1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. Biết
Trang 1Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y x 1
2x 1
- +
= + .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của
đường tiệm cận và trục Ox.
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 sin 2 x( +s inx) +cos2 x-cos x= 2
2) Giải phương trình: x ( )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân :
2
0
2 x
1 2x
+
= +
ò
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB = AD= 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 60 Gọi I là trung điểm của 0
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số dương thoả mãn ab bc+ +ca = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
M
abc a b b c c a
B. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIA (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( ) 2 2
C x- + y + = Gọi ( ) C ' là đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( )d : 3x-y = 0 và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Viết phương trình đường tròn ( ) C ' .
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua A 3; 2; 4 ( - - ) , song song
với mặt phẳng (P) : 3x 2 y- -3z 7 - = và cắt đường thẳng (d) : 0
x 2 3t
z 1 2t
= +
ì
ï
= - -
í
ï = +
î
.CâuVIIA (1,0điểm).Tính giới hạn
tan( 1) 1 lim
1
x
x
-
®
2.Theo chương trình nâng cao.
Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2
: ( 1) ( 2) 12
Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
2 3
AB =
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 2; 2), B(0; 1; 2) và C(2; 2;1). Viết
phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A, song song với BC và cắt các trục Oy, Oz theo thứ tự tại M, N
khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON.
CâuVII B (1,0 điểm) Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím
và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được
ít nhất 2 bút cùng màu.
HẾT
Trang 2Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.
II) Đáp án và thang điểm:
Cho hàm số y x 1
2x 1
- +
= +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1,0 đ
CâuI.1
Tập xác định: D R / 1
2
-
ì ü
= í ý
î þ
Sự biến thiên:
2
3 y'
( 2x 1 )
-
= + Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
Đồ thị hàm số không có cực trị
1 lim
2
x y
®-¥
-
= ; lim 1
2
x y
®+¥
-
= Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 1
2
y = -
1
2
lim
x
y
-
®-
= -¥ ;
1
2
lim
x
y
+
®-
= +¥ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1
2
x = - .
0,25
0,25
1,0 đ
Bảng biến thiên:
2
2
||
2
-
0.25
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng 1; 1
2 2
I æç- - ö ÷
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại A ( ) 0;1 , cắt trục hoành tại B (1; 0) 0.25
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm
CâuI.2
1,0 đ
Phương trình tiếp tuyến tại M x y ( 0; 0 ) có dạng 0
0
1
3
x
- +
-
Giao điểm của tiệm cận của đồ thị hàm số với trục Ox là ( 1 ; 0)
2
N -
Tiếp tuyến đi qua ( 1 ; 0)
2
0
1
x
x
- +
0.25
0.25
Trang 3Giải phương trình được 0 5
2
Phương trình tiếp tuyến tại ( ;5 1 )
2 4
12 24
1) Giải phương trình: 3 sin 2x( +s inx) +cos2x cos x- = 2 .
CâuII
Phương trình đã cho tương đương với :
2 3 sin x cos x+cos x-sin x+ 3 s inx cos x- =2 cos x+ sin x 0.25
2,0 đ ( 3 sin x-cos x) ( 2 - 3 s inx-cos x) = 0 3 s inx cos x 0
3 s inx cos x 1
Û ê
6
6
x k 2 k Z
3
1 sin x
p
é
ê
é æ p ö
ê
p
ê
ê
ê æ p ö
ê
KL: Vậy phương trình có ba họ nghiệm:
0.5
Đ/K x> - 1 .
Phương trình đã cho tương đương e x -ln 1 x( + ) - = 1 0 .
Xét hàm số ( ) x ( ) ( )
f x =e -ln 1 x+ -1, xÎD= - +¥ 1;
0.25
x 1
+
( )
x
2
1
f " x e , f " x 0 x D
x 1
+
0.25
Suy ra f ' x ( ) là hàm đồng biến trên D
Nhận thấy f ' 0( ) = 0 nên phương trình f ' x( ) = 0 có đúng một nghiệm x= 0 0.25
Ta có bảng biến thiên
0
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có một nghiệm duy nhất x= 0
0.25
Tính tích phân :
2
0
2 x
1 2x
+
= +
CâuIII
1,0đ
t= 2xÞt =2xÞdx= td
Đổi cận: x 0 t 0
= Þ =
= Þ =
0.25
Trang 42 2
+
2
2
0
( t ln | t 1|) ( 4 ln 3 )
2
KL
0.25
CâuIV
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD= 2a,
CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
1,0đ
1,0đ
Nhận xét : SI ^ABCD
0.25
Gọi H là hình chiếu của I lên BC.
