Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AMGM

Để làm quen với bất đẳng thức thì việc nắm vững bất đẳng thức cơ bản là vô cùng quan trọng. Trên thế giới có rất nhiều bất đẳng thức với nhiều định lí liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức nên để hiểu hết được chúng là điều không thể, điều quan trọng là chúng ta phải hiểu thật rõ các bất đẳng thức cơ bản, đó là yếu tố quan trọng đầu tiên để ta học tốt được bất đẳng thức. Trong chương trình toán THPT chúng ta đã biết về bất đẳng thức liên hệ giữa TBC và TBN. Sau đây tôi xin giới thiệu một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AMGM trong giải các bài toán lớp 10 và 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

TIỂU LUẬN BẤT ĐẲNG THỨC

Tên đề tài:

MỘT SỐ KĨ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Học viên thực hiện: Nguyễn Quang ThịnhGiáo viên hướng dẫn: GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu

Lớp: Phương pháp Toán sơ cấp - K26

Đà Nẵng, 06/2013

Mục lục

1.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân 5

1.2 Các dạng thường gặp của AM-GM 6

1.3 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng 7

2 Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM 9 2.1 Những kĩ năng cơ bản 9

2.2 Kĩ thuật chọn điểm rơi 10

2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng 13

2.4 Kĩ thuật thêm - bớt 15

2.5 Kĩ thuật AM-GM ngược dấu 16

3 Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM 19

LỜI NÓI ĐẦU

Để làm quen với bất đẳng thức thì việc nắm vững các bất đẳng thức cơbản là vô cùng quan trọng Trên thế giới có rất nhiều các bất đẳng thức,rất nhiều định lí liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật để chứngminh bất đẳng thức nên để biết hết được chúng là điều không thể, điềuquan trọng nhất của chúng ta phải hiểu thật rõ các bất đẳng thức cơ bản,

đó là yếu tố quan trọng đầu tiên để học tốt bất đẳng thức

Một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình phổ thông là bấtđẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM),nhưng để nắm vững được chúng không phải là điều đơn giản, dễ dàng nhất

là đối với các bạn mới làm quen với bất đẳng thức

Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số kĩ thuật vận dụng bấtđẳng thức AM-GM và một số bài toán ứng dụng liên quan đến bất đẳngthức AM-GM Đây là một trong những vấn đề cơ bản và rất hiệu quả đốivới các bạn học sinh THCS, các bạn học sinh lớp 10, 11 muốn rèn luyện

kĩ năng chứng minh bất đẳng thức của mình

Trên đây là lí do tôi chọn đề tài: "Một số kĩ thuật vận dụng bấtđẳng thức AM-GM."

Trong tiểu luận gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận và phụ lục.Chương 1 Bất đẳng thức AM-GM Trong chương này tôi xin trìnhbày một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức AM-GM, một số bất đẳngthức thường dùng và bất đẳng thức AM-GM suy rộng

Chương 2 Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM Mộttrong những vấn đề thức mắc của nhiều bạn là phải giải bài toán bất đẳngthức bằng cách nào? Tại sao lại giải như thế? Tại sao lại thêm số này, bớt

số kia? Tại sao bài tập này lại dùng được AM-GM?

Chương này tôi sẽ giới thiệu một vài kĩ thuật vận dụng AM-GM trongviệc tìm tòi lời giải cho các bài tập, trên cơ sở đó giúp cho chúng ta giảiquyết một số dạng bài toán cơ bản.

Chương 3 Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM Trongthực tế giải toán, các đẳng thức ta gặp thường rất đa dạng và không rơivào dạng như các bài toán ở chương 2, lúc này ta phải phối hợp khéo léocác kĩ thật mới có thể giải quyết được chúng

Trong bài tiểu luận này, tôi hy vọng sẽ là một trong những tài liệu thamkhảo tốt dành cho học sinh năng khiếu môn Toán học bậc phổ thông, cácsinh viên và cho các thầy giáo, cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏiToán

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu đãgiảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành bài tiểu luận này

*Chứng minh: Rõ ràng bất bẳng thức đúng với n=2, nếu bất đẳng thứcđúng với n số thì cũng đúng với 2n số vì:

xn = s

n − 1, với s = x1 + x2 + + xn.

