Chường 3- Lý thuyết môđun

Dễ dàng ta thấy dãy đã cho là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp thành gf của đồng cấu kế tiếp bất kỳ f và g trong dãy là đồng cấu tầm thường.. Mọi dãy khớp những đồng cấu những môđun trên

CHƯƠNG 3.

DÃY KHỚP

1 Dãy khớp ngắn 1.1 Các định nghĩa.

ĐỊNH NGHĨA1.1 Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun

−→ Mn−1

ϕ n−1

−→ Mn

ϕ n

−→ Mn+1 −→

được gọi là khớp, nếu tại mọi Mn(không kể hai đầu mút, nếu có) thoả điều kiện

Im(ϕn−1) = Ker(ϕn)

Dãy khớp các R-môđun phải:

0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 được gọi là dãy khớp ngắn

VÍ DỤ 1.2 (1) Cho ϕ là một đồng cấu từ nhóm aben X vào nhóm aben Y thì ta có dãy khớp các Z-môđun là

0 −→ Kerϕ−→ Xj −→ Yϕ −→ Y /Imϕ −→ 0p trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc (2) Cho A ≤ MR Lúc đó ta

có dãy khớp ngắn các R-môđun phải là :

0 −→ A−→ Mj −→ M/A −→ 0p trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc

Cho X, M, N là các R-môđun phải, ϕ là đồng cấu R-môđun phải, ϕ : M −→ N cảm sinh các đồng cấu nhóm:

Hom(1, ϕ) : HomR(X, M ) 3 f 7−→ ϕf ∈ HomR(X, N ) và

Hom(ϕ, 1) : HomR(N, X) 3 f 7−→ f ϕ ∈ HomR(M, X)

ĐỊNH NGHĨA 1.3 Một sơ đồ các R-môđun phải gọi là giao hoán nếu hợp thành bất kì

các R-đồng cấu môđun trong sơ đồ sao cho cùng gốc và cùng ngọn thì bằng nhau, nói riêng, tam giác

γ

C

?

-ϕ

ψ

1

được gọi là giao hoán nếu γ = ψϕ Hình vuông

γ

?

-ϕ

?

ψ

-β

gọi là giao hoán, nếu βγ = ψϕ

BỔ ĐỀ 1.4 Cho f : M −→ N và f0 : N −→ M là các đồng cấu sao cho f f0 = 1N Lúc đó f là toàn cấu, f0 là đơn cấu và M = Kerf ⊕ Imf0

ĐỊNH NGHĨA 1.5 1 Nếu f : M −→ N và f0 : N −→ M là các đồng cấu sao cho

f f0 = 1N, thì chúng ta nói rằng f là toàn cấu chẻ ra, còn f0 là đơn cấu chẻ ra

2 Một dãy khớp ngắn

0 −→ M1 −→ Mf −→ Mg 2 −→ 0 được gọi là chẻ ra nếu f là đơn cấu chẻ ra còn g là toàn cấu chẻ ra

Bây giờ ta nêu một số bổ đề về dãy khớp

BỔ ĐỀ1.6 Cho giản đồ giao hoán sau của các môđun và đồng cấu

?

α

-f

?

β

-g

?

γ

-f 0

-g 0

với các dòng khớp.

(1) Nếu α, γ và f0 là đơn cấu, thì β cũng vậy.

(2) Nếu α, γ và g là toàn cấu, thì β cũng vậy.

(3) Nếu β là đơn cấu, α, g là toàn cấu, thì γ là đơn cấu.

(4) Nếu β là toàn cấu, f0, γ là đơn cấu, thì α là toàn cấu.

BỔ ĐỀ1.7 (Bổ đề năm) Cho giản đồ giao hoán sau của các môđun và đồng cấu

?

α

-f

?

β

-g

?

γ

-h

?

δ

-k

?



-f 0

-g 0

-h0

-k0

với các dòng khớp.

(1) Nếu α là toàn cấu, β và δ là đơn cấu, thì γ là đơn cấu.

(2) Nếu  là đơn cấu, β và δ là toàn cấu, thì γ là toàn cấu.

