Bài tập môn học Lý thuyết tính toán

PHẦN I: LÝ THUYẾT 10.4. Ngôn ngữ đó không phải là đệ quy liệt kê. 11.1. Văn phạm không hạn chế. PHẦN II: BÀI TẬP I. Khái niệm số phức 1.1. Định nghĩa số phức 1.2. Các dạng biểu thức của số phức II. Các phép tính cơ bản trên số phức. III. Phân tích bài toán. 1.1. Mục đích. 1.2. Giải thuật. 1.3. Thực hiên trên máy RAM thô sơ. 1.4. Chương trình RAM thô sơ. PHẦN I: LÝ THUYẾT 10.4. NGÔN NGỮ KHÔNG PHẢI LÀ ĐỆ QUY LIỆT KÊ Biết rằng có nhiều ngôn ngữ không phải là đệ quy liệt kê đó là điều hiển nhiên. Theo luận văn ChurchTuring, một ngôn ngữ không thể được chấp nhận bởi TM, không thể nhận ra bởi bất cứ thủ tục thuật toán có thể nghĩ ra, và do đó phương pháp được gọi là “tinh tế” là một phương pháp tốt để mô tả đối số. Tuy nhiên chúng tôi có thể sử dụng đối số như ở đây. Trong trường hợp đó, Chúng sử dụng ma trận trong đó hàng phù hợp với số nguyên i và cột được thiết lập Aj, và chúng sử dụng thiết lập các thao tác bao gồm định nghĩa (i, j). Ở đây đối số tinh tế hơn nhiêu, về tập hợp của máy TMs khi bắt đầu đếm T0, T1, … và mỗi i là chuỗi mã hóa

BỘ GIÁO GIỤC ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TIỂU LUẬN

HVTH

: ĐÀO NGỌC TUẤN ANH : NGUYỄN VĂN KIỂM : PHAN MINH TIẾN Nghành : Khoa học máy tính

Đà Nẵng – ngày 09 tháng 05 năm 2010

PHẦN I: LÝ THUYẾT

10.4 Ngôn ngữ đó không phải là đệ quy liệt kê.

11.1 Văn phạm không hạn chế.

PHẦN II: BÀI TẬP

I Khái niệm số phức

I.1 Định nghĩa số phức I.2 Các dạng biểu thức của số phức

II Các phép tính cơ bản trên số phức.

III Phân tích bài toán.

1.1 Mục đích.

1.2 Giải thuật.

1.3 Thực hiên trên máy RAM thô sơ.

1.4 Chương trình RAM thô sơ.

PHẦN I: LÝ THUYẾT 10.4 NGÔN NGỮ KHÔNG PHẢI LÀ ĐỆ QUY LIỆT KÊ

Biết rằng có nhiều ngôn ngữ không phải là đệ quy liệt kê đó là điều hiển nhiên Theo luận văn Church-Turing, một ngôn ngữ không thể được chấp nhận bởi TM, không thể nhận ra bởi bất cứ thủ tục thuật toán có thể nghĩ ra, và do đó phương pháp được gọi là “tinh tế” là một phương pháp tốt để mô tả đối số Tuy nhiên chúng tôi có thể sử dụng đối số như ở đây

Trong trường hợp đó, Chúng sử dụng ma trận trong đó hàng phù hợp với số nguyên i và cột được thiết lập Aj, và chúng sử dụng thiết lập các thao tác bao gồm định nghĩa (i, j) Ở đây đối số tinh tế hơn nhiêu, về tập hợp của máy TMs khi bắt đầu đếm T0, T1, … và mỗi i là chuỗi mã hóa e(Ti)

ϵ {0, 1}*, nơi e là chức năng mã hóa của sec 9.7 Rồi lặp lại đối số chéo trước, với thay đổi này thay vì i sử dụng e(Ti); thay thế của Aj, sử dụng Tj,

vị trí mà “i ∉ Aj” bằng e(Ti) không chấp nhận bởi Tj Bạn có thể tạm ngừng đọc vào lúc này, bạn có khả năng mô tả xong ngôn ngữ cho thấy là không thể chấp nhận bởi bất kỳ TM

Định nghĩa chính thức của chúng tôi sẽ hơi khác, một phần vì nó không giải trình rõ việc thiết lập của TMs, nhưng chủ yếu vì nó sẽ thuận tiện trong một vài ứng dụng sau này để xem xét ngôn ngữ bậc cao hơn