Hệ quả 1.1 Với mọi bộ số dương x1, x2, , xn ta đều có:

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn

Bất đẳng thức AM-GM có nhiều ý nghĩa và ứng dụng trong việc giải toánbất đẳng thức Ngoài ra, sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có thể giảiquyết được nhiều lớp bài toán tìm cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số mà không cần sử dụng đến kiến thức Giải tích cao cấp.Trước hết, ta cần quan tâm đến hai trường hợp riêng của bất đẳng thứcAM-GM là:

• Trường hợp n=2, lúc này bất đẳng thức viết lại thành Nếu a,b là các

số thực không âm thì ta có

a + b

2 ≥ √abDấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Bất đẳng thức trên còn có thể viết lại dưới dạng tương đương là:

• Trường hợp n=3, Ta có bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âmnhư sau: Nếu a,b,c là các số thực không âm thì ta có:

a + b + c

3 ≥ √3abcDấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Trong thực tế ta còn sử dụng một dạng khác tương đương với bất đẳngthức này là:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p1 = p2 = = pn

* Chứng minh: Phương pháp chứng minh sử dụng quy nạp Cauchyhoàn toàn tương tự như với bất đẳng thức AM thông thường Tuy nhiên,trong trường hợp n = 2 chúng ta cần một lời giải chi tiết hơn Ta phảichứng minh nếu x+y=1 và a, b, x, y là các số dương thì

ax + by ≥ axby

Cách đơn giản nhất đối với bất đẳng thức này là xét với số hữu tỉ rồichuyển qua giới hạn Hiển nhiên nếu x,y hữu tỉ thì bài toán được chứngminh theo bất đẳng thức AM thông thường.

Chương 2

Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM

Để sử dụng thành công bất đẳng thức AM-GM Đầu tiên, bạn cần phảitrang bị cho mình đầy đủ công cụ cơ bản (gồm những dạng thường gặpAM-GM) Sau đó là rèn luyện cho mình cách nhìn tổng quát từng lớp bàitoán cũng như những phương pháp những kĩ thuật cụ thể cho từng dạngBài toán 2.1 Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh:

xy(x2 + y2) ≤ 2Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng ab ≤ (a+b)4 2, ta có:

Giải: Do x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) nên bài toán ta quy về chứngminh: x3y3(x2 − xy + y2) ≤ 1

*Nhận xét: Từ hai bài toán trên, ta có bài toán tổng quát sau: Chox,y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 2 và hằng số k ∈ Z+ Chứngminh rằng:

xkyk(xk + yk) ≤ 2

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng phương pháp quy nạp toán học.Bài toán 2.3 Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta luôncó:

Bất đẳng thức tổng quát hơn được chứng minh hoàn toàn tương tự

Trong bất đẳng thức, "Kĩ thuật chọn điểm rơi" là một kĩ thuật quan trọng

Ý tưởng là xác định được dấu của đẳng thức xảy ra khi nào để ta có thể

sử dụng những đánh giá hợp lí Chúng ta sẽ xét các bài toán sau để làm

rõ hơn về kĩ thuật này

Bài toán 2.4 Cho x ≥ 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y = 3x + 1

2xPhân tích: Dự đoán dấu của đẳng thức xảy ra khi x = 1 Để bảo toànđược dấu "=" khi sử dụng AM-GM, ta sẽ chọn hằng số α sao cho:

αx = 1

2x.

Cho x = 1 thu được α = 1

2 Từ đó, ta có lời giảiGiải:

5x

2 + 2

rx

2.

12x =

2, đạt được khi và chỉ khi x = 1.

Bài toán 2.5 Cho a ≥ 10, b ≥ 100, c ≥ 1000 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

α =

1aGiải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

100.

1a

10000.