(3) Nếu α, β, δ và  là đẳng cấu, thì γ cũng vậy.

2

CHỨNG MINH Ta chứng minh bằng phương pháp săn trên biểu đồ 

1.2 Hom và dãy khớp.

MỆNH ĐỀ1.8 Cho MRvà dãy khớp các R-môđun phải

0 −→ A−→ Bf −→ C.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

0 −→ HomR(M, A)Hom(1,f )−→ HomR(M, B)Hom−→R(1,g)HomR(M, C)

CHỨNG MINH Trước hết ta chứng minh tính khớp tại HomR(M, B) Thật vậy, ta có

Hom(1, g)Hom(1, f ) = Hom(1, gf ) = Hom(1, 0) = 0 Do vậy ImHom(1, f ) ⊆ KerHom(1, g) Ngược lại, giả sử v ∈ HomR(M, B) và Hom(1, g)(v) = gv = 0 Từ đó Imv ⊆ Kerg =

Imf Lấy j : Imf ,→ B thì v xác định đồng cấu ¯v : M −→ Imf sao cho v = j ¯v Do f là

đơn cấu nên ta có đẳng cấu ¯f : A −→ Imf và f = j ¯f Đặt u = ¯f−1v thì ¯¯ v = ¯f u Suy ra

v = j ¯v = j ¯f u = f u = Hom(1, f )(u)

Do đó v ∈ ImHom(1, f ) Vậy ta đã chứng minh tính khớp tại HomR(M, B)

Để chứng minh tính khớp tại HomR(M, A), ta áp dụng kết quả vừa chứng minh cho dãy

Chứng minh tương tự ta có:

MỆNH ĐỀ1.9 Cho MRvà dãy khớp các R-môđun phải

A−→ Bf −→ C −→ 0.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

0 −→ HomR(C, M ) Hom(g,1)−→ HomR(B, M )Hom−→R(f,1) HomR(A, M )

1.3 Tenxơ và dãy khớp.

MỆNH ĐỀ1.10 ChoRM và dãy khớp các R-môđun phải

A−→ Bf −→ C −→ 0.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

A ⊗RM −→ B ⊗f ⊗1 RM −→ C ⊗g⊗1 RM −→ 0

CHỨNG MINH Ta xét đến biểu đồ sau, trong đó dòng trên là khớp

?

k

-f ⊗1

?

k

-p

?

∃h

-f ⊗1

-g⊗1

-3

Do dòng trên là khớp, vì vậy nên ta chỉ cần chứng minh nếu có h là đẳng cấu làm cho biểu đồ giao hoán là đủ

Thật vậy, do Im(f ⊗ 1) ⊆ Ker(g ⊗ 1) nên (g ⊗ 1)(f ⊗ 1) = gf ⊗ 1 = 0 ⊗ 1 = 0, nên theo tính chất của Coker, tồn tại một đồng cấu nhóm h : Coker(f ⊗ 1) −→ C ⊗RM sao cho g ⊗ 1 = hp Suy ra hp(x ⊗ y) = h(x ⊗ y + Im(f ⊗ 1)) = (g ⊗ 1)(x ⊗ y) = g(x) ⊗ y

Để chứng minh h là một đẳng cấu nhóm, ta sẽ đi tìm một đồng cấu nhóm k : C ⊗RM −→ Coker(f ⊗ 1) sao cho kh = hk = 1 Xét tương ứng k được xác định như sau:

Cho c ∈ C, m ∈ M Vì g là toàn ánh, nên tồn tại b ∈ B sao cho g(b) = c Nếu g(b1) = g(b2) thì g(b1− b2) = 0, do đó b1 − b2 ∈ Kerg = Imf, nên lại tồn tại a ∈ A sao cho f (a) = b1 − b2 Khi đó

(b1− b2) ⊗ m = f (a) ⊗ m = (f ⊗ 1)(a ⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1)

Vậy: (b1⊗ m) − (b2⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1), do đó b1⊗ m + Im(f ⊗ 1) = b2⊗ m + Im(f ⊗ 1) Với chứng minh trên ta thành lập được ánh xạ

j : C × M −→ B ⊗RM/Im(f ⊗ 1) bởi

(c, m) = (g(b), m) 7−→ b ⊗ m + Im(f ⊗ 1)

