bài tập đại số 10 chương 5 va hình học chương 3

bài tập đại số 10 chương 5 va hình học chương 3 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC

1 Giá trị lƣợng giác của góc (cung) lƣợng giác

a Định nghĩa

y t c’ K T U c

x’ O H x

y’ t’

sin cos

OK OH





 

2



b Tính chất

    

c Các hệ thức cơ bản

sin

cos







3 Bảng hàm số của góc (cung) lượng giác đặc biệt



Hàm số

0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o

0

6



4



3



2

3

4

6

2

sin 0 1

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3 3

3 3

2 Giá trị lƣợng giác một số gĩc (cung) cĩ liên quan đặc biệt

Hai góc đối nhau

cos( ) cos

   

   

   

3

Một

số cơn

g thứ

c lƣợ

ng giác

a Cơng thức cộng

b Cơng thức nhân đơi

sin2a 2sinacosa cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a

2tana

1 tan a



c Cơng thức nhân ba

3

sin3a 3sina 4sin a

   cos3a 4cos a 3cosa 3 

3 2

3tana tan a tan3a

1 3tan a





d Cơng thức hạ bậc

sin a

2



4



cos a

2



4



tan a

1 cos2a





tan a

3cosa cos3a





Hai góc bù nhau

Hai góc hơn kém nhau 

Hai góc hơn kém nhau π / 2

2

2





    

     

2

2





     

     

Hai góc phụ nhau

2

2

    

    

2

2

    

    

sin(a b) sinacosb sin bcosa sin(a b) sinacosb sin bcosa cos(a b) cosacosb sinasin b cos(a b) cosacosb sinasin b

tana tan b tan(a b)

1 tanatan b tana tan b tan(a b)

1 tanatan b









d Cơng thức tính theo t tan a

2

 Đặt t tan a

2

 , a (2  k  1) ,  k 

e Cơng thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

f Cơng thức biến đổi tổng thành tích

sin(a b) tana tan b

cosacosb sin(a b) tana tan b

cosacosb sin(a b) cot a cot b

sinasin b sin(b a) cot a cot b

sinasin b









g Chú ý

Bài tập cung và gĩc lượng giác

Phần 1: Biến đổi lượng giác

Bài 1: CM các đẳng thức sau:

a, sin4x + cos4x = 1- 2sin2xcos2x = 1 – ½ sin22x b, sin6x + cos6x = 1-3sin2xcos2x = 1- ¾ sin22x

c,

s inx-cosx+1 1+sinx 1 c otx 1+tanx

d

 Bài 2: Rút gọn biểu thức

2

2t sina

1 t





2 2

1 t cosa

1 t





2t tana

1 t





sin a cosa 2.sin a

4 sin a cosa 2.sin a

4 cosa sin a 2.cos a

4 cosa sin a 2.cos a

4









2 2 2

2

n

1 sin2a (sina cosa)

1 sin2a (sina cosa)

1 cos2a 2 cos a

1 cos2a 2sin a

sinacosa sin2a sin acos a sin 2a

sin a cos a 1 2sin acos a 1 sin 2a cos4a

sin a cos a 1 3sin acos a 1 sin 2a

cos4a 8 sin a cos a 1 4sin acos a 2sin acos a

2 2 2 6 6

(1 c otx)sin (1 t anx)cos s inxcosx D= sin 4 os os 4sin

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a, Cho sinx + cosx = 5/4 Tính A = sinxcosx B = sinx – cosx C= sin3x – cos3x

b, Cho tanx – cotx = m Tính A = tan2x – cot2x B= tan2x + cot2x C= tan3x + cot3x

Bài 4: CMR các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

c

Bài 5: Rút gọn

sin( ) sin( )

tan( ) tan tan tan( ) tan tan os(a+b)-cos(a-b)

sin 2 (4sin 4) sin 2 os2a (1 os4a)(1 os2a)

sina+sin3a+sin5a+sin7a

H=

osa+cos3

c

c

tan 3 tan 5 a+cos5a+cos7a cot 3 cot 5

L





 Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

0

4sin 70 os os os tan 9 tan 27 tan 63 tan 81

sin os sin 20 sin 40 sin 60 sin 80

24 24

Phần 2: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1: CMR trong tam giác ta luôn có:

a, sinA + sinB + sinC = 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2) b, cosA+cosB+cosC = 1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

c, sin2A+sin2B+sin2C = 2+ cosAcosBcosC d, tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC < tam giác ko vuông>

e, tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2) = 1

f, cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1 g,

os os os os os os

Bài 2: CMR điều kiện cần và đủ để tam gáic ABC vuông là:

a, cos2A + cos2B + cos2C = -1 b, sinA + sinB + sinC + 1 = cosA + cosB + cosC

c, sinB + sinC = cosB + cosC d, sin2B + sin2C = 4 sinBsinC

e, sin osB tan , tan

C f

Bài 3: CMR tam giác ABC cân nếu: a, c = 2a.cosB b, tanA + 2tanB = tanA.tan2B c, sinC = 2sinAsinB.tan(C/2)

d, asin(B-C) + bsin(C-A) = 0 e, tanA + tanB = 2cot(C/2)

