phương pháp tính giá trị gần đúng

Dấu hiệu so sánh B.Tính gần đúng của chuỗi đan dấu 1.. Hướng giải quyết Để tính gần đúng của chuỗi hội tụS =∑+∞k=1a k ta có rất nhiều cách.. Nhưng để dễ dàng, người ta thường dùng tổng r

PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG

I Đặt vấn đề

II Giải quyết vấn đề

1 Hướng giải quyết

2 Cơ sở lý luận

III Thuật toán

IV Các phương pháp chặn trên của ∑i n 1 i+∞= + a và áp

dụng

A.Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương

1 Dấu hiệu tích phân

2 Dấu hiệu D’Alambert

3 Dấu hiệu Cauchy

4 Dấu hiệu so sánh B.Tính gần đúng của chuỗi đan dấu

1 Dấu hiệu Leibnitz

2 Công thức Calabrese

V Phụ lục

1 Chương trình bày Passcal

2 Tính tổng của chuỗi bằng phương pháp xác suất thống kê

Tài liệu tham khảo

I.ĐẶT VẤN ĐỀ

Cho trước một chuỗi hội tụ ∑i+∞=1ai (*) và số tự nhiên k Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của S = ∑+∞i=1aithỏa

i S* có k chữ số sau dấu phẩy

ii S S − * ≤ p 10 ,−k p ∈ { 1, 2,3 ,9 }

II Giải quyết vấn đề

1 Hướng giải quyết

Để tính gần đúng của chuỗi hội tụS =∑+∞k=1a k ta có rất nhiều cách Ví dụ như tính gần đúng bằng phương pháp xác suất thống kê ( xem phần phụ lục) Nhưng để dễ dàng, người ta thường dùng tổng riêng thay cho tổng S, tức là tính =∑n=1

n k n

S a với n đủ lớn sao cho sai số giữa Sn

và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán là lấy sai số bao nhiêu

Tuy nhiên tùy theo chuỗi ( chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay cho giá trị của

chuỗi Nghĩa là xác định kn > 0 sao cho

*

S S k thông qua tiêu chuẩn hội tụ của

chuỗi(*)

Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương

và chuỗi đan dấu

hay S =S n ±ε

Khi đó, ta có thể lấy = ∑n=1

n k

S ak làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá ε ε = 1

Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các ai i, =1,n ở dạng thập phân

Đặt a i là giá trị gần đúng của a i lấy l chữ số sau dấu phẩy với sai số phù hợp

Nên ta sẽ chọn ε ε1, 2 sao cho ε ε1 + ≤2 8.5 10× −k

Để cho đảm bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán

S S n

Do đó ta sẽ luôn tìm được một con số p∈{0,1, 2, ,9} để

đáp ứng yêu cầu của bài toán biểu diễn ở dạng chuẩn tắc

III Thuật toán

B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho

p − p∈ , p là số chưa cho biết)

Các số 4 trong 4.10 -k có thể thay đổi được Do để đảm

bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán ε ε1, 2 không quá tốt cũng không quá xấu)

+ Nếu bài toán yêu cầu tìm sai số dưới dạng chuẩn tắc (với p cho trước) thì ta có thuật toán như sau:

B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho

( )

1

.10 4

+ Nếu bài toán yêu cầu với sai số ở dạng chính tắc, thì ta

áp dụng thuật toán trên với p=1

Tức là:

1

1 10 4

IV Các phương pháp chặn trên của ∑i n+∞= +1ai và

áp dụng

A Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương

Cho chuỗi S = ∑∞k=1ak và Sn = ∑∞k=1ak , (ak )>0 là

tổng riêng thứ n của chuỗi

1 Dấu hiệu tích phân

Giả sử an = f n ( ) với f là hàm số dương liên tục

trên [ 1, +∞ ) giảm về 0 khi x → +∞ và tích phân

= là hàm liên tục giảm, không âm

trên[1,+∞) với lim 14 0

3 3

3 3

Khi số hạng tổng quát a của chuỗi có thể xem như n f n ( )

, và có tích phân suy rộng dễ dàng tính được

+ Ưu điểm:

Khối lượng tính toán ít ( n tương đối nhỏ), giải quyết

2 Dấu hiệu D’Alambert

Giả sử ( )a là dãy dương và n n 1

i Nếu n 1

n

aa

n 1 n

a

S S

a1a

+ +

ii Nếu n 1

n

aa

Chứng minh:

• Giả sử { }a và dãy n n 1

n

aa

⇒∑k n ak hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑∞k=1ak hội tụ.Mặt khác

1 1

a r

a

La

Mặt khác:

1 1

k

n n k

1

6 (4 1)! 36(4 2)!