Có thể kiểm chứng dễ dạng j là song tuyến tính Theo tính chất của tích tenxơ, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm k : C ⊗RM −→ Coker(f ⊗ 1) xác định bởi:

k(c ⊗ m) = b ⊗ m + Im(f ⊗ 1), c = g(b)

Do h(b ⊗ m + Im(f ⊗ 1)) = g(b) ⊗ m và k(g(b) ⊗ m) = b ⊗ m + Im(f ⊗ 1) trên các phần tử sinh, nên ta có ngay hk = 1C⊗RM và kh = 1B⊗RM/Im(f ⊗1) Vậy ta có điều phải chứng minh

 Chứng minh tương tự ta có:

MỆNH ĐỀ1.11 Cho MRvà dãy khớp các R-môđun trái

A −→ B −→ C −→ 0

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

M ⊗RA −→ M ⊗RB −→ M ⊗RC −→ 0

Đối với tính khớp trái của tích tenxơ, ta xét đến các trường hợp đặc biệt sau:

MỆNH ĐỀ1.12 ChoRF là R-môđun trái tự do và dãy khớp các R-môđun phải

0 −→ A−→ Bf −→ C −→ 0.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

0 −→ A ⊗RF −→ B ⊗f ⊗1 RF −→ C ⊗g⊗1 RF −→ 0

4

CHỨNG MINH Ta chỉ cần chứng minh f ⊗ 1 là một đồng cấu nhóm Thật vậy, do F là

tự do nên nó có cơ sở {ci}I Khi đó, mọi phần tử của A ⊗RF được viết duy nhất dưới dạng P

Ix0i⊗ ci trong đó x0i ∈ A và họ (x0

i)I có giá hữu hạn

Cho (f ⊗ 1)(P

Ix0i⊗ ci) =P

If (x0i) ⊗ ci = 0 Lúc đó f (x0i) = 0, ∀i ∈ I do mọi phần

tử của B ⊗RF được viết duy nhất dưới dạngP

Ixi⊗ ci Vì f là đơn ánh nên x0i = 0, ∀i ∈ I

2 Dãy nửa khớp

Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn

· · · −→ X −→ Yf −→ Z −→ · · ·g

những đồng cấu của những môđum trên R gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấu

vào bị chứa trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy Dễ dàng ta thấy dãy đã cho là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp thành gf của đồng cấu kế tiếp bất kỳ f và g trong dãy là đồng cấu tầm thường

Mọi dãy khớp những đồng cấu những môđun trên R đều là dãy khớp, nhưng không phải mọi nửa khớp đều là khớp Chẳng hạn, giả sử A là môđun con thực sự của một môđun X trên R, tức là A ≤ X nhưng A 6= X, và giả sử i : A −→ X là đồng cấu bao hàm Thế thì trong dãy

0 −→ A−→ X −→ 0i

là nửa khớp mà không khớp Môđun thương Q = X/A dùng làm cái đo độ lệch so với sự khớp Điều này gợi ra định nghĩa tổng quát sau

C : · · · −→ X −→ Yf −→ Z −→ · · ·g những đồng cấu của những môđun trên R, môđun thương

Ker(g)/Im(f )

gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y Mệnh đề sau là hiển nhiên.

MỆNH ĐỀ 2.1 Một dãy khớp những đồng cấu của những môđun trên R là khớp nếu và

chỉ nếu tất cả các môđun dẫn xuất của nó đều tầm thường.

