MỘT SỐ KỸ NĂNG KHI DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

MỘT SỐ KỸ NĂNG KHI DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYI... Kỹ thuật đổi biến số Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải.. Bằng cách đổ

A MỘT SỐ KỸ NĂNG KHI DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Cho n số thực không âm a1 ,a2 , ,a n, nZ, n 2, ta luôn có:

n

n

a a

a1 2    1. 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: abbcca 8abc

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

abbcca 2 ab 2 bc 2 ac  8abc (đpcm)

Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:

a bc d

bd

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

          

1 2

1 2

1 2

1

.





















































































d c

d c b a

b a d c

d b a

b d

c

c b a a

d c

d b a

b d c

c b a

a d c b

a

bd ac

a bc d

bd

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 







c b c a

Chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 1

2

1 1

2 1

2

1 2

1

.

















































































b

c a

c a

c b c

b

c b a

c a

c a b c

b

c b a

c a

c a b

c ab

c b c c a

c

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

3

1  abc a b c

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1 1 1 3

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

3 3

3

3









































































































c

c b

b a a

c

c b

b a

a c

b a

c

c b

b a

a c

b a c

b

a

abc

3

1  abc  a b c

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa 





 1 1

b a

Chứng minh rằng: ab

a b b

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2

1

b

a        (1)

Tương tự:

2

a

b   (2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

ab a

b

b

a  1   1  (đpcm)

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba b2 ab4

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2

2 2

2

2 4 2

4 4 4

4









 



















Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

1 b b1 c c1 a 3 3 abc1 3 abc

Giải:

Ta có:

 b b c c a a b c ab bc ca

a1   1   1       

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 

3

3

abc ca

bc

ab

abc c

b

a













3 1 3 3

ca bc ab c b



1 b b1 c c1 a 3 3 abc1 3 abc

Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng:   ab 1

a

b b

a ab

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2

2 2

















































a

b b

a a

b ab b

a ab a

b b

a

ab

2

2

2 2

2

2 2

2

a

b b

a a

b ab b

a ab

(đpcm)

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 10 Tìm GTLN của: A  a2b3c5

Giải:

Ta có:

337500 5

3 2 1

5

3

2

1 5

3

2

5

3

2

10 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 10

5 3 2 5 3 2 5

3 2 10

5 3 2

10

5 3 2























































































































































c b a c

b a c

b a

c b a c

c c c c b b b a a c b a



































5 3

2 1 10 5 3 2 10 5 3 2

c b

a c a c b a c a

c b a

Vậy GTLN của A là 337500

1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo

Bài 1: Chứng minh rằng:   , a,b 0

a

b b a

Giải:

Vì a,b 0 nên  0 , 

a

b b

a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 2   

a

b b

a a

b

b

a

(đpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng: , 1

1

1









a a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1

1 1 2 1 1

1 1 1

1





























a

a a

a a

Bài 3: Chứng minh rằng:   R





a a

a

, 1

2

2 2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 1

1 1 2

1

1 1 1

1 1 1

2

2 2

2 2

2 2 2

2





























a

a a

a a

a a

a

(đpcm)

Bài 4: Chứng minh rằng: , 0

2

1 9

1

3

4

2







a a

Giải:

Với a  0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

1 3 3

1 2

1 3

3 1 1 3

9 3 1

1 9

1

3

2 2

2 2 2

4 2 4

2















a a

a a a

a a a

a

(đpcm)

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2 , 1

1 1

2 2 2



























a

a a

A

Giải:

 

 

 

1 1 2 2 2 1

1 1

2

1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 2 1

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2





























































































a a

a a a

a

a a

a

a a a

A

Cauchy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  

 2

2

1

1 1

2







a

2

8

2  4





a

Vậy GTNN của A 2 2  2

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :   22 , a  0

a a A

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

3 2

1 3 2

2 2

1 2

2 3 2

2 2

1 2 2

2

















a a

a a a

a

a a a a

A

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

2

a

 hay a 3 4

Vậy GTNN của 3 4

2

3



A

Bài 7: Chứng minh rằng: , 0

) (

1











b a b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 3 1 1





















b a b b a b b

a b b a b b a b

a

Bài 8: Chứng minh rằng:    , 0

1

4





b b a a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 1 2

1 2

1

1

2

1 2

1

4

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1 1

4

4

2















































b b b a

b b

b a

b b b a

b b

b a b

b a a

1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

Phép cộng:





































a c c b b a c b a

a c c b b a c b a

2

2 2 2

   











ca bc ab c

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c

c

ab b

ca a

bc











Giải:

Ta có:

c b a a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc c

ab

b

ca

a

bc





















































.

.

2

1 2

1 2

1

Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:

c

a b

c a

b a

c c

b b

a









2 2

2 2 2

Giải:

Ta có:

c

a b

c a

b c

a b

c a

b b

a a

c a

c c

b c

b b a

b

a a

c a

c c

b c

b b

a a

c

c

b

b

a







































































2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

.