1b

Bài toán 2.6 Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + xy = 8.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x3 + y3Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM thì:

8 = x + y + xy ≤ x + y + (x + y)

2

4 = t +

t24trong đó t = x + y

Từ đây suy ra: t2 + 4t − 32 ≥ 0, tức là: t ≤ −8 ∨ t ≥ 4

2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng

Trong nhiều bài toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứngminh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kĩ thuật "ghép đốixứng" để bài toán trở nên đơn giản hơn

Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải haidạng toán sau:

• Dạng 1 Chứng minh: X + Y + Z ≥ A + B + C

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X + Y ≥ 2A Sau đó, tương tựhóa để chỉ ra Y + Z ≥ 2B và Z + X ≥ 2C (nhờ tính đối xứng của bàitoán) Tiếp theo cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho

2, ta có ngay điều phải chứng minh

Trong những bài toán tổng quát hơn nữa, ta sẽ chỉ ra

• Dạng 2 Chứng minh XY Z ≥ ABC với X, Y, Z ≥ 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY ≥ A2 Sau đó, tương tự hóa

để chỉ ra XY ≥ A2 và XY ≥ A2 (nhờ tính đối xứng của bài toán).Tiếp theo nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai,

Giải: Bài toán này có dạng X + Y + X ≥ A + B + C với

2.4 Kĩ thuật thêm - bớt

Nếu ở ba kĩ thuật đầu tiên, chúng ta đã được rèn luyện thói quen địnhhướng dựa vào "bề ngoài" của một bài toán thì từ đây, ta sẽ bắt gặp nhữngbất đẳng thức phong phú hơn, những bất đẳng thức mà lời giải cho chúngluôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đọt phá ý tưởng

Kĩ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sửdụng những "yếu tố ngoại cảnh" trong việc giải quyết vấn đề

Bài toán 2.9 Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng:

(d + b)(c + a) ≥ 4(a + b)

(d + b) + (c + a)Suy ra

Bài toán 2.10 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

và 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)

Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được

Cuối cùng ta xem xét bất đẳng thức AMGM và một kĩ thuật đặc biệt

-kĩ thuật AM-GM ngược dấu Đây là một trong những -kĩ thuật hay, khéoléo, mới mẽ và ấn tượng nhất trong bất đẳng thức AM-GM Ta xét các bàitoán sau:

Bài toán 2.11 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

c2a ≥ 3

Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b, c rồicộng cả ba bất đẳng thức lại suy ra

số Bài toán phát biểu như sau

Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d = 4.Chứng minh rằng:

Bài toán 2.12 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d, taluôn có

3

a2 + b2 ≥ a − b

2Tương tự

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Chương 3

Một số bài toán áp dụng bất đẳng

thức AM-GM

Bài toán 3.1 (IMO Shortlist 1990) Giả sử a,b,c,d là các số thực không

âm sao cho ab + bc + cd + da = 1 Chứng minh

Để bảo toàn được dấu "=" khi sử dụng AM-GM, ta sẽ chọn hằng số α, β, γsao cho:

2 thu được α = 18, β = 6, γ = 12 Từ đó, ta có lời giảiGiải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có:

(a+b+c+d)2 ≥ 4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) = 4 ⇒ a+b+c+d ≥ 2Thay vào bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

2Bài toán 3.2 (IMO Shortlist 1998)Với x,y,z là các số thực dương cótích bằng 1 Chứng minh:

x3(1 + y)(1 + z) +

y3(1 + z)(1 + x) +

z3(1 + x)(1 + y) ≥ 3

4Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số

x3(1 + y)(1 + z) +

y3(1 + z)(1 + x) +

x3

(1 + y)(1 + z) +

y3(1 + z)(1 + x) +

z3(1 + x)(1 + y) ≥ x + y + z

3Mặt khác x + y + z ≥ 3√3

xyz = 3 nên ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài toán 3.3 (IMO 1995)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điềukiện abc=1 Chứng minh rằng

z + x + (z + x) ≥ 4y4z2

x + y + (x + y) ≥ 4zCộng các bất phương trình trên theo vế ta được:

Bài toán 3.4 (Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh rằng với mọi sốthực không âm a, b, c ta có:

Bài toán 3.5 (Bất đẳng thức Nesbitt 4 biến) Chứng minh rằng vớimọi số thực không âm a, b, c,d ta có bất đẳng thức

a = b = c = d

Bài toán 3.6 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam 2005)Cho a, b, c là các

số dương Chứng minh rằng

a3(a + b)3 + b

32a3(a + b)3 + a2 + (a + b) + (a + b) + (a + b) ≥ 10a32b3

(b + c)3 + b2 + (b + c) + (b + c) + (b + c) ≥ 10b32c3

(c + a)3 + c2 + (c + a) + (c + a) + (c + a) ≥ 10cCộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:

Bài toán 3.7 Các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2+ y2+ z2 =

Bài toán 3.8 Cho a, b là các số thực thỏa mãn 9a2 + 8ab + 7b2 ≤ 6.Chứng minh rằng:

7a + 5b + 12ab ≤ 9Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM thì:

7a + 5b + 12ab − 9 ≤ 7



a2 + 14

+ 5



b2 + 14

+ 12ab − 9

c = a −

ab√c2

≥ a − b

√a.ac

b

1 + c2d ≥ b − 1

4(bc + bcd)c

1 + d2a ≥ c − 1

4(cd + cda)d

1 + a2b ≥ d − 1

4(da + dab)Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:

V T ≥ a + b + c + d − 1

4(ab + bc + cd + da + acb + bcd + cda + dab)

Từ bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra được bất đẳng thức:

Bài toán 3.10 Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c có a + b + c = 3thì

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:

x + 1

x ≥ 103Bài 3: Cho x ≥ 3 Chứng minh:

x2 + 1

x2 ≥ 9

4Bài 4: Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh:

a3(a + b)(b + c) +

b3(b + c)(c + a) +

c3(c + a)(a + b) ≥ 1

4(a + b + c)Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh:

KẾT LUẬN

Trong bài này, tôi đã cố gắng trình bày tương đối đầy đủ về kiến thức

cơ bản của bất đẳng thức AM-GM (Ở chương 1) cùng với đó là nhiều kĩthuật vận dụng nó vào việc giải toán như thế nào (ở chương 2) Qua đâytôi đã nói lên cách giải quyết một số bài toán có thể vận dụng được bấtđẳng thức AG Bên cạnh đó, tôi có trình bày một số bài tập vận dụng các

kĩ thuật trên cùng kèm theo bài tập tự luyện (ở chương 3)

Mặc dù, vấn đề bất đẳng thức chưa bao giờ là vấn đề đơn giản trongtoán học nhưng qua môn học bất đẳng thức cùng với sự giúp đỡ nhiệt tìnhcủa thầy giáo GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi đã trang bị cho mình cũngđược rất nhiều kĩ thuật giải quyết bài toán bất đẳng thức nói chung và bấtđẳng thức có thể vận dụng được bất đẳng thức AG nói riêng

Tôi hi vọng trong bài viết này, sẽ giúp được phần nào cho học sinhTHCS, THPT có thể trang bị thêm một ít kĩ thuật vận dụng bất đẳngthức AG để giải quyết bài toán, đồng thời đây có thể là một tài liệu thamkhảo giúp cho các đồng nghiệp trang bị thêm kiến thức của mình

Trong thời gian viết đề tài trên, tôi không thể tránh những thiếu sót.Rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các bạn, các thầy giáo,

cô giáo và các bạn học sinh đặc biệt là thầy giáo GS-TSKH Nguyễn VănMậu để bài viết của tôi được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc cùng với lời chúc sức khỏeđến với thầy GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu

Tài liệu tham khảo

[1] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Bất đẳng thức-Định lí và áp dụng NxbGiáo dục 2006

[2] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Bất đẳng thức-Một số vấn đề liên quan.Nxb Giáo dục 2005

[3] Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh Sử dụng AM-GM để chứng minhbất đẳng thức Nxb Đại học Sư phạm 2011

[4] www.VNMATH.COM

[5] Tạp chí Toán học - Tuổi trẻ Nxb Giáo dục