Các môđun của dãy khớp C thường được chỉ số hoá bởi những số nguyên tiến

Nếu các số nguyên lùi được dùng để làm chỉ số, thì dãy nửa khớp C gọi là một dãy dưới (hay phức hợp dây chuyền) và các đồng cấu trong C đều được ký hiệu bằng cùng một chữ Vậy mọi dãy dưới C có dạng sau:

C : · · · −→ Cn+1 −→ C∂ n −→ C∂ n−1 −→ · · ·

5

với ∂ ◦ ∂ = 0 Trong trường hợp này, các phần tử C gọi là các dây chuyền n−chiều của

C và các đồng cấu gọi là các toàn tử bờ Hạt nhân của trong C được ký hiệu Zn(C) và gọi

là môđun các chu trình n-chiều của C Ảnh của ∂ trong Cnđược ký hiệu là Bn(C) và gọi là

môđun các bờ n-chiềucủa C Cuối cùng, môđun dẫn xuất của C được ký hiệu là

Hn(C) = Zn(C)/Bn(C)

và gọi môđun đồng điều n−chiều của C Từ nay trở về sau nếu không giải thích gì thêm ta

viết ¯z ∈ Hn(C), nghĩa là ¯z = z + Bn(C) với z ∈ Bn(C)

Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu trong C đều được ký hiệu bằng cùng một chữ δ Vậy mọi dãy trên C có dạng sau:

C : · · · −→ Cn−1−→ Cδ n −→ Cδ n+1 −→ · · · với δ ◦ δ = 0 Trong trường hợp này, các từ đối dây chuyền, đối chu trình và đối bờ được dùng thay cho dây chuyền, chu trình và bờ trong các dãy dưới Thêm nữa, các chỉ số trên được dùng thay cho các chỉ số dưới Cuối cùng, môđun dẫn xuất Hn(C) = Zn(C)/Bn(C)

gọi là môđun đối đồng đều n−chiều của C.

Vì có giống nhau giữa các dãy trên và dãy dưới, nên ta sẽ chỉ xét các dãy dưới trong cả phần còn lại của mục này

Xét hai dãy dưới:

C : · · · −→ Cn+1 −→ C∂ n −→ C∂ n−1 −→ · · ·

D : · · · −→ Dn+1 −→ D∂ n −→ D∂ n−1 −→ · · · của những môđun trên R Ta gọi đồng cấu (hoặc phép biến đổi dây chuyền) f : C −→ D là một họ những đồng cấu f = {fn : Cn → Dn|n ∈ Z} của những môđun trên R, chỉ số hoá bởi các số nguyên n ∈ ZZ, sao cho quan hệ giao hoán ∂ ◦ fn = fn−1 ◦ ∂ xảy ra trong hình chữ nhật

fn

?

-∂

?

f n+1

-∂

với mọi số nguyên n ∈ ZZ

Bây giờ ta hãy xét một đồng cấu tuỳ ý cho trước f : C −→ D của dãy dưới C vào dãy dưới D Từ các đồng cấu fn: Cn −→ Dn, chuyển Zn(C) vào Zn(D) và Bn(C) vào Bn(D)

Do đó fncảm ứng ra một đồng cấu

Hn(f ) : Hn(C) −→ Hn(D)

6

của các môđun đồng điều n−chiều Hn(C) và Hn(D) Đồng cấu Hn(f ) này gọi là đồng cấu

cảm ứng n−chiềucủa f

Ta gọi đồng cấu đồng nhất i : C −→ C của một dãy dưới C, là họ

i = {in : Cn → Cn|n ∈ ZZ}

các đồng cấu đồng nhất của các môđun Cn Mệnh đề sau là hiển nhiên

MỆNH ĐỀ 2.2 Nếu i : C −→ C là đồng cấu đồng nhất của một dãy dưới C, thì Hn(i)

là đồng cấu của môđun Hn(C) với mọi n ∈ ZZ.

Giả sử f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu những dãy dưới Thế thì họ

h = {gn◦ fn : Cn → Dn|n ∈ ZZ}

dĩ nhiên là một đồng cấu của dãy dưới C vào dãy dưới E Đồng cấu h : C −→ E gọi là cái hợp thành của các đồng cấu f : C −→ D và g : D −→ E và được ký hiệu là

g ◦ f : C −→ E Mệnh đề sau là hiển nhiên

MỆNH ĐỀ 2.3 Nếu f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu của những dãy

dưới thì ta có

Hn(g ◦ f ) = Hn(g) ◦ Hn(f )

với mọi n ∈ ZZ.