Tính được S ABCD 3a ; IH 2 3a 5
5
Suy ra
3
S ABCD
0.25
CÂU V
Cho , , a b c là các số dương thoả mãn ab bc+ +ca = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
M abc a b b c c a
1,0đ
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
3
2 2 2
3
M
0.25
3
ab bc ca abc a b b c c+ + +a = ac bc ba ca cb+ + +ab £ + + = (1) 0.25
3
ab bc ca
Từ (1) và (2) suy ra 3
2
M ³
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 3
2 khi a=b=c = 1
0.25
Trang 5VI A.1
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( ) 2 2
C x- + y + = Gọi ( ) C ' là đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( )d : 3x-y = 0 và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc
ngoài với đường tròn (C). Viết phương trình đường tròn ( ) C ' .
1,0đ
1,0 đ
Đường tròn( ) C có tâm I ( 1; 1 - ) , bán kính R=2
Đường tròn( ) C ' có tâm I a a '( ; 3 ) , bán kính R’
Do đường tròn ( ) C ' tiếp xúc Oy nên R’=|a|
0.25
Do đường tròn ( ) C ' tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) nên II' =R ' 2 +
(a 1) (3a 1) (| | 2) a
Giải phương trình (1) được 2
3
a = hoặc 4 34
9
Vậy : Phương trình đường tròn cần tìm là : 2 2 2 2
hoặc
0,25
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua
A 3; 2; 4 - - , song song với mặt phẳng (P) : 3x 2 y- -3z 7- = và cắt đường 0
thẳng (d) :
x 2 3t
z 1 2t
= +
ì
ï
= - -
í
ï = +
î
1,0đ
Giả sử ( ) D cắt (d) tại M 2 3t; 4( + - -2t;1 2t+ ) Þuuuur AM =( 3t 1; 2t- - -2;2t+ 5 )
0.25 Câu
VI A.2
Mặt phẳng (P) có vtpt nr =( 3; 2; 3 - - )
( ) D //(P) n.AM = 0
1,0 đ Û3 3t 1( - ) -2( -2t-2) -3 2t( +5) =0Û = t 2
Đường thẳng ( ) D đi qua A 3; 2; 4 ( - - ) có vtcp uuuur AM =( 5; 6;9 - )
Suy ra phương trình ( ) D là:
x 3 5t
= +
ì
ï
= - -
í
ï = - +
î
0,25
Tính giới hạn
x 1 3
tan( 1) 1 lim
x
-
®
Câu
VII A
2
x 1
x
-
®
0,5
3
Câu
VI B
2,0 đ
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) C : (x- 1) 2 + (y + 2) 2 = 12 . Viết
phương trình đường tròn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
AB= 2 3
1,0 đ
Trang 6Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 ( - ) , bán kính R= 2 3
Do (C) cắt (C’) tại A, B nên AB^ IM
Gọi E là trung điểm AB. D IAB đều ÞIE= 3 , IM = 5
Nếu E nằm giữa I và M ÞEM =2,EA= 3ÞMA= 7
Phương trình đường tròn cần lập là: ( ) 2 2
0,25
0,25
Nếu E nằm giữa I và M ÞEM =8,EA= 3ÞMA= 67
Phương trình đường tròn cần lập là: ( ) C' : (x- 5) 2 + (y - 1) 2 = 67
KL : Có hai đường tròn thỏa mãn( ) 2 2
' : ( 5) ( 1) 7
hoặc ( ) 2 2
' : ( 5) ( 1) 67
0,25
0,25
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( -2; 2; 2 - ) , B 0;1; 2 ( - ) và
C 2;2; 1 - Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A, song song với BC và cắt các
tia Oy, Oz theo thứ tự tại M, N khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON.
1,0 đ
Từ giả thiết ta có M 0; m;0 ( ) và N 0;0; n ( ) trong đó mn¹ 0 và m = ± 3n ÞMNuuuur = m.u ur
với u 0; 1;3 r ( - )
Giả sử ( ) P có vtpt n ¹ r 0 r
. Do ( ) P đi qua M, N và song song với BC nên n BC
n u
ì ^
ï
í
^
ï
r uuur
r r suy
ra n r
// éBC u , ù
với u 0; 1;3 r ( - )
( )
, 4; 6; 2
BC u
Þëuuur r û = -
, chọn nr =( 2; 3; 1- - Þ) ( ): 2P x-3y z - + = 8 0
0,25
với u 0; 1; 3 r ( - - )
( )
, 2; 6; 2
BC u
Þëuuur r û = -
, chọn n r =( 1; 3;1- ) Þ( ):P x-3y z + +10 0 =
KL :
0,25
Câu
Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái
bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy
được ít nhất 2 bút cùng màu.
1,0
7B Số cách lấy bốn chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: ( ) 4
20
1,0 đ Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu
Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là:
6 6 5 3
Số cách lấy được 4 bút mà có ít nhất hai bút cùng màu là: n A( ) =n( ) W -n A( ) = 4305 0,25
Xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là:
( ) ( )
( )
n A 4305 287
P A
W
0,25