Định nghĩa 10.4 Với NSA (Không tự-Chấp Nhận) là tập hợp con

của {0, 1}* :NSA = NSA1 ∪ NSA2

Nơi

NSA1 = {ω ϵ {0, 1}* | ω = e(T) cho một vài TM T, và T không chấp nhận ω}

NSA2 = {ω ϵ {0, 1}* | ω không phải e(T) cho bất cứ TM T}

Với SA (tự-chấp nhận) là phần bổ sung của NSA trong {0, 1}*, sao cho

SA = {ω ϵ {0, 1}* | ω = e(T) cho một vài TM T, và T chấp nhận ω}

Định lý 10.9 Ngôn ngữ NSA không phải là đệ quy có thể liệt kê

Chứng minh Khi trong đối số chéo trước, chứng minh này do mâu thuẫn, giả dụ có TM với L(To) = NSA Trong các từ khác, chấp nhận 1

chuỗi nhập vào ω nếu chỉ nếu ω ϵ NSA Với ω0 là chuỗi e(T0) Chúng ta có thể hỏi TM T0 có chấp nhận chuỗi ω0 Nếu nó chấp nhận thì từ đó có thể giả định chấp nhận NSA, ω0 ϵ NSA Từ ω0 là mã hóa của 1 TM chỉ ω0 có thể trở thành NSA là với nó có thể trở thành NSA1 Tuy nhiên, bởi định nghĩa của một NSA1, ω0 ϵ NSA1 và ω0 = e(To), T0 không thể chấp nhận ω0 Ngược lại, Nếu T0 không chấp nhận ω0 và ω0 thỏa mãn điều kiện từ tập hợp NSA1, bởi vậy T0 chấp nhận ω0 vì NSA1 ⊑ NSA = L(To)

Bây giờ chúng ta có mâu thuẫn, Bất cứ T0 chấp nhận ω0 hoặc không Tuy nhiên, chúng ta có thể nói rằng cả hai đều không thể xảy ra Do đó, giả định L(To) = NSA phải sai

Mặt khác bạn có thể tự do để hỏi - “vậy thì sao?” (ít nhất bạn tự do

để hỏi điều này nếu bạn có đọc chứng minh và hiểu nó) Ngôn ngữ NSA có

vẻ không thực tế, thực ra mà nói, và chúng ta đã biết có nhiều máy không

đệ quy – có thể đếm ngôn ngữ Tuy nhiên, định lý 10.9 có một vài hệ quả quan trọng Chúng ta có thể dùng nó để hiển thị một số vấn đề, bao gồm một số không âm giả định, là “không có lời giải”, Bây giờ chúng ta có thể dùng nó để tạo ra ví dụ khác, lọc mối quan hệ giữa đệ quy liệt kê và đệ quy

Định lý 10.10 SA là đệ quy liệt kê nhưng không đệ quy, nói cách

khác, mặc dù SA có thể chấp nhận bởi máy Turing, TM nào chấp nhận nó

sẽ lặp mãi mãi ít nhất 1 chuỗi vào không phải ngôn ngữ

Chứng minh, dễ dàng từ phần thứ 2 của định lý 10.9 Nếu SA đã đệ quy thì bổ sung của NSA cũng đệ quy Định lý 10.9 biểu diễn SA không thể đệ quy vì nó không phải đệ quy có thể liệt kê Do đó để hoàn thành chứng minh, là đủ để xây dựng TM Tsa chấp nhận ngôn ngữ SA

Nhớ lại rằng SA = {ω | ω = e(T) và T chấp nhận ω} Các Tsa bằng cách xác định liệu các chuỗi đầu vào ω có dạng e(T) đối với T, nếu không Tsa sẽ bị treo Nếu ω = e (T), thì Tsa tái tạo sử lý ω bởi T và tạm ngừng nếu

và chỉ nếu T dừng trên dữ liệu vào ω Chúng tôi có máy TM mang ra gồm

2 bước : TM Tu trong sec9.7 có tác dụng trên ωe(ω) = e(T)e(ω) Điều này

có nghĩa Tsa có thể được xây dựng trong công thức T1Tu

Để cho chuỗi ω được e(T) đối với một số T nó phải bao gồm một chuỗi 0k1 sau đó mã hóa các chuỗi di chuyển TM Đặc biệt, nó phải tương ứng với biểu thức chính quy 0+1((0+1)5)+