1

n n

n n

a

a

− +

1

6

4.10 (4 1)! 36(4 2)!

1

n n

Xét dãy n 1

n

a a

1

6 (4 4)! 36(4 )!

1

n n

n n

a

a

+ +

1

6

4.10 (4 4)! 36(4 )!

1

n n

Bước 4: S k = 1.53224 là giá trị cần tìm với

Vậy: S k = 1.53224 với sai số không quá 3.10-5

Áp dụng: Khi số hạng tổng quát an của chuỗi số có chứa tích các thừa số liên tiếp (có chứa giai thừa)

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản

Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh

n n

a a

a là dãy dương, giảm

Giả sử (an) là dãy dương, giảm và lim n 1

n→∞ a n = <L Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi

1

n n

Khi đó N 0∃ ≥ sao cho n N>

⇒∑k n ak hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑∞k=1ak hội tụ

Mặt khác:

1 1

a r

⇒∑k n ak hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑∞k=1ak hội tụ

Mặt khác:

1 1

1

n k

k 1 23k 1

 − 

∞  ÷

∑ =  − ÷ Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng có 3 chữ

số sau dấu phẩy

Giải

Kiểm tra điều kiện:

n 2

2n 1a

Nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Cauchy.

2k 1a

3k 1

=  − ÷ đến chữ số hàng thứ (-3), được a theo bảng sau:k

Bước 4: Kết luận S10* =1,72 là giá trị cần tìm

Vậy S10* =1.72 với sai số 5.10−2

Áp dụng: Khi số hạng tổng quát an của chuỗi số có chứa các lũy thừa bậc n của các thừa số

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản

Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy { }n

n

a là dãy tăng hay giảm cũng không phải là

chuyện đơn giản Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu lim n 1

 

 

  tăng tới L nên ta có an < Lbn

Cho hai chuỗi số dương

1

k k

n n

số sau dấu phẩy.

B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho:

3 2

3 2

1 12.10 10

.10 1 5 2.12 2 2

Tính gần đúng của chuỗi đan dấu

1 Dấu hiệu Leibnitz

( 1)

2 1

k k

Khi đó theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi

1

3 1

3

1 2( 1) 1

1

4.10 2(n 1) 1

Khi đó: ,

2

n n

(2 )!

k k

Giải:

B2: Tìm số nguyên dương l nhỏ nhất sao cho:

k k

Chuỗi số đan dấu 1

1

( 1)k

k k

Việc chứng minh dãy { }b n là giảm đôi khi gặp nhiều khó

khăn và tốn thời gian

Lưu ý: Ta có thể tách chuỗi đan dấu thành hai chuỗi số

dương, tính trên từng chuỗi rồi trừ cho nhau

Nhưng quá trình tính toán sẽ mất rất nhiều thời gian và

khó khăn trong việc xác định sai số cho từng chuỗi

Phụ lục

Chương trình chạy Pascal:

(thường áp dụng cho kỹ thuật với sai số đã biết trước)

Ví dụ 2: Tính gần đúng

2 0

( 1) 5 (2 )!

k k k

Tính tổng của chuỗi bằng phương pháp xác xuất thống kê

Gọi v∈{0,1, 2, } là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với

phân bố xác suất P= = ={v i} q i, ∀ ≥i 0 (1.3)

Gọi ξ ∈[0, 2c] là đại lương ngẫu nhiên phân bố điều với mật độ phân bố:

[ ]

1

0, 2 ( ) 2

S

c khi c

q

ξ ξ

Với giả thiết (1.2),(1.3) đại lượng rời rạc ngẫu nhiên n

có kỳ vọng và phương sai hữu hạn, trong đó

{ }

0

i i

- Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội)

Theo định lý trên và công thức (1.7) có thể ước lượng thử thống kê) đối với tổng S của chuỗi(1.1) dưới dạng

1

1: N

Các bạn có thể xem thêm trong sách “PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG SỐ MONTE-CARLO” của Nguyễn Quý Hỷ - Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội về cách chứng minh và trình bày.

Tài liệu tham khảo

1 Bài giảng TS.Trịnh Công Diệu

2 Tài liệu khóa trước

3 Sách “PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG SỐ MONTE-CARLO” của Nguyễn Quý Hỷ - Nhà xuất

bản đại học quốc gia Hà Nội

4 Sách Toán cao cấp tập 1 của Lê Thị Thiên Hương – Nhà xuất bản Giáo dục