2

1 2

1 2

1

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 CMR:

3



















c b a c

b a b

a c a

c b

Giải:

3 3

2

2 2

2

2 2

2 2

3























































































































c b a c b a c

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a

b

a

c

a

c

b

Vậy       a b c 3

c

b a b

a c

a

c

b

Bài 4: Cho

2 ,

, ,

ABC      

p ap bp c abc

8

1









Giải:

Ta có:

            

abc a

c p c b p b a p

a p c p c p b p b p a p

a p c p c p b p b p a p c p

b

p

a

p

8

1 2

2 2

2 2 2

2

2

2

























































Bài 5: Cho ABC,ABc,BC a,CAb,pa2bc CMR:



























p

1 1 1 2 1 1

1

Giải:

Ta có:



































































































































c b a

a p c p c p b p b p a p

a p c p c

p b p b p a p

a p c p c

p b p b

p a p c

p b

p

a

p

1 1 1 2

2

1

2

1

2 1

1 1

1

1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

1

1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo

Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau

N

n và x1,x2, ,x n  0 thì

  1 1 1 2

2 1 2

x x

x x x

x

n





















 Chứng minh bất đẳng thức trên :

Ta có với x1,x2, ,x n  0 thì

2 1 2

1 2

1 2

1

1

1

1 1

x x x n x x x n x x

x x x

n

n

n n























Với n 3 và x1 ,x2 ,x3  0 thì

  1 1 1 9

3 2 1 3 2



















x x x x x x

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:       6

c

b a b

a c a

c b

Giải:

Ta có:

  1 1 1 3 9 3 6

3

3 1

1 1





































































































c b a c b a

c

b a c b

a c b a

c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a

c

a

c

b

Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 23









c a c

b c b a

(Bất đẳng thức Nesbit)

Giải:

Ta có:

     

2

3 3 2 9

3 1 1 1 2

1

3 1 1 1

3

3 1

1 1































































































































































b a a c c b b a a c c b

b a a c c b c b a

b a

b a c a c

a c b c b

c b a

b a

c a

c

b c

b

a b

a

c

a

c

b

c

b

a

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

2 2

a c

b c b

a b a













Giải:

a b c

a c

b b c b

a a b a

c c a c

b c

b

a

b

a

c





































































2 2

2 2

2

2

a c

b b c b

a a b a

c



















































a c

b a c b c b

a c b a b a

c b a

























































a c

b c b

a b a

c c b



























  1 





























a c

b c b

a b a

c c b a

Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

2

3











c a

c

b

c

b

a

Do đó

 

2

1 2

c b a a c

b c b

a b

a































Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh bất đẳng thức

sau:

9 2 1 2 1 2 1 2 2 2       bc b ca c ab a Giải: Do abc 1 ta có:             9 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                       ab c ca b bc a ab c ac b bc a ab c ca b bc a ac bc ab c b a ab c ca b bc a c b a ab c ca b bc a 2 Kỹ thuật đổi biến số Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn Bài 1: Cho ABC,AB c,BC a,CAb. CMR: bc aca bab cabc(1) Giải: Đặt: 

                  2 2 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: . 2

2

2

x    

Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

x,y,z  0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

xy yz zx  xy. yz zx xyz

2

2

2 Hay bc aca bab cabc (đpcm)

Bài 2: Cho ABC,AB c,BC a,CAb. CMR:

3

















c b a c

b a

c b a

(1)

  













2

b z

c b a

y b a c

Giải:

Đặt:

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:y2x z z2y x x2z y

Ta có:

3 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2                              z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z y x y x z x z y Hay  3

        a b c c b a c b a c b a (đpcm) Bài 3: Cho ABC,AB c,BC a,CAb. CMR: c b a c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (1) Giải: Đặt: 

                     2 2 0 c x y x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:       x y z z y x y x z x z y         4 4 4 2 2 2 Ta có:       y x z x yz z xy z xy y zx y zx x yz x yz z xy z xy y zx y zx x yz z xy y zx x yz z y x y x z x z y                                      

2 1 2 1 2 1 4 4 4 2 2 2 Hay c b a c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (đpcm) Bài 4: Cho 2 , , , ,AB c BC a CA b p a b c ABC        CMR:       p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (1) Giải:

Ta có: 0

2      b c a a p Tương tự: p pc b00 Đặt: p x y z z c p y b p x a p                0 0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x12  y12 z12 xxyz yz Ta có:

xyz z y x zx yz xy x z z y y x x z z y y x z y x                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Hay p a p b p c p ap p bp c      2 2 2 1 1 1 (đpcm) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 23      a b c a c b c b a (1) Giải: Đặt: 

                  2 2 z y x c y x z b x z y a z b a y a c x c b

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2   2   2  21 z z y x y y x z x x z y Ta có:

2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2                                   z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z z y x y y x z x x z y Hay

2 3       a b c a c b c b a (đpcm) Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa acbc 1 CMR:       4 1 1 1 2 2 2       b a c b c a (1)

Giải:

Đặt: 

           y x y b xy y c x a 1 1

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

 1 2  12  12  4

x

Ta có:

   

2

1 2

2 2 2

1

2

1 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2





















































y x y x

y x y x

y x y xy x y x y x y x y x

Vậy  1 2  1 2  1 2  4









Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz  1

Tìm GTNN của biểu thức:

y y x x

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

2 2

2

2 2

2



















Đề thi Đại học khối A năm 2007

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

y y x x

z z x

x z z

y y z

z y y

x x

y y x x

zxy z z x x z z

yzx y y z z y y

xyz x x

y y x x

xy z

x x z z

zx y

z z y y

yz x

A

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2















































































c b a z

z

c b a y y

c b a x

x y y x x c

x x z z b

z z y y a

2 4

9

4 2 9

4 2 9 2

2

Khi đó

 6 12 3 2 9

2

3 3 4 6 9

2

4 6 9 2

2 4

4 2 4

2 9 2

3

































































































c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

c b a b

c b a a

c b a A

Dấu “=” xảy ra  abc 1

Vậy GTNN của A là 2