PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Là phương trình có dạng f x g x trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, fx và gx thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai.. 2 thu được là phươn
Trang 1Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
IV PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Là phương trình có dạng ( ) ( ) ( )
f x g x
trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, f(x) và g(x) thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai
Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được
1 ⇔loga a f x b g x =loga c⇔loga a f x +loga b g x =loga c⇔ f x( )+g x( ) loga b=loga c, 2
(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản
Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1 Khi đó việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều
Ví dụ 1: [ĐVH].Giải các phương trình sau
a) 3 2x x+1=72 b) 5 3x x2 =1 c) 73x+9.52x=52x+9.73x
Hướng dẫn giải:
a)
1
9.8
x x
+
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
2
5 3x x = ⇔1 log 5 3x x =log 1⇔log 5x+log 3x = ⇔0 xlog 5+x =0
3
0
log 5
x
x
=
= −
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = –log35
c) 3 2 2 3 3 2 3 2 ( ) ( )3 2
7 x+9.5 x=5 x+9.7 x ⇔8.7 x=8.5 x⇔7 x=5 x⇔lg 7 x =lg 5 x ⇔3 lg 7x −2 lg 5x =0
(3lg 7 2 lg 5) 0 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0
Ví dụ 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau:
a)
1
5 8 500
x
x x
+
2 1 1
x
x x
− + = c) 2x−3=5x2− +5x 6 d) x2lgx=10x
Hướng dẫn giải:
a) 5 8 1 500, ( )1
x
x x
+
= Điều kiện: x ≠ 0
3
x x
5
3
log 2
x
x
=
b) 5 22 11 50, ( )2
x
x x
−
+ = Điều kiện: x ≠ –1
1
x x
+
2
2
2
2 0
log 5 lg 5
x x
=
− =
04 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Vậy phương trình có hai nghiệm 2 ; 1
lg 5
2x− =5x − +x ⇔log 2x− =log 5x− +x ⇔ − =x 3 x −5x+6 log 5
5
2
3
3 0
log 50 log 5 1 2 log 5
log 5
x x
x x
=
− =
= +
Vậy phương trình có hai nghiệmx=3 ;x=log 50.5
10 , 4
=
x
x x Điều kiện: x > 0
2
x
=
Vậy phương trình có hai nghiệmx=10 ;x= 10
BÀI TẬP LUYỆN TÂP:
Bài 1: [ĐVH].Giải phương trình
a)
1
5 8 500
−
=
x
b) 3 8x x+x1=36
c) 34x =43x
Bài 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 3 log 5
5− x =25
9 x =
c) log 9 2 2 log 2 log 3 2
.3
3 log log
3
3 100 10
−
=
x
Bài 3: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) log 9+9logx =6
x
c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2
x d) lg 10( ) lg lg 100( 2)
4 x −6 x =2.3 x
Bài 4: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) ( 2 ) ( 2 )
2 log 16 log 16 1
2 x − +2 x − + =24
b) ( ) 2
1 log 2 log
2+ x +224= x
x
c) xlg2x−3lgx−4,5=10−2lgx
Bài 5: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 4x2+ −2x 8=5x−2 b)
9 1
7 2x x+ =392 c) 2 3x 9−x2 =8
d)
2 1
1
x
x x
−
2
x − x x = f) 3x−1=5x2−1
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: [ĐVH].Giải phương trình
a)
1
5 8 500
x
x x
−
x
x x+ = c) 34x =43x a)
( )
1
2
2
2
3 3
log 5
x
x
x x
Trang 3Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
b)
3 1
3 2
3
2
1 log 4 2 log 4
x x
x x
x
3
4
3
x
Bài 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 3 log 5
5− x =25
9 x =
c) log 9 2 2 log 2 log 3 2
.3
3 log log 3
3 100 10
−
=
x
Lời giải:
a) 5
5
3 2 2 log
0
0
25 5
−
>
>
=
x
x
x
x
x x
b) log 9 2
9.x x =x ⇔Lấy loga cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :
9
9 0
=
x x
c) log 9 2 = 2.3log 2x − log 3 2
x x x Sử dụng công thức : logc b= logc a
a b Phương trình biến đổi thành :
2
log
log 2
>
x
x
x
2
2
= + − → = + <
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến
d) ( ) 3 2
3 log log
3
3 100 10
−
=
x Lấy log hai vế , phương trình trở thành :
3 2
3 3
log
−
7 3 7
2
log
10 7
3
10 1
7 log
9
−
=
⇔ < ≠ ⇔ = − ⇔
=
=
=
x
x
x t
x t
Bài 3: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) xlog 9+9logx =6 b) 3log 2x+xlog 3 2 =63log 2x
c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2
x d) lg 10( ) lg lg 100( 2)
4 x −6 x =2.3 x
Lời giải:
a)
1
log log log 2log
log
2
< ≠
=
x
x
x
Trang 4Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
b)
2
log log log 3 3log log log 3log log 3log
3
x
1 72
1 log 2
72
1
2
log 2 log 6 log 4 log 2 log log 2log
4 x− =2.3 x ⇔2 + x −6 x =2.3 + x ⇔4.2 x−6 x=18.3 x
x
2
log
2 log log 2log log 2 log
2
0
+ − =
x
x
t
2
2
0
1
0
2
4
9
−
>
=
x t
t
t
d) lg 10( ) lg lg 100( 2) 1 lg lg 2 2 lg 2 lg lg 2 lg
4 x −6 x =2.3 x ⇔4+ x −6 x =2.3+ x ⇔4.2 x−6 x =18.3 x
Chia hai vế cho 22 lgx >0
ta được
2 lg
2 2
0
0
4
9
−
>
= >
x
t
Bài 4: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
2 log 16 log 16 1
2 x − +2 x − + =24
b) ( ) 2
1 log 2 log
2+ x +224= x
x c) lg2x−3lgx−4,5= 10−2lgx
Lời giải:
3
log 16
2
0
−
>
x
t t
t
3
2
log
2 log
1 log 2log log log
2
x x
x
2
2
log 4
2
2 2
4
16 2
−
>
=
x
t
x
x t
c) xlg2x−3lgx−4,5=10−2lgx
3 10 2
1
lg 0
2
lg
2
−
+
=
−
+
x x
x
x x
x x
V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x), (1)
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) là hàm hằng thì (1) có nghiệm duy nhất x = x o
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) thì (1) có nghiệm duy nhất x = x o
Trang 5Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Biến đổi phương trình đã cho về dạng (1), dự đoán x = xo là một nghiệm của (1)
Chứng minh tính đồng biến, nghịch biến hay hằng số của (1)
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến kết luận ở trên để chứng tỏ khi x > x o và x < x o thì (1) vô nghiệm Từ đó ta
được x = x o là nghiệm duy nhất của phương trình
Hàm f(x) đồng biến thì x 2> x 1 →f ( x ) 2 > f ( x ) ; f(x) nghịch biến thì 1 x 2 > x 1 →f ( x ) 2 < f ( x ) 1
( x )
chất tương tự cho hiệu hoặc thương của hai hàm.
thừa, ta coi đó là phương trình ẩn là hàm mũ và giải như bình thường Bài toán sẽ quy về việc giải phương trình bằng phương pháp hàm số để thu được nghiệm cuối cùng.
Dạng 1: Phương trình sử dụng sự biến thiên của hàm số mũ
Ví dụ 1: [ĐVH].Giải các phương trình sau
a) 3x= −5 2x b) 2 32 1
x
x= + c) (3+2 2) (x+ −3 2 2)x =6x
Lời giải:
a) 3x= −5 2 , 1 x ( ) Đặt ( ) 3
x
f x
′
= − → = − <
Từ đó ta thấy f(x) đồng biến, còn g(x) nghịch biến
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (1)
Khi x > 1 thì ( ) (1) 3
( ) (1) 3
> =
→
< =
Khi x < 1 thì ( ) (1) 3
( ) (1) 3
< =
→
> =
(1) vô nghiệm Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
x
x
= + ⇔ = + ⇔ + =
′
= + → = + < →
Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (2)
Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghiệm
Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghiệm
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Do đó f(x) là hàm nghịch biến
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (3)
Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghiệm
Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghiệm
Lời giải:
2
x
= ⇒ >
1
t
=
Trang 6Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
x
= ⇔ = ⇔ =
2
x
Ta có x = −2 thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*)
Mà hàm số 1
2
x
=
luôn nghịch biến trên R, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến trên R Do đó x = −2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0,x= −2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 6x+ =8x 10x b) ( 5+2 6) (x + 5−2 6)x = 10x
− + − − = − +
x
Lời giải:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2
x
f x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1
− + + = ⇔ + = ⇔ = + − =
x
f x
⇒ = + >
f x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1
− + − − = − + ⇔ + + = + + +
x
( ) 3 2 2 '( ) 3 ln 3 2 ln 2 0 ; (1) 7
= = + + +
VP g x Là một hàm số nghịch biến, mặt khác g(1) = 7
Chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 4x− =3x 1
c) 3x+4x+12x =13x d) 3x+5x =6x+2
Lời giải:
− = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + − =
f x
Ta có '( ) 1 ln 1 3 ln 3 0 ( )
= + < ⇒
Trang 7Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1
= + + − ⇒ = + + <
Suy ra f(x) là hàm nghịch biến, nên phương trình sẽ có nghiệm duy nhất
Mặt khác f(1) = 0, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
= + + − ⇒ = + + <
Vậy f(x) là hàm số nghịch biến
Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
d) 3x+5x =6 + ⇔2 ( )= + −3x 5x 6 −2
Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1
Ta có '( )=3 ln 3x +2 ln 2 6;x − ''( )=3 (ln 3)x 2+2 (ln 2)x 2 >0
lim ( ) ; lim ( ) 6
Suy ra f x'( ) là một hàm số liên tục , đồng biến và nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm trên R, nên phương trình
'( )=0
f x có nghiệm duy nhất x0
Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình, sẽ không còn nghiệm nào khác
Dạng 2: Phương trình sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ: [ĐVH].Giải các phương trình sau
a) 25x−2(3−x).5x+2x− =7 0 b) 3.25x−2+(3x−10).5x−2+ − =3 x 0
c) 4x2 +(x2−7).2x2 + −12 4x2 =0 d) 4x2+x.3 x+31+ x =2.3 x x2+2x+6
Lời giải:
a) 25x−2(3−x).5x+2x− = ⇔7 0 52x−2(3−x).5x+2x− =7 0, ( )1
Ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn 5x
′
x
x
= − + − = − <
(*) là phương trình quen thuộc ở ví dụ 1 đã xét đến, ta dễ dàng tìm được nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất của (*)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
3.25x− +(3x−10).5x− + − = ⇔3 x 0 3 5x− +(3x−10).5x− + − =3 x 0, 2
3x 10 12 3 x 9x 60x 100 36 12x 9x 48x 64 3x 8
Khi đó, ( )
1
2
2 2
1
6
3 2
5
6
x
x
x x
x
−
−
−
−
=
Xét phương trình (**)⇔5x−2= −3 x Đặt
→
′
Từ đó ta được f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến
Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (**)
( ) (2) 1
x
> =
< =
Trang 8Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
( ) (2) 1
x
< =
> =
3
4x +(x −7).2x + −12 4x = ⇔0 4t + −(t 7).2t+ − =12 4t 0, t=x ≥0 3
Khi đó, ( )
( ) ( )
2
2 3
2
2
t
t
t t
t
=
=
Với t= ⇔ = ±2 x 2
Với 2t = − 3 t → = ⇔ = ±t 1 x 1
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x= ±1;x= ± 2
4x +x.3 x+3+ x =2.3 x x +2x+6, 4
Điều kiện: x ≥ 0
( )4 ⇔ x2(4−2.3 x) (+x 3 x − + −2) 6 31+ x = ⇔0 2x2(2 3− x) (−x 2 3− x) (+3 2 3− x)=0
2
x x
o
− + =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 2 1 1( )
3 x− +3x− 3 − + − =7 2 0
b) 255−x−2.55−x(x− + −2) 3 2x=0
c) 9x+2( −2 3) x +2 − =5 0
Bài 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
3 x− + 3 −10 3x− + − =3 0
b) 3.4x+(3x−10 2) x+ − =3 x 0
c) ( )log 2 ( )log 2
2
2+ 2 x+x 2− 2 x = +1 x
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
a) 2 1 1( )
3 x− +3x− 3 − + − =7 2 0
25−x−2.5−x − + −2 3 2 =0
Lời giải:
a) 2 1 1( )
3 x− +3x− 3 − + − =7 2 0
2
= >
x
0
6 3
1
>
⇔ = − ⇔
x
x
t
t
0 '( ) 3 ln 3 3 0
=
⇔
= + >
x
f x Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = 1
Trang 9Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
0
−
>
= >
x
t t
Mặt khác f(4) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4
0
5 2
>
= >
x
t t
( ) 3 2 5 0 '( ) 3 ln 3 2 0
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến
Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1
Bài 2: [ĐVH].Giải các phương trình sau :
3 x− + 3 −10 3x− + − =3 0
b) 3.4x+(3 −10 2) x+ − =3 0
c) ( )log 2 ( )log 2
2
2+ 2 x+x 2− 2 x = +1 x
Lời giải:
2
−
−
x x
2 1
2 2
2
0
1
1
'( ) 3 ln 3 1 0
3
−
−
−
>
= −
= −
x
x x
x
t
x
f x t
x
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2
0
3
3
−
>
= −
x
t t
2
log 3
'( ) 2 ln 2 1 0
= −
x x
x
f x
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác f(1) = 0 nên f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x= −log 3.2
c) ( )log 2 ( )log 2
2
2
2
log
log
+
x
x
x x
Khi đó, phương trình đã cho trở thành : ( )
2
2 2
2 2
x
x
t
2
1
=
x