Tiếp theo, có thể có nhiều nhất một di chuyển được quy định cho từng trạng thái-biểu tượng kết hợp, có nghĩa là không thể có hai khác nhau

"5-tuples" mà đầu tiên hai của một bộ phận trùng với hai phần đầu tiên của nhau Thứ ba, phần thứ năm của mỗi 5-tuple phải là 0, 00, hay 000, vì vậy

mà nó đại diện cho một hướng hợp lệ Cuối cùng, không có 5-tuple được cho phép để có phần đầu tiên 0 bởi vì một TM không được phép di chuyển

từ trạng thái dừng Bất kỳ chuỗi ký tự thỏa mãn những điều kiện này là e (T) đối với một số T, ngay cả khi máy T treo ngay lập tức hoặc hỏng vì các lý do khác để thực hiện bất cứ hành động có ý nghĩa

Tất cả phần hai của các điều kiện dễ dàng kiểm tra Để kiểm tra cho phần hai, T1 thực hiện một vòng lặp, trong lần lặp thứ i trong đó T1 tìm kiếm cho 5-tuples sau lần thứ i có cùng đầu tiên hai phần như lần thứ i Các chi tiết về căn bản giống như việc “tìm kiếm” phần TM thể hiện trong fig 9-19, và chúng tôi sẽ không mô tả nó thêm nữa

Nếu một trong bốn điều kiện cho ω có dạng e(T) không được đáp ứng, sau đó T1 bị treo Nếu tất cả bốn điều kiện được thỏa mãn thì phục hồi T1 đầu vào ω để hình thành ban đầu của nó và thêm vào kết thúc của

nó chuỗi e (ω) Bởi vì ω chính nó là một chuỗi của 0 và 1, tạo ra chuỗi e (ω) là đơn giản Nó bắt đầu với 11 Nếu hai ký hiệu 0 và 1 là ai và aj, tương ứng, trong bảng chữ cái S, mỗi 0 trong ω được mã hoá bởi 0i+1 và mỗi 1 bởi

0j+1, mỗi chuỗi như vậy đang được theo sau bởi 1 Ví dụ, 00101 trở thành

110i+1110i+110j+110i+110j+11 Sau T1 lá chuỗi ωe(ω) trên băng, nó ngừng ở đầu băng của nó trên vuông 0

11.1 Văn phạm không hạn chế

Đối với cả hai ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ phi ngữ cảnh (CFLs), chúng ta thảo luận và sự mô tả về cách để tạo ra các chuỗi trong ngôn ngữ Một biểu thức chính tắc là một chỉ định ký hiệu của một chuỗi các hoạt động (kết hợp, ghép nối, kleene’s) theo đó một ngôn ngữ tự nhiên có thể được lấy từ ngôn ngữ cơ bản; Văn phạm phi ngữ cảnh (CFG) chứa luật sinh được sử dụng để lấy được những chuỗi từ một số ký tự bắt đầu Ta đi vào xây dựng các mô hình tương ứng của quá trình tính toán, hoặc máy trừu tượng, có sự thể hiện các thuật toán để nhận biết các chuỗi trong các ngôn ngữ này

Trong trường hợp của ngôn ngữ đệ quy liệt kê, chúng đã bắt đầu với máy (máy Turing) vì nó có phân biệt được một mô hình chung của quá

trình tính toán Bây giờ chúng ta chuẩn bị xem xét vấn đề tạo ra "văn phạm" tổng quát hơn CFG chính là những gì chúng ta cần làm Tiếp đó trong chương này, chúng ta sẽ thấy rằng ý tưởng về văn phạm là đủ linh hoạt để xử lý các lớp khác của ngôn ngữ, bao gồm các ngôn ngữ được xác nhận và ngôn ngữ tự nhiên giữa ngữ cảnh tự do và đệ quy liệt kê Kết quả

sẽ được một hệ thống các loại ngôn ngữ, khác nhau từ rất đặc biệt (thường) đến rất tổng quát (đệ quy liệt kê), mỗi loại riêng của mình về văn phạm cũng như các mô hình cụ thể của nó về tính toán

Các " ngữ cảnh-tự do" của một CFG ở trong thực tế là một biến A trong chuỗi hiện hành của sự phát sinh có thể được thay thế bởi vế bên phải của việc tạo ra A, độc lập của ngữ cảnh Vế bên trái tạo ra là một biến đơn,

và việc tạo ra có thể áp dụng bất cứ khi nào biến xuất hiện trong chuỗi Đó

là ngữ cảnh-tự do mà cho phép chúng ta chứng minh bổ đề bơm cho CFLs,

vì bất kỳ kết quả dài lâu phải có một "tự nhúng" biến, một biến A mà S ⟹

* υAz ⟹ * υωAyz Chúng có thể làm cho văn phạm tổng quát hơn bằng

cách cho phép vế bên trái của tạo ra được nhiều hơn một biến đơn Ví dụ, chúng có thể sử dụng để tạo ra

αAβ→αγβAβ→αAβ→αγβγβ Nếu muốn để cho phép một biến A sẽ được thay thế bằng chuỗi γ, nhưng chỉ khi A là trực tiếp trước trong chuỗi của αAβ→αγβ và trực tiếp theo sau β Văn phạm trong đó tạo ra được kiểu này Những yêu cầu bổ sung mà γ ≠

A, vừa được nghiên cứu và sẽ được bàn luận sau ở trong chương này Nếu không có và hạn chế về γ, việc tạo ra kiểu này là tổng hợp đủ để mô tả các ngôn ngữ chúng ta đang quan tâm, tuy nhiên, nó thường được thuận tiện hơn để viết chúng trong mẫu

αAβ→αγβAβ→γ hoặc, đơn giản hơn

αAβ→αγβ→β Điều này có nghĩa rằng chuổi tạo ra bây giờ được xem là thay thế một cách đơn giản của một chuỗi cho nhau, với ý tưởng thay thế các chuỗi biến chỉ giữ lại theo ý nghĩa là ở vế bên trái của chuổi sinh ra phải có ít nhất một biến

Định nghĩa 11.1 Không hạn chế, hay cấu trúc giai đoạn văn phạm

là 4 tuples G = (V, Σ, S, P), mà V và Σ là bộ phân chia của biến và phần vào ra, tương ứng; S là một phần của V gọi là các ký tự bắt đầu; và P là

một chuổi tạo ra theo mẫu

αAβ→αγβ→β Nơi αAβ→αγβ, β ϵ (V U Σ) * và αAβ→αγβ có chứa ít nhất một biến

Phần lớn các ký hiệu phát triển cho CFGs có thể được thực hiện còn nguyên vẹn Đặc biệt

αAβ→αγβ ⟹G* β

Có nghĩa là β có thể được bắt nguồn từ αAβ→αγβ không có gì hoặc qua nhiều bước,

Để minh họa cho tính tổng quát của các văn phạm, xem xét hai ví dụ, đó là hai ví dụ đầu tiên về ngôn ngữ phi ngữ cảnh- trong chương 9

Ví dụ 11.1.

L={a i b i ci|i≥1}

Văn phạm của nó liên quan đến các biến A, B, C, và hai cái khác, cái mà sẽ được giải thích bây giờ Có những kiểu tạo ra : tạo ra chuỗi với

số bình đẳng của A, B, và C Mặc dù những ký tự không theo thứ tự ưu tiên; cái mà cho phép những chuỗi của A, B, và C biến đổi chính nó để cho tất cả của A ở đầu tiên và tất cả C ở cuối ;và những thay đổi tất cả các biến cho phần vào ra tương ứng, nhưng chỉ khi nó theo thứ tự mong muốn Chuỗi sinh ra của hai kiểu đầu tiên là dễ dàng tìm thấy Các chuỗi tạo ra ngữ cảnh tự do

SABCS|ABC Tất cả các chuỗi của các hình thức (ABC)n cho rằng chuỗi của A, B,

và C theo thứ tự đúng cũng như cho rằng chuỗi chứa không có chuỗi con

BA, CA, hoặc CB Vì vậy, chúng bao gồm chuỗi tạo ra mà sự thay đổi

chuỗi không hợp lý bởi những vi phạm quy tắc

BA→AB

CA→AC CB→BC

Với kiểu thứ ba, chúng ta không thể thêm chuỗi tạo ra, như A → αAβ→αγβ,

vì nó có thể được sử dụng quá sớm, có nghĩa là, trước khi chính các dãy

biến đúng Thay vào đó, chúng ta nói rằng C có thể được thay thế bằng c nhưng nếu chỉ trước c hay b.

cC→cc bC→bc

B có thể được thay thế bằng b nếu trước b hoặc αAβ→αγβ

bB→bb aB→ab

Và, không dứt điểm, có thể được thay thế bằng αAβ→αγβ nếu trước bởi αAβ→αγβ:

αAβ→αγβ A→ αAβ→αγβ αAβ→αγβ Qua những vấn đề cụ thể tại một thời điểm, chúng ta thấy rằng việc

tạo ra làm cho ba sự kết hợp không hợp lý bα, cα, và cb là không thể Lúc

này, vấn đề là: đầu tiên αAβ→αγβ đến từ đâu? nó vẫn không chính xác để có A →

a, ngay cả với những hạn chế của chúng vào của b và c Điều này sẽ cho

phép dãy abcabc, ví dụ, vì trong chuỗi ABCABC hai nửa bắt đầu với A chỉ

có sự kết hợp của quy tắc Bằng cách nào đó cuối cùng vế trái A trở thành một αAβ→αγβ để bắt đầu mọi thứ Chúng giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng thêm một biến F để đứng cuối vế trái của chuỗi Sau đó chúng ta có thể cho

rằng A có thể được thay thế bằng αAβ→αγβ chỉ khi nó đứng trước bởi αAβ→αγβ hoặc F:

αAβ→αγβ A→ αAβ→αγβ αAβ→αγβ FA→ αAβ→αγβ Chúng chỉ dẫn biến F vào cuối vế trái Cho phép tạo ra S → FS ngoài các S

chuỗi tạo ra nó không đúng vì điều này sẽ cho phép thu được

S⟹FS⟹FABCS⟹FABCFS⟹FABCFABC⟹*abcabc

Thay vào đó,chúng dùng tạo ra

S→FS 1

Và sửa đổi chuỗi tạo ra trước đó liên quan đến S1 thay vì S Văn phạm cuối cùng với chuỗi tạo ra

S→FS 1 S 1 →ABCS 1 S 1 →ABC

Các chuỗi aabbcc, ví dụ, có thể được bắt đầu như sau Tại mỗi điểm, các chuỗi gạch dưới được thay thế trong bước tiếp theo

S⟹FS 1⟹ FABCS 1⟹ FABCABC⟹FABACBC ⟹FAABCBC ⟹FAABBCC⟹aABBCC⟹aaBBCC

⟹aabBCC ⟹aabbCC⟹aabbcC⟹aabbcc

Dễ dàng thấy rằng bất cứ chuỗi trong L có thể được bắt đầu từ văn phạm này, tuy nhiên, rõ ràng không phải bất cứ chuỗi nào cũng có thể được tạo

ra Lưu ý đầu tiên nếu S ⟹ * αAβ→αγβ, khi đó αAβ→αγβ không thể có một ký hiệu cuối xuất hiện sau một biến, và do đó αAβ→αγβ ∈ Σ * V * Thứ hai, bất kỳ chuổi nào được sinh ra tiếp theo những chuỗi nguyên vẹn của phần vào ra và sắp xếp

lại các biến hoặc bổ sung thêm nhiều hơn phần vào ra Giả sử u ∈ L (G) và

u có sự kết hợp phần vào ra không hợp lệ, gọi là ba Sau đó u = υbaω, và

có kết quả của u từ S ⟹ * υbβ cho β ∈ V * Điều này là không khả thi, tuy nhiên, vì vấn đề không phải β là gì, khi ấy không thể tạo ra αAβ→αγβ như là

phần cuối tiếp

Kết quả Trong ví dụ này, sự thay đổi vế trái của A và vế phải của C, cũng như "phổ biến" ký hiệu vào ra bên phải trong phần vào ra, có thể đề xuất rất hay là thay đổi phần đầu băng từ của TM và dịch chuyển máy làm cho nó biến đổi như băng từ của nó Tương tự Đây không phải là trùng hợp ngẫu nhiên Bằng chứng rằng những văn phạm có thể tạo ra các ngôn ngữ

đệ quy liệt kê tùy ý sử dụng khả năng của một văn phạm để bắt chước một

TM và để thực hiện cùng một loại "máy điện toán" Trong mọi trường hợp,

ý tưởng của ký hiệu biến đổi thông qua các chuỗi là một kỹ thuật hữu ích

và có thể lần nữa được sử dụng trong ví dụ tiếp theo của nó

Ví dụ 11.2.