Ta gọi dãy những tầm thường là một dãy dưới 0 sao cho, với mọi n ∈ ZZ gồm một phần

tử duy nhất Vì mọi dãy tầm thường đều là khớp, nên ta có

Hn(0) = 0 với mọi số nguyên n ∈ ZZ

Ta gọi đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy dưới D là đồng cấu h :

C −→ D sao cho là đồng cấu tầm thường từ môđun Cn vào môđun Dnvới mọi số nguyên

n ∈ ZZ Ta sẽ dùng ký hiệu h = 0 để chỉ câu nói: h là đồng cấu bình thường

MỆNH ĐỀ 2.4 Nếu h : C −→ D là đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một

dãy dưới D, thì

Hn(h) : Hn(C) −→ Hn(D)

là đồng cấu tầm thường với mọi n ∈ ZZ.

CHỨNG MINH Gọi 0 là dãy dưới tầm thường sao cho 0ngồm phần tử không của Dnvới mọi n ∈ Z Gọi i : C −→ 0 và j : 0 −→ D là các đồng cấu duy nhất xác định Vì h là tầm thường, nên ta có

h = j ◦ i

7

Theo Mệnh đề III.2.3 ta có

Hn(h) = Hn(j) ◦ Hn(i) với mọi n ∈ Z Vì Hn(0) = 0, nên điều này kéo theo Hn(h) = 0 với mọi n ∈ Z 

Hai đồng cấu f, g : C −→ D từ dãy dưới C vào một dãy dưới D gọi là đồng luân nếu và

chỉ nếu tồn tại một họ những đồng cấu

h = {hn : Cn→ Dn+1|n ∈ Z}

sao cho, với mọi n ∈ Z, ta có

∂ ◦ hn− hn−1◦ ∂ = fn− gn trong biểu đồ sau:

∂

?

@

@

@

@

f n

@

@

@

@

g n

-h n

?

∂

-h n−1

Trong trường hợp này, họ h gọi là đồng luân (hay một đồng luân dây chuyền) giữa các

đồng cấu f và g; ký hiệu là

h : f ' g : C −→ D

MỆNH ĐỀ 2.5 Nếu hai đồng cấu f, g : C −→ D của những dãy dưới là đồng luân, thì

ta có

Hn(f ) = Hn(g) : Hn(C) −→ Hn(D)

với mỗi số nguyên n ∈ ZZ.

CHỨNG MINH Giả sử h : f ' g : C −→ D Để chứng minh Hn(f ) = Hn(g), giả sử

x ∈ Hn(C) là tùy ý cho trước Chọn z ∈ Zn(C) với p(z) = x, trong đó p là phép chiếu tự nhiên của môđun Zn(C) lên môđun thương Hn(C) của nó Thế thì ta có

fn(z) − gn(z) = ∂(hn(z)) + hn−1(∂(z)) = ∂(hn(z))

vì ∂(z) = 0 Bởi vì ∂(hn(z)) ∈ Bn(D), nên ta có Hn(f )(x) = Hn(g)(x) Từ đây suy ra

Bây giờ ta xét một dãy khớp ngắn bất ký (S) những dãy dưới

(S) : 0 −→ C −→ Df −→ E −→ 0g Điều đó có nghĩa là f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu của những dãy dưới sao cho

0 −→ Cn −→ Dfn n gn

−→ En −→ 0

là một dãy khớp ngắn những R-môđun với mọi số nguyên n ∈ ZZ

8

BỔ ĐỀ2.6 Với mọi số nguyên n ∈ ZZ Dãy

Hn(C)H−→ Hn(f ) n(D)H−→ Hn(g) n(E)

những môđun trên R là khớp.

CHỨNG MINH Vì g ◦ f = 0, nên từ Mệnh đề III.2.3, III.2.4 suy ra Hn(g) ◦ Hn(f ) =

Hn(g ◦ f ) = 0 với mọi n ∈ ZZ Ta còn phải chứng minh Ker(Hn(g)) ⊆ Im(Hn(f )) với mọi

n ∈ ZZ

Muốn như vậy, gọi ¯z là một phần tử bất kỳ của Hn(D) trong môđun con Ker(Hn(g)) của nó Vì Hn(g)(¯z) = 0, nên ta có gn(z) ∈ Bn(E) Do đó tồn tại một phần tử y ∈ En+1với