Bài 4: CMR : Nếu 0≤x,y ≤  thì s inx+siny sin

x  y



Đề: Tham khảo

5 2



    

sin105

B    

Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng tam giác MNP cân tại N nếu:sinN 2 cosM

III CÁC HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = ha và các đường trung tuyến AM = ma, BN =

mb, CP = mc

1 Định lí cosin

a2 = b2 + c2 – 2bccosA

b2 = a2 + c2 – 2accosB

c2 = a2 + b2 – 2abcosC

Hệ quả

cos ; cos

cos

2

C

ab

 



2 Định lí sin

C

c B

b A

a

( 2 sin sin

sin    : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác

; ;

4 Các công thức tính diện tích tam giác

Diện tích S của tam giác được tính theo các công thức:

* 1 1 1

2 a 2 b 2 c

S  a h  b h  c h * S ab C ac B bcsinA

2

1 sin 2

1 sin 2

1







*

R

abc

S

4

 ( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

* S  pr với ( )

2

1

c b a

p   và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

* S  p ( p  a )( p  b )( p  c ) với ( )

2

1

c b a

p   (công thức Hê- rông)

Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương trình tham số

* Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ chỉ phương u  ( u1; u2) là

) 0 ( 12 22

2

0

1















u u tu

y

y

tu

x

x

* Phương trình đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0)

* Nếu  có VTCP u ( u1; u2) với u1  0 thì hệ số góc của

1

2

u

u k

là 

* Nếu  có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là u ( 1 ; k )

2 Phương trình tổng quát

* Phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vec tơ pháp tuyến n  ( a ; b ) là:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 0)

* Phương trình ax + by + c = 0 với a2

+ b2  0 là PTTQ của đường thẳng nhận n ( a ; b ) làm VTPT

* Đường thẳng  cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có PT theo đoạn chắn là :x y 1.( ,a b 0)

a b 

*Nếu x( ; )a b và n  x thì n =(b; - a)

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng

0 :

0 :

2 2 2 2

1 1 1 1

















c y b x a

c y b x a

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình



















0

0

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

(I)

* Hệ (I) có một nghiệm: 1 cắt 2* Hệ (I) vô nghiệm : 1// 2 * Hệ (I) có vô số nghiệm: 1  2

 Chú ý: *Nếu a2b2c2  0 thì : 1 1 1 1 1 1 1 1

*Chod ax by:   c 0

.  / /d thì PT có dạng : ax + by+m=0 (m khác c)

.   d thì PT có dạng : bx - ay+m=0

4 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có VTPT





2

1 và n

n được tính theo công

thức:

2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

2 1

2 1 2

1 2

1

|

|

|

||

|

|

| ) , cos(

) , cos(

b b a a

b b a a n

n

n n n

n























5 Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

d(M0,) =

2 2 0

|

b a

c by ax







B BÀI TẬP

1/ Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hơp sau:

a) (d) đi qua điểm M(1 ; 1) và có VTPT n  ( 3 ;  2 )

b) (d) đi qua điểm A(2 ; -1) và có hệ số góc k = - 1/2

c) (d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3)

d) (d) đi qua điểm A(1 ; -2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0

e) (d) đi qua điểm A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng x – y + 5 = 0

2/ Cho đường thẳng

















t y

t x

3

2 2

a) Tìm điểm M nằm trên  và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  với đường thẳng x + y + 1 = 0

c) Tìm điểm M trên  sao cho AM ngắn nhất

3/ Cho điểm M(1 ; 2) Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau

4/ Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0, (d2): 2x – y + 6 = 0

a) Tính góc giữa hai đường thẳng

b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng

5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4) 6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao

AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0 Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác

7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0 Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác

8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4)

9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0 Một đỉnh của hình bình hành là A(4 ; -1) Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó

10/ Cho đường thẳng  : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng 

b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua 

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

phương trình đường tròn

* Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2

+ (y – b)2 = R2

* Nếu a2

+ b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm

I(a ; b), bán kính R = a2  b2  c

* Nếu a2

+ b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

* Nếu a2

+ b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

B BÀI TẬP

1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có

a x  y  x  y   b x  y  x  y   c x  y  x  y  

2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau :

a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ

c) (C) tiếp xúc với trục Ox d) (C) tiếp xúc với đường thẳng  : 4x + 3y – 12 = 0

3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5)

a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC b)Tìm tâm và bán kính của (C)

4/ Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng : 3x – y + 10 = 0

a)Tìm toạ độ tâm của (C); b) Tính bán kính R của (C); c) Viết phương trình của (C)

5/ Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đ thẳng : 3x + y – 3 = 0 6/ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4 ; 2)

7/ Cho đường tròn (C): x2

+ y2 – x - 7y = 0 và đường thẳng (d) : 3x + 4y – 3 = 0

Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d); b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó;

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến

8/ Cho đường tròn (C) : x2

+ y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ; 3) a) Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường tròn (C); b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A

9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2

+ y2 - 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến : a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0;

b) Vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + 4 = 0

10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2

+ (y – 2 )2 = 9 và điểm M(2 ; -1)

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d1) và (d2) với (C).Hãy viết phương trình của (d1) và (d2)

b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của (d1) và (d2) với (C), hãy viết ptrình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2

III ELIP

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Định nghĩa:

(E) =  M MF1 MF2  2 a 

F1F2 = 2c, a > c

2) Phương trình chính tắc:

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1 với b 2

= a2 – c2

3) Hình dạng và các yếu tố:

Cho elip (E): 2

2 2 2

b

y a

x  = 1

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:

 A1A2 = 2a: trục lớn

 B1B2 = 2b : trục nhỏ

 Các tiêu điểm: F 1 (-C;0), F 2 (C;0)

 Tiêu cự: F 1 F2 = 2c

 Bán kính qua tiêu của điểm M (E):



















M

M

x a

c a MF

x a

c a MF

2 1

 ĐinA1  a0;0 ,     A a2 ;0 , B1 0;  b B    , 2 0; b

 Tâm sai: e = 1

a c

 Phương trình đường chuẩn:

( 1): x = -

c

a e



 ; ( 2): x =

c

a e



B BÀI TÂP

1/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:

a) 1

16

25 x  y  b) 4x2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 4y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 2

2/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết

a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E) b)F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12) c)Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5 d)Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = 4, y3

e)(E) đi qua hai điểm M(4 ; 3 ), N(2 2;3)

3/ Tìm những điểm trên elip (E) : 1

9

2

2



 y

x

thỏa mãn : a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông c)Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 600

4/ Cho elip (E) : 1

4 9

2 2



 y

x

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E)

b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung

c) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB 5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hyperbol (H) sau :( Vẽ (H) có phương trình ở câu a), b) và d))

4

16

2

2



 y

x

b) 4x2 – y2 = 1 c) 16x2 – 25y2 = 400 d) x2 – y2 = 1 6/ Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết :

a) Một tiêu điểm là (5 ; 0), một đỉnh là (- 4 ; 0) b)Độ dài trục ảo là 12, tâm sai bằng 5/4

c)Một đỉnh là (2 ; 0), tâm sai bằng 3/2 d)Tâm sai bằng 2, (H) đi qua điểm A(-5 ; 3)

e)(H) đi qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ; 2 2)

7/ Tìm các điểm trên hyperbol (H) : 4x2

– y2 – 4 = 0 thỏa mãn : a)Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

b)Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 1200 c) Có tọa độ nguyên

8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau :

a) y2 = 4x b) 2y2 – x = 0 c) 5y2 = 12x ( Vẽ (P) có phương trình ở câu a))

9/ Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết :

a) (P) có tiêu điểm F(1 ; 0); b) (P) có tham số tiêu p = 5; c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 là đường chuẩn

d) Một dây cung của (P) vuông góc với trục Ox có độ dài bằng 8 khoảng cách từ đỉnh O đến dây cung này bằng 1 10/ : Cho parabol (P): y2 = 8x; a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4

Đế tham khảo

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5; AC = 6; BC = 7

a/ Tính diện tích DABC (2 điểm)

b/ Tính độ dài đường trung tuyến AM (2 điểm)

c/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp của DABC (1 điểm)

Bài 2: Cho DABC có A(2;-2); B(-3;1); C(1;5)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB (2 điểm)

b) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của DABC (1,5 điểm)

c) Tìm tọa độ điểm đối xứng A’ của A qua BC (1,5 điểm)

(Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox sao cho DABC cân tại D)

CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT