KIỂM ÐỊNH PHI THAM SỐ TRONG KẾ TOÁN

Trong nhiều tình huống thực tế, số liệu chỉ có thể biểu hiện dưới hình thức xếp hạng, vì vậy kiểm định Wilconxon và MannWhitney là hai lọai kiểm định thông dụng nhất ứng với hai trường hợp: một là sử dụng cho mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng cặp và một dùng cho mẫu ngẫu nhiên độc lập. Hơn nữa, khi phân phối của tổng thể được giả định không phải là phân phối chuẩn (phân phối bất kỳ) thì kiểm định phi tham số có thể có nhiều ứng dụng hơn. Tuy nhiên, phương pháp kiểm định phi tham số thì khó mở rộng để giải quyết các vấn đề của mô hình kinh tế phức tạp. Kiểm định phi tham số bạn có thể dễ dàng tìm được kết quả khi sử dụng phần mềm phân tích SPSS, sau khi nhập sữ liệu, chọn menu Analize Nonparametric Tests Chọn loại kiểm định mà bạn mong đợi. I. KIỂM ĐỊNH WILCOXON (Kiểm định T) Top Kiểm định Wilcoxon được áp dụng khi một mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng cặp và phân phối tổng thể của chênh lệch (di) trong các cặp này thì đối xứng. 1. Trường hợp mẫu nhỏ (n ( 20): Ví dụ: Một công ty nước giải khát muốn kiểm tra hiệu quả của chiến dịch quảng cáo cho 5 loại thức uống tốt nhất của công ty bằng cách điều tra số người sử dụng 5 loại thức uống này tăng lên hay giảm xuống sau đợt quảng cáo ở mức ý nghĩa 2,5% và 5%. Công ty chọn ngẫu nhiên 10 thành phố và mỗi thành phố chọn ngẫu nhiên 500 người để trả lời cuộc điều tra này kết quả như sau: Thành phố 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trước quảng cáo (yi) 95 151 192 71 86 215 254 123 97 153 Sau quảng cáo (xi) 123 160 180 93 99 193 311 121 131 169 Chênh lệch (di) 28 9 12 22 13 22 57 2 34 16 Xếp hạng l dil 8 2 3 6,5 4 6,5 10 1 9 5 å{+di } 8 2 0 6,5 4 0 10 0 9 5 å{ di } 0 0 3 0 0 6,5 0 1 0 0 2. Trường hợp mẫu lớn (n >20): Ví dụ: Trở lại ví dụ ở trường hợp 1, thay vì thu thập số liệu ở 10 thành phố, ta thực hiện ở 85 thành phố lớn nhỏ khác nhau. Trong 85 mức độ chênh lệch được xếp hạng thì giá trị nhỏ nhất của T (minimum) là 1.195. Hãy kiểm định giả thuyết H0 với đối thuyết H1 rằng chiến dịch quảng cáo có hiệu quả hơn. Ta có n = 85, T = 1195 và nếu giả thuyết H0 đúng thì phân phối Wilcoxon có trung bình và phương sai như sau: II. KIỂM ĐỊNH MANN WHITNEY (Kiểm định U) Top Cũng như kiểm định T, kiểm định U cũng là một loại kiểm định bằng cách xếp hạng các mẫu độc lập với mục đích kiểm định sự bằng nhau của các tổng thể có phân phối bất kỳ. 1. Trường hợp mẫu nhỏ (n < 10 và n1 < n2): : là số quan sát mẫu chọn ra từ tổng thể thứ 1, Ví dụ: Chúng ta muốn so sánh lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp ở ngành kinh tế và điện tử tin học được trả bởi các công ty như sau (100.000 đồng): Ðiện tử tin học 15 18 27 30 24 Kinh tế 17 22 24 12 28 30 14 18 25 22 Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của 2 ngành thì bằng nhau H1: Trung bình lương khởi điểm ngành tin học được trả cao hơn Trước tiên ta xếp hạng các số liệu liên tục cho cả hai ngành từ nhỏ đến lớn: Ðiện tử Tin học 15 18 24 27 30 Xếp hạng 3 5,5 9,5 12 14,5 Kinh tế 12 14 17 18 22 22 24 25 28 30 Xếp hạng 1 2 4 5,5 7,5 7,5 9,5 11 13 14,5 Chú ý: Trong xếp hạng, hạng của các giá trị trùng nhau của hai ngành cũng được xếp bằng nhau và bằng trung bình cộng của giá trị hai hạng liên tiếp đó. 2. Trường hợp mẫu lớn (n >10): Ví dụ: Trở lại vấn đề tiền lương khởi điểm của hai ngành kinh tế và điện tử tin học. Mỗi ngành chọn ngẫu nhiên 80 sinh viên và sau đó tiền lương được xếp hạng từ nhỏ đến lớn, và tổng cộng hạng được xếp cho tiền lương của hai ngành thì bằng nhau và bằng 7.287. Ta có : n1 = 80 n2 = 80 R1 = 7.287 Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của hai ngành thì bằng nhau. H1: Trung bình lương khởi điểm ngành kinh tế và điện tử tin học được trả khác nhau.

KIỂM ÐỊNH PHI THAM SỐ

(Nonparametric Tests)

tổng thể

Trong nhiều tình huống thực tế, số liệu chỉ có thể biểu hiện dưới hình thức xếp hạng, vì vậy kiểm định Wilconxon và Mann-Whitney là hai lọai kiểm định thông dụng nhất ứng với hai trường hợp: một là sử dụng cho mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng

cặp và một dùng cho mẫu ngẫu nhiên độc lập Hơn nữa, khi phân phối của tổng thể

được giả định không phải là phân phối chuẩn (phân phối bất kỳ) thì kiểm định phi

tham số có thể có nhiều ứng dụng hơn Tuy nhiên, phương pháp kiểm định phi tham số thì khó mở rộng để giải quyết các vấn đề của mô hình kinh tế phức tạp

Kiểm định phi tham số bạn có thể dễ dàng tìm được kết quả khi sử dụng phần mềm phân tích SPSS, sau khi nhập sữ liệu, chọn menu Analize Nonparametric Tests

-Chọn loại kiểm định mà bạn mong đợi

I KIỂM ĐỊNH WILCOXON (Kiểm định T)

Kiểm định Wilcoxon được áp dụng khi một mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng cặp và phân phối tổng thể của chênh lệch (di) trong các cặp này thì đối xứng

1 Trường hợp mẫu nhỏ (n ( 20):

Ví dụ: Một công ty nước giải khát muốn kiểm tra hiệu quả của chiến dịch quảng cáo cho

5 loại thức uống tốt nhất của công ty bằng cách điều tra số người sử dụng 5 loại thức uống này tăng lên hay giảm xuống sau đợt quảng cáo ở mức ý nghĩa 2,5% và 5% Công

ty chọn ngẫu nhiên 10 thành phố và mỗi thành phố chọn ngẫu nhiên 500 người để trả lời cuộc điều tra này kết quả như sau:

Thành

Trước

quảng cáo

(yi) 95 151 192 71 86 215 254 123 97 153

Sau quảng

cáo (xi) 123 160 180 93 99 193 311 121 131 169

Chênh

lệch (di) 28 9 -12 22 13 -22 57 -2 34 16

Xếp hạng

l dil

2 Trường hợp mẫu lớn (n >20):

Ví dụ: Trở lại ví dụ ở trường hợp 1, thay vì thu thập số liệu ở 10 thành phố, ta thực hiện ở

85 thành phố lớn nhỏ khác nhau Trong 85 mức độ chênh lệch được xếp hạng thì giá trị nhỏ nhất của T (minimum) là 1.195 Hãy kiểm định giả thuyết H0 với đối thuyết H1 rằng chiến dịch quảng cáo có hiệu quả hơn

Ta có n = 85, T = 1195 và nếu giả thuyết H0 đúng thì phân phối Wilcoxon có trung bình

và phương sai như sau:

II KIỂM ĐỊNH MANN - WHITNEY (Kiểm định U)

Cũng như kiểm định T, kiểm định U cũng là một loại kiểm định bằng cách xếp hạng các mẫu độc lập với mục đích kiểm định sự bằng nhau của các tổng thể có phân phối bất kỳ

1 Trường hợp mẫu nhỏ (n < 10 và n1 < n2): : là số quan sát mẫu chọn ra từ tổng thể

thứ 1,

Ví dụ: Chúng ta muốn so sánh lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp ở ngành kinh tế

và điện tử tin học được trả bởi các công ty như sau (100.000 đồng):

Ðiện tử tin học 15 18 27 30 24

Kinh tế 17 22 24 12 28 30 14 18 25 22

Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của 2 ngành thì bằng nhau

H1: Trung bình lương khởi điểm ngành tin học được trả cao hơn

Trước tiên ta xếp hạng các số liệu liên tục cho cả hai ngành từ nhỏ đến lớn:

Ðiện

tử

Tin

học

1

Xếp

Kinh tế

5

Xếp

Chú ý: Trong xếp hạng, hạng của các giá trị trùng nhau của hai ngành cũng được xếp

bằng nhau và bằng trung bình cộng của giá trị hai hạng liên tiếp đó

2 Trường hợp mẫu lớn (n >10):

Ví dụ: Trở lại vấn đề tiền lương khởi điểm của hai ngành kinh tế và điện tử tin học Mỗi ngành chọn ngẫu nhiên 80 sinh viên và sau đó tiền lương được xếp hạng từ nhỏ đến lớn,

và tổng cộng hạng được xếp cho tiền lương của hai ngành thì bằng nhau và bằng 7.287

Ta có : n1 = 80 n2 = 80 R1 = 7.287

Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của hai ngành thì bằng nhau

H1: Trung bình lương khởi điểm ngành kinh tế và điện tử tin học được trả khác nhau

III KIỂM ĐỊNH SỰ PHÙ HỢP (Goodness-of-fit test)

Kiểm định sự phuùhợp là kiểm định xem giả thuyết về phân phối của tổng thể và

số liệu thực tế phù hợp (thích hợp) với nhau đến mức nào Ở đây ta dùng phân phối "Chi" bình phương (2) để so sánh trong quá trình kiểm định Một kiểm định 2 thường bao gồm những bước sau đây:

1 Thiết lập giả thuyết H0 và H1 về tổng thể

2 Tính toán các giá trị lý thuyết theo giả thuyết H0

3 Tính toán các khác biệt giữa giá trị lý thuyết và giá trị thực tế Từ đó, xác định giá trị kiểm định theo 2 công thức

Oi: Tần số quan sát của nhóm thứ i

Ei: Tần số lý thuyết của nhóm thứ i (tính theo giả thuyết H0)

4 So sánh giá trị kiểm định tính được với giá trị trong bảng phân phối 2 và kết luận

1 Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp giả định đã biết các

tham số của tổng thể.

Giả sử có một mẫu ngẫu nhiên với n quan sát, mỗi quan sát có thể được phân vào một trong k nhóm

· Gọi O1,O2, ,Ok là số quan sát ở nhóm thứ 1,2, ,k

· Gói p1, p2, , pk là xác suất giả thuyết để quan sát rơi vào nhóm thứ 1,2, ,k (giả thuyết H0) Do vậy, số quan sát ở nhóm thứ i, theo giả thuyết H0, là:

Ei = n.pi (i=1,2, ,k)

Ví dú: Một cơng ty dự định đưa ra thị trường một sản phẩm mới với bốn màu sắc khác nhau Giám đốc cơng ty muốn tìm hiểu thị hiếu khách hàng về màu sắc sản phẩm - thích đặc biệt một màu nào hay sở thích đối với cả bốn màu là giống nhau ở mức ý nghĩa 1% Một mẫu 80 khách hàng đợc chọn ngẫu nhiên Mỗi khách hàng được xem sản phẩm với các màu sắc khác nhau và cho biết ý kiến Kết quả như sau:

Trắng Nâu Xanh Đen Tổng cộng

12 40 8 20 80

· Giả thuyết H0: Sở thích đối với 4 màu là giống nhau, nghĩa là các suất khách hàng chọn lựa một trong 4 màu bằng nhau:

p1 = p2 = p3 = p4 = 0,25

· Giả thuyết H1 : Sở thích đối với 4 màu là giống nhau, nghĩa là xác suất khách hàng chon lựa đối với 4 màu khơng bằng nhau

Theo giả thuyết H0 số lượng khách hàng chọn màu thứ i là Ei= n pi

Do đĩ, ta cĩ:

E1 = E2 = E3 = E4 = (80) (0,25) = 20

Giá trị kiểm định:

2 =

Tra bảng phân phối 2, ta có: 2

k-1, = 2

4 -1,1% = 11,34

Vì giá trị kiểm định 2 > 2

k-1, , ta kết luận rằng ở mức ý nghĩa 1% giả thuyết H0 bị bác bỏ, nghĩa là sự chọn lựa đối với 4 màu sắc của sản phẩm là khác nhau Một vài màu sắc nào đó được ưa thích hơn

Cũng cần lưu ý rằng các xác suất giả thuyết không phải bắt buộc bằng nhau, chúng có thể rất khác nhau Chúng ta cần xác định rõ các xác suất giả thuyết này khi lập giả thuyết H0 và dùng các xác suất giả thuyết đó để tính toán các giá trị Ei

2 Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp các tham số tổng thể

chưa biết.

Ở phần (1) trang 150, ta đã thực hiện kiểm định giả thuyết về việc quan sát được phân phối với các xác suất xác định nào đĩ Khi đĩ, xác suất để một quan sát rơi vào nhĩm thứ i được xác định rõ khi lập giả thuyếtH0

Phần này sẽ đề cập đến việc kiểm định giả thuyết các quan sát tuân theo một luật phân phối nào đĩ - cĩ thể là phân phối nhị thức, phân phối Poission, hay phân phối chuẩn

- trường hợp khơng giả định là đã biết các tham số của tổng thể như và  Trường hợp này, ta cĩ thể dùng các dữ liệu thu thập được để ước lượng tham số tổng thể

Trước hết, dựa vào các tham số mẫu để xác định xác suất một quan sát rơi vào nhĩm thứ i theo như luật phân phối muốn kiểm định, nghĩa là xác định các pi Sau đĩ, tính các Ei , giá trị kiểm định 2 và áp dụng qui tắc kiểm định giống như đã nĩi ở phần (1) Cần chú ý rằng trong trường hợp này, số bậc tự do giảm đi 1 cho mỗi tham số tổng thể được ước lượng

Ví dú: Một nhà nghiên cứu thống kê muốn kiểm định giả thuyết về phân phối của số tiền chi ra của khách hàng trong một lần mua sắp ở siêu thị Một mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng được chọn cho thấy số tiền chi trung bình cho một lần mua sắm là x = 125.000 đồng

và độ lệch chuẩn s=40.000 đồng ở mức ý nghĩa 10%

· Giả thuyết H0: Tổng thể (số tiền chi ra) cĩ phân phối chuẩn (nghĩa là trung bình

một lần mua sắm của khách hàng là 125.000 đồng)

· Giả thuyết H1: Tổng thể khơng cĩ phân phối chuẩn (trung bình một lần mua sắm của khách hàng cĩ thể trên hoặc dưới 125.000 đồng hay khác 125.000đồng)

Trước tiên, ta xác định các xác suất của một đại lượng phân phối chuẩn Từ bảng phân phối chuẩn, ta xác định được các xác suất cho một đại lượng phân phối chuẩn Z Chẳng hạn, tra bảng phân phối chuẩn ta cĩ xác suất từ của Z từ 0 đến 1 là 0,3413 và gần

phân nửa của xác suất này là 0,1700 ứng với Z = 0,44 Vậy xác suất từ 0,44 đến 1 bằng

0,1713 (0,3413-0,1700) và xác suất từ 1(( sẽ bằng 0,1587 (0,5-0,3413)

Từ công thức Ei = n pi, các Ei có giá trị như sau:

E1 = 15,87, E2 = 17,13, E3 = 17, E4 = 17, E5 = 17,13, E6 = 15,87

Dựa vào công thức X =  + Z , chuyển các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Z thành

và (tham số tổng thể) Do đó, giới hạn của các nhóm được xác định như sau:

x1 = 125+ (-1)(40) = 85

x2 = 125+ (-0,44)(40) = 107,4

x3 = 125+ (0)(40) = 125

x4 = 125+ (0,44)(40) = 142,6

x5 = 125+ (1)(40) = 165

Từ số liệu thu thập được, ta dễ dàng xác định được số lượng các quan sát rơi vào từng nhóm, nghĩa là xác định Oi Như vậy, ta đã xác định được các nhóm, xác suất để một quan sát rơi vào nhóm thứ i (pi), số lượng quan sát thực tế (Oi) và số lượng quan sát theo lý thuyết (Ei)

Từ đó, tính giá trị kiểm định 2 theo công thức:

Số liệu tính toán được trình bày trong bảng 4.1 như sau:

Bảng 4.1: Xác định giá trị kiểm định

0 - 84,99 0,1587 15,87 14 0,22

85 - 107,39 0,1713 17,13 20 0,48

142,6 - 164,99 0,1713 17,13 16 0,07

³ 165 15,87 15,87 15 0,05

Trong đó Oi là số quan sát thực tế và n = 100 (100 khách hàng)

Từ bảng 4.1 ta có giá trị kiểm định 2 = 1,12 và trong 6 nhóm có hai tham số

cho  và s được ước lượng cho nên số bậc 6 -1 -2 = 3 (giá trị này được tính bằng k trừ 1 rồi trừ đi số tham số được ước lượng)

Tra bạng phân phối 2, ta có: : 2

3,10% = 6,25 > 1,12 Do vậy, ta chấp nhận giả thuyết H0 ở mức ý nghĩa 10%, nghĩa là không có chứng cứ để nói rằng tổng thể không có phân phối chuẩn, hay nói cách khác số tiền chi ra trung bình của một khách hàng trong một lần mua sắm là 125.000 đồng

IV BẢNG TIẾP LIÊN (Contingency table)

Trong phần này, ta sẽ đề cập đến việc sử dụng kiểm định "Chi" bình phương (2) vào việc phân tích một bảng tiếp liên, bảng tiếp liên là bảng kết hợp hai tiêu

thức, nhằm xác định xem giữa hai tiêu thức của tổng thể cĩ mối liên hệ hay khơng Ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa giới tính và mức độ hồn thành cơng việc, giữa hiệu quả kinh doanh (lãi, lỗ) và ngành kinh doanh (dịch vụ hoặc sản xuất) v.v

Giả sử cĩ mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát, được phân nhĩm kết hợp hai tiêu thức với nhau, hình thành nên bảng tiếp liên gồm (r) hàng và (c) cột Gọi Oij là quan sát ứng với hàng thứ i và cột thứ j, Ri là tổng số quan sát ở hàng thứ i, Cj là tổng số quan sát ở cột thứ j, n là tổng số quan sát của (r) hàng đồng thời cũng là tổng số quan sát của (c) cột

Bảng 4.2: Dạng tổng quát của một bảng tiếp liên kết hợp hai tiêu thức.

Phân nhĩm Phân nhĩm theo tiêu thức 1

theo tiêu thức

Để kiểm định xem cĩ mối liên hệ giữa hai tiêu thức này khơng, trước hết ta lập giả thuyết H0 và H1

· Giả thuyết H0: Khơng cĩ mối liên hệ giữa hai tiêu thức

· Giả thuyết H1: Tồn tại mối liên hệ giữa hai tiêu thức

Nguyên tắc của kiểm định ở đây cũng giống như kiểm định sự phù hợp (Goodness-of-Fitness) đã nói ở phần trước Điểm khác biệt duy nhất là khi tính giá trị kiểm định phải lấy tổng số cho tất cả các ô gồm (r) hàng và (c) cột trong bảng tiếp liên, nghĩa là:

Giá trị kiểm định:

với số lượng quan sát lý thuyết (theo giả thuyết H0):Eij = RiCj / n

Ri và C j là tổng tần số của hàng thứ i và cột thứ j

với (r-1)(c-1): số bậc tự do

Ví dụ: Để nghiên cứu mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập của sinh viên tại chức ở một trường đại học, người ta lấy mẫu ngẫu nhiên 1140 sinh viên tại chức Kết quả phân nhóm theo hai tiêu thức kết quả học tập và tuổi tác được trình bày trong bảng sau:

Bảng 4.3: Tuổi và kết quả học tập của sinh viên phân theo nhóm

Kết quả học tập

(Ri)

³ 46 92 172 264

· Giả thuyết H0: Không có mối liên hệ giữa tuổi và kết quả học tập

· Giả thuyết H1: Tồn tại mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập

Số lượng quan sát lý thuyết (theo giả thuyết H0) Eij được tính toán và được để trong dấu ngoặc đơn bên phải giá trị Oij Chẳng hạn, E11 = R1C1 / n = (288)(570) / 1140 = 144 Tương tự cách tính như trên ta có: E42 = R4C2/n = (264) (570)/1140 = 132

Bảng 4.4: Bảng kết quả các Oij và Eij

 25 198 (144) 90 (144)

26 - 35 114 (105,5) 97 (105,5)

36 - 45 166 (188,5) 211 (188,5)

³ 46 92 (132) 172 (132)

Giá trị kiểm định:

Với r = 4, c = 2, số bậc tự do là: (r - 1)(c - 1) = (4 - 1)(2 - 1) = 3

Tra bảng phân phối 2 , ta cĩ 23, 0,5% = 12,84 < 71,5

Do vậy, ở mức ý nghĩa 0,5%, giả thuyết H0 bị bát bỏ, nghĩa là cĩ tồn tại mối liên

hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập Điều đĩ cĩ thể nhận thấy khi quan sát bảng (9.4) tính tốn ở trên, nĩi chung nhĩm tuổi thấp cĩ kết quả học tập cao hơn so với nhĩm tuổi lớn

hơn

Bài tập

1 Kết quả sau đây cho thấy mức độ hài lịng về thu nhập của nhân viên nam và nữ trong một cuộc điều tra về các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả cơng việc Hãy kiểm định giả thuyết về mối liên hệ giữa giới tính và sự hài lịng về thu nhập ở mức ý nghĩa 5%?

Giới tính Mức độ hài lịng

Thấp Trung bình cao

2 Quản đốc một phân xưởng sản xuất ghi nhận rằng trong điều kiện sản xuất bình thường 93% sản phẩm khơng cĩ lỗi nào, 5% cĩ một lỗi và 2% cĩ hơn một lỗi Từ một mẫu 500 sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ sản phẩm được sản xuất ra trong tuần, người Quản đốc thấy cĩ 458 sản phẩm khơng cĩ lỗi Ơng cho rằng chất lượng của những sản phẩm sản xuất ra trong tuần giống như trong điều kiện sản xuất bình thường Hãy kiểm định nhận định trên của ơng ở mức ý nghĩa 5%?

3 Một công ty đang xem xét việc đặt tên cho một sản phẩm mới Trước khi quyết định chọn một trong 5 tên được đề nghị, giám đốc muốn kiểm định xem phải chăng cả 5 tên đều có sức hấp dẫn bằng nhau đối với khách hàng Mẫu 100 khách hàng được chọn ngẫu nhiên và được yêu cầu cho biết ý kiến về một tên cho sản phẩm mà họ thích nhất, kết quả như dưới đây Hãy kiểm định giả thuyết nói trên ở mức ý nghĩa 5%?

Tên sản phẩm: A B C D E

Lượng khách hàng chọn: 4 12 34 40 10

4 Một nhà phân tích thống kê muốn xem xét mối quan hệ giữa giới tính và việc chọn lựa các nhãn hiệu nước giải khát Một mẫu 330 người được chọn ngẫu nhiên và kết quả như sau:

Sự chọn lựa nhãn hiệu

Giới tính

Coke Pepsi 7up Tribeco Tổng cộng

Nam

Nữ

Tổng

Hãy kết luận về mối quan hệ nói trên ở mức ý nghĩa 5%?

5 Một công ty nước giải khát Coca-cola hoạt động trên toàn cầu đang mở một chiến dịch quảng cáo với mục đích cần đạt tới là nhãn hiệu của nó sẽ ở trong tiềm thức của khách hàng Một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người ở mỗi thành phố của 10 quốc gia được phỏng vấn về 5 nhãn hiệu giải khát trước và sau chiến dịch quảng cáo Nhãn hiệu Coca-Cola được khách hàng nhắc tới theo bảng dưới đây Hãy sử dụng kiểm định Wilcoxon để