Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức

Với thời lượng như vậy nên giáo viên dạy chỉ dừng ở việc cung cấp cáctính chất cơ bản của bất đẳng thức và một số phương pháp cơ bản để chứng minh bấtđẳng thức, chưa chú ý đến việc rèn k

1 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

BẤT ĐẲNG THỨC là một trong những chủ đề lớn trong chương trình toán phổ

thông Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số Các bài toán về bấtđẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo bởi các phương pháp giảichúng Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rấtnhiều.Việc vận dụng các bất đẳng thức như Cô-si, Bunyakovsky để giải các bài toán

về bất đẳng thức là một vấn đề khó và mới đối với học sinh THCS

Chương trình toán THCS hiện hành, học sinh mới chỉ được tiếp cận với bất đẳngthức thông qua các bài tập so sánh hai số, chứng minh lớn hơn, bé hơn… Trong đó bấtđẳng thức Bunyakovsky là một vấn đề hết sức mới đối với học sinh Chương trình tự

chọn nâng cao và bồi dưỡng toán 8, toán 9 chủ đề “Bất đẳng thức” cũng chỉ được học

từ 4 đến 6 tiết Với thời lượng như vậy nên giáo viên dạy chỉ dừng ở việc cung cấp cáctính chất cơ bản của bất đẳng thức và một số phương pháp cơ bản để chứng minh bấtđẳng thức, chưa chú ý đến việc rèn kỹ năng vận dụng các bất đẳng thức Cô – si,Bunyakovsky …để giải toán bất đẳng thức và cực trị

Sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến bất đẳng thức đã được các thầy cô,các tác giả viết sách tìm hiểu, viết nhiều nhưng chủ yếu trình bày dưới dạng đưa ra bàitập rồi giải hoặc hướng dẫn giải Điều này thiếu mất công đoạn quan trọng đó là giúphọc sinh suy nghĩ, tìm tòi dự đoán để đi đến lời giải vì thế làm cho học sinh khi đọc cónhiều hạn chế về mặc tư duy nên khi gặp các bài toán về bất đẳng thức thường lúngtúng không tìm ra hướng giải một cách hợp lí Hơn nữa rất ít các tài liệu tìm hiểuchuyên sâu về việc rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky trong giảitoán cho học sinh

Trong những năm gần đây các kì thi học kỳ, thi khảo sát chất lượng đầu năm, thivào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp thường xuất hiện bài toán bất đẳng thức, cực trịnhằm tìm ra học sinh có năng khiếu toán

Đối với học sinh khi học toán, thường thấy “ngại” khi nhắc đến bất đẳng thức,cho rằng bất đẳng thức là một bài toán khó không thể giải được Nguyên nhân là họcsinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải Vì vậy một bài toán đơngiản cũng trở nên “vô cùng khó” đối với các em Vì thế nếu học sinh không được trang

bị tốt kiến thức và phương pháp giải hợp lí thì không tự tin khi gặp bài toán bất đẳngthức

Cùng với những thực trạng trên và thực tế giảng dạy toán THCS tôi nhận thấy sửdụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức và cực trị là một trongnhững cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo tạo được nhiều hứng thú cho học sinh, nên

tôi đã chọn lọc tích lũy và viết thành đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”.

Với mong muốn trao đổi kinh nghiệm cùng các bạn đồng nghiệp để có thêm chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi được hoàn thiện hơn

2 Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI.

Trang bị cho giáo viên và học sinh một số kỹ năng cơ bản nhất khi sử dụng bấtđẳng thức Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức và cực trị

Học sinh sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh các bài toán

về bất đẳng thức trong chương trình toán THCS, qua đó giúp học sinh có thể sử dụnghợp lí các giải pháp này để giải các bài toán cực trị, phương trình, bất phương trình vàcác bài toán hình học

Học sinh giỏi nhận dạng và giải được các bài toán về bất đẳng thức có sử dụngbất đẳng thức Bunyakovsky trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, các bài toán về bấtđẳng thức ở chương trình toán THPT và các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học –Cao đẳng

Giáo viên có thêm tài liệu tham khảo, sử dụng để bồi dưỡng đội tuyển dự thi họcsinh giỏi môn toán các cấp