L={ss|s ∈ {a,b}*}

Một TM có thể sinh ra chuỗi trong L thuật toán không đơn định bằng cách tạo ra một nửa đầu tùy ý và sau đó tự ý làm một bản sao trực tiếp sau đây Văn phạm của chúng kế tiếp sau này, ngoại trừ mỗi ký hiệu trong nửa đầu được sao chép ngay lập tức sau khi nó được tạo ra Giả sử chúng ta sử dụng một M đánh dấu để chỉ giữa chuỗi và tại một số điểm chúng có các chuỗi sMs Để tạo ra một chuỗi dài của cùng loại, chúng có thể chèn một biểu tượng thêm vào đầu, sau đó di chuyển quá M để chèn một bản sao của cùng một biểu tượng Điều này được thực hiện bằng cách chèn hai ký hiệu

ở đầu sau đó chuyển dần hai bên phải cho đến khi nó vượt qua M như trong ví dụ đầu tiên, chúng sử dụng một biến F để chỉ định trước của chuỗi,

và chuỗi tạo ra đầu tiên trong bất kỳ kết quả là

SFM

Mỗi lần một σ ký tự mới được thêm vào, các bản sao di chuyển biểu tượng

là biến đó là phiên bản chữ hoa của σ Các chuỗi tạo ra

FFaA

FFbB

Tạo ra các ký hiệu, và

AaaA

AbbA

BbbB

BaaB

BbbB

Cho phép các biến để di chuyển qua các phần vào ra trong nửa đầu Cuối cùng,biến chuyển số lần xem M, lúc này nó tương ứng với đặt phần vào ra

ở phía bên kia và không xuất hiện, bằng cách sử dụng chuỗi tạo ra

AMMa

BMMb

Để hoàn thành một kết quả chúng cần chuỗi tạo ra

MΛ Các chuỗi abbabb có kết quả sau đây ở trên, phần nhấn mạnh của mỗi chuỗi là vế bên trái của việc sử dụng tạo ra tiếp theo

SFMFbBMFbMbFbBbMbFbbBMbFbbMbbFaAbbMbb

FabAbMbbFabbAMbbFabbMabbabbMabbabbabb

Đây là nguyên nhân rõ ràng rằng bất kỳ chuỗi trong L có thể được tạo ra bởi văn phạm của chúng Chúng ta kết luận rằng không có dãy khác được tạo ra, vậy cho phép Trước tiên, nó bị xóa chuỗi trong L (G) chiều dài giống nhau, kể từ khi tạo ra chỉ thay đổi độ dài cuối cùng của chuỗi tăng nó bằng 2 thứ hai, khi M cuối cùng bị loại trong kết quả, tất cả những

ký hiệu phần vào ra trong chuỗi cuối cùng có mặt, và một nửa phần trước

M những M là phần vào ra của chuỗi tạo ra FFaA và FFbB kể từ khi chuỗi tạo ra khác cái mà tạo ra phần vào ra ở bên phải của M Hơn nữa để được để lại phần cuối trong nửa đầu, gần đây nó xuất hiện trong kết quả, vì thứ tự tương đối của các phần vào ra trong nửa đầu không bao giờ thay đổi Của hai biến được tạo ra bởi hai chuỗi tạo ra giống nhau, tuy nhiên, một trong những xuất hiện sớm nhất đạt được đầu đầu tiên M vì cả hai phần có thể không bao giờ hoán đổi Vì vậy, trong hai phần cuối trong nửa thứ hai, một đến từ bên trái các biến xuất hiện gần hơn, và do vậy nửa thứ hai của chuỗi kết quả đầu tiên

PHẦN II: BÀI TẬP

I Khái niệm về số phức

1.1 Định nghĩa số phức:

1 Ta định nghĩa phần tử i sao cho gọi là đơn vị ảo

2 Biểu thức gọi là một số phức; a gọi là phần thực,

b gọi là phần ảo Ký hiệu a = Rez, b = Imz Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3 Tập hợp các số phức được ký hiệu là

4 Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a