn(k1,k2)=P(A)= ∑Cni piqn-i

i=k1

20

b.Khi n và k khá lớn việc tính toán Pn(k) và Pn(k1, k2)

sẽ phức tạp Để khắc phục điều đó người ta phải tìm cách tính gần đúng các xác suất đó bằng cách áp dụng các định

lý giới hạn

Ví dụ:

Trong thùng có 30 bi: 20 trắng và 10 đen Lấy liên tiếp 4

bi, trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại thùng trước khi lấy

bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng

Giải: Xác suất lấy được bi trắng p = 20/30 =2/3 có thể

xem như nhau trong 4 phép thử: q = 1 - p = 1/3

áp dụng công thức Bernoulli 21

P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ≈ 0.38 22

Ghi chú:

b) Số lần xuất hiện chắc chắn nhất:

Trị số của Pn(k) nói chung phụ thuộc vào k Ta tìm một

số k0 sao cho Pn(k0) đạt giá trị lớn nhất Số k0 gọi là số lần xuất hiện chắc chắn nhất của biến cố A trong n phép thử Ta có:

np-q ≤ k0 ≤ np + p p ≠ 0 và p ≠ 1

23

Vì k là số nguyên, nên chọn k = 18

24

c) Các công thức gần đúng để tính Pn (k) và Pn (k1,k2)

Các công thức được rút ra từ các định lý giới hạn

Công thức Moixre - Laplace :

Pn(k) ≈ϕ(xk)/ npq

• Công thức Moixre - Laplace được sử dụng khi n khá lớn

• p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p không quá gần 0 và 1

xk = (k-np) / npq

ϕ(x) = 1 / 2π * e-x²/2 : hàm số Gauss 25

β = (k2 - np)/ npq = 4,14 => (β) = (4,14) = ∅ ∅0,499968

P1000 (652, 760) = (β) - (α) = 0,999488 ∅ ∅27

MA TRẬN

Mô tả:

 Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột Hình dạng ma trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận) k phần tử

Ma trận thường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vuông "[" và "]" (hoặc, hiếm hơn, dấu ngoặc "("

Các lo i ma tr n đ c bi t ạ ậ ặ ệ

Ma trận tam giác là ma trận vuông được chia

thành hai loại là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.

 Ma trận tam giác trên khi các phần tử nằm phía dưới hạng tử có giá trị = 0, aij=0 với mọi i>j

 Ma trận tam giác dưới khi các phần tử nằm phía trên hạng tử có giá trị bằng không, aij=0 với mọi i<j

Ma trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các

phần tử không nằm trên đường chéo chính thì đều bằng 0, nghĩa là =0 với mọi i ≠ j.

31

Ma tr n đ n v   ậ ơ ị

 Ma trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường thì là số 0).32

 Ma trận sơ cấp E2 nhận được khi ta nhân cộng vào hàng j với hàng i đã được nhân với một số β khác 0 đối với ma trận đơn vị I.

 Ma tr n s  c p ậ ơ ấ E3 nh n đ c khi ta đ i v  trí ậ ượ ổ ịhàng j v i hàng i c a ma tr n đ n v  cho nhau.ớ ủ ậ ơ ị35

Các phép toán đại số trên ma trận

Phép nhân ma tr n  ậ

 Phép nhân ma trận với một số

 Cho ma trận và số, tích được tính bằng cách nhân tất cả các

phần tử của với số (nghĩa là ) Chẳng hạn:

 Phép nhân ma trận

 Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma

trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải Nếu ma trận

có kích thước x và ma trận có kích thước x , thì ma trận tích

có kích thước x có phần tử đứng ở hàng thứ i, cột thứ j xác định bởi:

với mọi cặp =1 m; j =1 p.

37

 Chẳng hạn:

 Phép nhân ma trận có các tính chất sau:

và ma trận Cnxp ("kết hợp“)

B và ma trận C cấp nxk ("phân phối bên phải").

38