Dựa trên các giải pháp người dạy có thể sáng tác ra các bài toán mới về bất đẳngthức và cực trị phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, trong phạm vi của đề tàichỉ nghiên cứu cách sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunyakovsky để giải các bất đẳng

thức thuộc phạm vi chương trình toán THCS và ứng dụng phương pháp này để giải một

số bài toán cực trị

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a) Cơ sở lí luận

Bất đẳng thức Bunyakovsky là một trong những mảng kiến thức hay và khó của

toán học phổ thông Nhưng vận dụng Bunyakovsky để giải toán, người học toán hiểu kĩ

và sâu sắc hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giải và biện luận nghiệmcủa phương trình, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, tìm giá trị lớn nhất vànhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giải bài tập năng lực suy nghĩ, sáng tạo củahọc sinh được phát triển đa dạng, mạnh mẽ, vì bài toán bất đẳng thức là bài toán khónhận dạng và xác định hướng giải Đối với học sinh muốn giải được đòi hỏi phải đượctrang bị kiến thức tốt và phương pháp giải hợp lí

b) Cơ sơ thực tiễn

Qua thực tế giảng dạy các chủ đề nâng cao ở bộ môn Toán và tham gia bồidưỡng học sinh giỏi phân môn đại số do trường phân công.Tôi đã tổng hợp các đề thihọc sinh giỏi các cấp hàng năm kết hợp với giáo viên trong tổ phân tích sai lầm và tìm

ra phương pháp giải tối ưu nhất cho từng bài toán về bất đẳng thức Đặc biệt là sử dụngBĐT Bunyakovsky

Phân tích và hướng dẫn học sinh giỏi sử dụng BĐT Bunyakovsky để giải các bàitoán về bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vàotrường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm theo nhiều hướng khác nhau để phát hiệncách giải hay và độc đáo nhất

Gợi ý và định hướng học sinh giỏi sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải cácbài toán về bất đẳng thức, các bài toán cực trị và phương trình… đăng trên tạp chí

“TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”; “TOÁN TUỔI THƠ 2”

Tham khảo các tài liệu viết về bất đẳng thức, chọn lọc, sắp xếp viết thành chuyên

đề làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm

2 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP

a) Các biện pháp tiến hành

Dựa vào:

- Thực tế giảng dạy nhiều năm ở bộ môn toán 8, toán 9 và bồi dưỡng học sinhgiỏi về phân môn đại số đặc biệt là chuyên đề “ Bất đẳng thức ”

- Sách nâng cao và phát triển toán 8, toán 9 của Vũ Hữu Bình

- Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi liên quan đến bất đẳng thức

- Các chuyên đề viết về bất đẳng thức đăng tải trên tạp chí “TOÁN HỌC VÀTUỔI TRẺ”; tạp chí “TOÁN TUỔI THƠ 2”

- Những bài viết về chuyên đề chứng minh bất đẳng thức có sử dụng bất đẳngthức Bunyakovsky được đăng tải trên các trang mạng toán học

- Kết quả thi học sinh giỏi từ năm học 2010 – 2011 đến năm học 2013 – 2014,đặc biệt là dạng toán bất đẳng thức và cực trị để phân tích, so sánh, rút kinh nghiệm

b) Thời gian tạo ra giải pháp

- Viết dưới dạng chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi từ năm học

- Triển khai áp dụng trong toàn trường năm học 2010 - 2011

- Áp dụng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện dự thi cấp tỉnh từ năm học

2011 - 2012

- Viết thô sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 10/ 2013

- Hoàn thiện vào tháng 02/2014

2 Trong mỗi giải pháp xây dựng một hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp,với mỗi giải pháp trước tiên giới thiệu cách phân tích và định hướng trong việc tìm tòilời giải, tiếp theo là vận dụng những lí thuyết ấy để giải quyết nhiều lớp bài toán cơ bản

và sau cùng là các bài tập vận dụng Nhằm giúp học sinh dễ tiếp cận với một số phươngpháp mà các tài liệu viết chưa hoàn chỉnh, thông qua đó rèn luyện khả năng tư duy vàvận dụng kiến thức một cách linh hoạt tạo hứng thú tìm tòi khám phá của học sinh tronggiải toán bất đẳng thức

3 Rèn luyện kỹ năng vận dụng BĐT Bunyakovsky giải một số bài toán cực trịgiúp học sinh thành thạo hơn với việc vận dung BĐT Bunyakovsky trong giải toán.Giáo viên có thêm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy và bồi dường học sinh giỏi

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY:

Với hai bộ số bất kì (a 1 , a 2 , a 3 , ., a n ) và (b 1 , b 2 , b 3 , ., b n ), ta có

(a a  a n)(b b  b n) ( a b a b  a b n n) , trong đó đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho a i = kb i , với mọi i = 1, 2, , n

Trong thực tế áp dụng giải toán, điều kiện để đẳng thức xảy ra a i = kb i khá phức

tạp và khó sử dụng Vì vậy người ta ít sử dụng dạng này mà sử dụng dạng khác tương

đương là 1 2

n n

a

b b  b (Ở đây qui ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Ngoài ra ta có thể suy ra được một hệ quả thường sử dụng để chứng minh các bài toánbất đẳng thức và cực trị dạng phân thức gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phânthức (Một số tài liệu gọi là bất đẳng thức Svácxơ) Bất đẳng thức này được phát biểunhư sau:

Ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a

b b  b Tuy nhiên trong chương trình toán THCS ta chỉ quan tâm nhiều đến hai trườnghợp cơ bản là n = 2 và n = 3

1 THUYẾT MINH TÍNH MỚI

Để giúp học sinh vận dụng tốt BĐT trên để chứng minh bất đẳng thức tôi tổng hợp đưa ra 5 giải pháp sau:

1.1 KỸ NĂNG VẬN DỤNG TRỰC TIẾP BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY

Khi sử dụng trực tiếp BĐT Bunyakovsky ta cần rèn luyện cho học sinh vận dụng hai chiều "thuận" và "nghịch" của bất đẳng thức Cụ thể là

Rèn kỹ năng biến đổi dạng 2 2 2 2 2 2 2

(a a  a n)(b b  b n) ( a b a b  a b n n) ta cần rèn cho học sinh làm xuất hiện biểu thức 2 2 2 2 2 2

(a a  a n)(b b  b n), từ đó đánh giá và biến đổi qua biểu thức 2

1 1 2 2

(a b a b  a b n n) ta xét các bài toán sau:

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

a 2 + b 2 + c 2 1

3

 (1) (Đề thi HSG lớp 8 cấp trường năm học 2010 - 2011)

Nhận xét: (1) 3(a2 + b2 + c2 ) = 1, kết hợp với giả thiết a + b + c = 1 HS có thể sử dụng trực tiếp BĐT Bunyakovsky

Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương như trên không dễ áp dụng vì ở đó cần vận dụng linh hoạt giả thiết (a + b + c) = 1 (a + b + c) 2 = 1 , lời giải sử dụng BĐT Bunyakovsky ngắn gọn, dễ hiểu và dễ áp dụng hơn.

Bài 2: Cho x2 y 10 Chứng minh x + y  20.

(Đề KSCL đầu năm Toán 9 - Năm học 2012 - 2013)

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa abbcca 4 CMR: 4 4 4 163





b c a

Nhận xét: Trước hết ta cần chú ý sự xuất hiện a4 + b4 + c4 ở vế trái của BĐT cần chứngminh và giả thiết ab + bc + ca = 4 Điều này làm cho ta suy nghĩ việc hạ bậc của BĐTcần chứng minh để vận dụng giả thiết như vậy HS nghĩ ngay đến việc vận dụng BĐTBunyakovsky

a c b c b a c b a c

b a

3

16

4 4 4







 a b c (đpcm)

Với một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức, BĐT Bunyakovsky tỏ rõ ưu

điểm ở việc dễ áp dụng, linh hoạt trong biến đổi, dễ hiểu và cho ta lời giải ngắn gọn,

súc tích Đặc biệt hơn là các biểu thức dạng phân thức và căn thức Sau đây ta xét thêm một số bài toán.

Bài 4: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 4x + 9y + 16z = 49.chứng minh rằng

 (1)(a2 + b2 + c2 + d2)2 =  a a 3  b b 3  c c 3  d d 3

nên ta liên hệ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunyakovski theo chiều thuận Với suy

nghĩ đó ta gợi ý học sinh biến đổi biểu thức P về dạng (a + b + c)b c c a a b m  n  p 

Từ đó ta có lời giải sau

Sau khi rèn cho HS vận dụng BĐT Bunyakovsky theo chiều thuận ta cần rèn HS

kỹ năng vận dụng BĐT theo chiều ngược lại Cụ thể là xuất phát từ giả thiết bài toán

và BĐT cần chứng minh làm xuất hiện biểu thức dạng 2

1 1 2 2

(a b a b  a b n n) , từ đó biến đổi và đáng giá về biểu thức 2 2 2 2 2 2

Nhận xét: các biến a, b, c trong bất đẳng thức không có sự ràng buộc nào với nhau Do

đó ta mạnh dạn đánh giá theo từng biến mà không cần xét điều kiện dấu bằng xảy ra.Quan sát bài toán, ta thấy một ý tưởng tự nhiên để giải chính là áp dụng BĐTBunyakovsky đối với (a + b + c)2 sao cho bước đánh giá ta thu được một nhân tử là a2 +

2 Như thế thì ta có thể giản ước với nhân tử a2 + 2 bên vế phải, bất đẳng thức thu được

ít biến hơn so với BĐT ban đầu Từ ý tưởng này ta có thể giải bài toán như sau

Bất đẳng thức này tương đương với

Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có:

Bài toán được chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c  1 ta có

a  b  c  c ab

Nhận xét: Quan sát bài toán, ta thấy đây cũng là bài toán với biến tự do Chính vì thế,

ta có thể tự do đánh giá theo từng biến mà không cần lo lắng về dấu bằng Quan sát tiếp

ta nhận thấy vế phải có tích ab, vì thế ta nghĩ đến việc đánh giá BĐT Bunyakovsky vớitổng a1 b1 sao cho tích a.b xuất hiện

 ab c1 2 1 ab1 c12 1 ( ab) (1 (2  c1)2

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 11: Cho các số thực dương a, b,c CMR :  6

a c c b a

c b c b a

b a

a c c b a

c b c b a

b a

Bài 12: Cho các số thực dương a, b CMR a b

a

b b

a b a

b a a

b b

a a

a

b b b

a b

Bài 13: Cho các số thực dương a, b CMR 

c a c

b c b

a c b a

2 2 2

2

GIẢI:

b a

c a c a c

b c b c b

a c b

c a c

b c b a

b a a c c b b

a

c a

c

b c

b

a c

2 2

2 2

2 2

c a c

b c b

a c b

a

2 2 2

Bài 14: Cho các số thực dương a, b thỏa 2 2 1



b

a Tìm GTLN của

b b a

1 1

1

2 2 2 2

2 2

b a b a b a b b a a A

1 1

1 1

1

2 2

b a

b a

1.2 KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY DẠNG PHÂN THỨC

Để rèn luyện học sinh kỹ năng vận dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta cần rèn luyện học sinh biến đổi ttheo hai chiều thuận nghịch của BĐT Cụ thể là

Vận dụng theo chiều thuận ta biến đổi làm xuất hiện biểu thức dạng

  

   Ta xét các bài toán sau:

Bài 1: Với a, b, c là ba số dương Chứng minh :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Với bài toán trên ta có thể dùng BĐT Cô - si kết hợp với kỹ thuật tách ghép đối xứng như sau:

a b c

a c

b b c b

a a b a

c c a c

b c

2 2

2

2

a c

b b c b

a a b a

b a c b c b

a c b a b a

c b a

b c b

a b a

c c b

b c b

a b a

c c b a

b c b a

2

1 2

3

2 2

c b a a c

b c b

a b a

Với lời giải bằng BĐT Cô - si như trên đã thêm bớt a + b + c kết hợp với kỹ

thuật tách ghép Do đó lời giải dài và không dễ hiểu bằng lời giải áp dụng BĐT Bunyakovsky.

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c  1 Chứng minh

1 2

1

2 2

Rõ ràng lời giải 2 dài dòng, phức tạp và gây rối đối với học sinh

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 1 4 9 36

Nhận xét: Trong 3 bài tập trên, các bình phương đều có sẵn nên ta có thể nhận ra

ngay cách vận dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức cho phù hợp Kết quả cho ta cách giải ngắn gọn và tối ưu nhất Tuy nhiên trong phần lớn bài tập về BĐT, những

bình phương như thế đều không có sẵn Ta có thể thêm và bớt những lượng thích hợp

để tạo ra bình phương Từ đó ta thấy rõ hiệu quả của việc vận dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức.

Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 3

Phân tích: BĐT Nasơbit có thể còn được chứng minh bằng việc sử dụng BĐT Côsi, tuy

nhiên lời giải sử dụng BĐT Bunyakovsky hay ở sự biến đổi

2

( )

b c a b c , sự biến đổi này còn phát huy hiệu quả trong các bài toán phức tạp hơn sau đây

Bài 5:Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh

Nhận xét: Qua bài 4, bài 5 chúng ta thấy rõ ý nghĩa hết sức thiết thực của việc vận

dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức trong giải toán Nếu các bài toán này HS vận dụng phép biến đổi tương đương sẽ gặp phải những BĐT bậc cao khá phức tạp Tuy nhiên, sau khi sử dụng BĐT Bunyakovsky ta thu được BĐT thức bậc thấp đơn giản hơn

có thể chứng minh dễ dàng và lời giải ngắn gọn mang tính chất độc đáo tạo nhiều hứng thú cho HS khi chứng minh BĐT.

Sau đây ta xét thêm một số bài toán khác.

Bài 7: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3(a2 b2 c2)

BĐT này đúng vì theo BĐT Cô si ta có (a2 + b2 + c2)(a + b + c)33 a b c2 2 2.33 abc9abc

Bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 8: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x.y.z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

x y z  y z x z x y

(Đề thi GVDG cấp huyện Phù Mỹ năm học 2013 - 2014)

Nhận xét: Nếu sử dụng trực tiếp BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta chưa giải quyết

bài toán, nên ta cần biến đổi

GIẢI

Bài 9: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P =

b a c b a c

      (Đề thi HSG Toán 9 - Phù Mỹ năm học 2010-2011)

Nhận xét: Nếu thực hiện hướng giải như bài 5 thì HS sẽ bế tắt trong cách biến đổi tiếp

theo Đối với bài toán này ta vận dụng giả thiết để biến đổi

(vì a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca  3(ab + bc + ac) )

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 Đạt dược khi và chỉ khi a = b = c = 1

R  khi a= b = c = d =1.Vậy: giá trị nhỏ nhất của R là 4 khi a = b = c = d =1.

Sau khi hình thành HS kỹ năng sử dụng thành thạo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức theo chiều thuận cần rèn luyện HS sử dụng BĐT Bunyakovsky theo chiều ngược lại Xuất phát từ giả thiết bài toán hoặc từ BĐT cần chứng minh ta làm xuất hiện biểu thức

Nhận xét: Chính sự xuất hiện biểu thức 1

2x y z  và chiều "" của BĐT nên ta nghĩ đến việc vận dung BĐT Bunyakovsky dạng phân thức theo chiều ngược lại Với suy

nghĩ đó ta biến đổi biểu thức A về dạng (b c)2

m n



 ( trong đó m, n là các biểu thức thích hợp)

Chú ý: Với các BĐT đối xứng hay hoán vị vòng quanh ta chỉ cần biến đổi một biểu thức, rồi suy ra các BĐT tương tự và kết hợp để giải quyết bài toán

đó ta có thể biến đổi đưa biểu thức A về dạng

2

(b c)

x y



 ( nhân tử và mẫu với b + c) Từ

đó ta có lời giải sau:

Với ý tưởng tương tự ta có thể giải quyết các bài toán sau

Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z = 3 Chứng minh

Bài 2: Cho Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c 3

Dấu “=” xảy ra khi a = b= c

Bài 7: Cho 4 số dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ nhất của

Một số BĐT nếu để nguyên như đề bài thì chưa vận dụng được BĐT Bunyakovsky, nên cần rèn cho học sinh biến đổi bằng cách tách, ghép hay thêm, bớt các số hoặc các biểu thức cho phù hợp ta có thể vận dụng BĐT Bunuakovsky dễ dàng hơn Ta xét các bài toán sau

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

4 4

4 4

4

4

4

3 4

3 4

 

2 2 2 2 2 2

2 4

16

1 16

1 16

1 16

1 4

4 4 4 4

b b a b

1 1 1 1 16 1 16 1

b b b a

b b b a

4

3 4

3 4 4 4

b a b

4

4

3 4

3 4

3

c b a a c c b b

2 2

2 2

2 2

c a c

b c b a

c a

c a

c

b c

b

a c

b a

b a

c a

c

b c

b

a c b a

b c b

a

(bất đẳng thức Nesbit)

4 9

c a c

2 2

2

2 2

2

c b a b

a

c a

c

b c

b

a

b a

c a

c

b c

b

a c

2 2 2

1

a  b c b  c a c  a b 

Nhận xét: Đối với bài toán này, nếu thực hiện phép khai triển và biến đổi tương đương

ta thu được BĐT bậc cao khá phức tạp Ngoài ra các mẫu thức không có sự liên hệ nào Chính điều đó đã tạo nên bậc cao khi khai triển Như thế, liệu có cách đánh giá nào giúpđưa các mẫu trở về giống nhau hay không? Với ý tưởng này ta tìm được cách giải bài toán như sau:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Với ý tưởng như bài toán 3 ta có thể thực hiện bài toán 4

Bài 4: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z = xy + yz + zx Chứng minh

Nhận xét: Giống như bài toán trước, câu hỏi ta đặt ra ở đây là: Liệu có sự ràng buộc

nào giữa các mẫu thức? Cụ thể ta mong muốn kiểu

x(a + 3b) + y(b + 3c) + z(c + 3a) = 2a + b + c (*)

để có thể sử dụng BĐT Bunyakovsky như bài toán trên

Đẳng thức (*) tương đương với (x + 3z - 2) + (3x + y - 1) + (3y + z - 1) = 0

nó đúng với mọi a, b, c > 0 khi và chỉ khi