∂(y) = gn(z) trong đó ∂ là toán tử bờ ∂ : En+1 −→ En Vì gn+1là một toàn cấu, nên tồn tại phần tử x của Dn+1với gn+1(x) = y Khi đó ta có

gn(z − ∂(x)) = gn(z) − gn(∂(x)) = gn(z) − ∂(gn+1(x)) = gn(z) − ∂(y) = 0 Điều này kéo theo z − ∂(x) ∈ Ker(gn) = Im(fn) Do đó tồn tại một phần tử w ∈ Cn với fn(w) = z − ∂(x) Khi đó ta có

fn−1(∂(w)) = ∂(fn(w)) = ∂(z − ∂(x)) = ∂(z) = 0

Vì fn−1 là một đơn cấu, nên điều này kéo theo ∂(w) = 0 và do đó w ∈ Zn(C) Vì

∂(x) ∈ Bn(D), nên ta có fn(w) − z = ∂(x) ∈ Bn(D) và vì vậy f (w) = ¯z ∈ Hn(D) Do đó

Hn(f )( ¯w) = ¯z Điều này thiết lập bao hàm thức Ker(Hn(g)) ⊆ Im(Hn(f )) và hoàn thành

Để nối các dãy khớp trong Bổ đề III.2.6 thành một dãy duy nhất ta phải dựng, với mỗi số nguyên n, một đồng cấu ∂ : Hn(E) −→ Hn−1(D)

Các đồng cấu này gọi là các đồng cấu nối của dãy khớp ngắn(S).

Muốn như vậy, ta hãy định nghĩa một ánh xạ

φ : Zn(E) −→ Hn−1(C) như sau Gọi z là một phần tử tuỳ ý của Zn(E) Vì gn : Dn −→ En là một toàn cấu, nên tồn tại một phần tử u ∈ Dnvới gn(u) = z Xét phần tử ∂(u) ∈ Dn−1 Vì gn−1(∂(u)) =

∂(gn(u)) = ∂(z) = 0 nên ta có ∂(u) ∈ Ker(gn−1) = Im(fn−1) Vì fn−1là một đơn cấu, nên tồn tại một v duy nhất thuộc Cn−1với fn−1(v) = ∂(u) Khi đó ta có

fn−2(∂(v)) = ∂(fn−1(v)) = ∂(∂(u)) = 0

Vì fn−2 là một đơn cấu, nên điều này kéo theo ∂(v) = 0 Do đó v ∈ Zn−1(C) Vậy ta dược một phần tử w = p(v) ∈ Hn−1(C) trong đó p là phép chiếu tự nhiên p : Zn−1(C) −→

Hn−1(C)

BỔ ĐỀ 2.7 Phần tử w ∈ Hn−1(C) không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử

u ∈ Dnvà do đó nó chỉ phụ thuộc vào vào các phần tử z ∈ Zn(E).

9

CHỨNG MINH Gọi u và u0 là hai phần tử bất kỳ của Dnvới

gn(u) = z = gn(u0) Thế thì tồn tại những phần tử duy nhất xác định v và v0 của Cn−1thoả mãn

fn−1(v) = ∂(u), fn−1(v0) = ∂(u0) Chỉ việc chứng minh p(v) = p(v0) là đủ

Muốn vậy, xét phần tử u − u0 của Dn Vì gn(u − u0) = gn(u) − gn(u0) = z − z0 = 0 nên

ta có u − u0 ∈ Ker(gn) = Im(fn) Do đó tồn tại một phần tử y ∈ Cnvới fn(y) = u − u0 Khi đó ta có

fn−1[v − v0 − ∂(y)] = fn−1(v) − fn−1(v0) − fn−1[∂(y)]

= ∂(u) − ∂(u0) − ∂[fn(y)] = ∂(u) − ∂(u0) − ∂(u − u0) = 0

Vì fn−1 là một đơn cấu nên điều này kéo theo

v − v0 = ∂(y) ∈ Bn−1(C)

Do đó ta được

p(v) − p(v0) = p(v − v0) = 0

Điều này kéo theo p(v) = p(v0) và hoàn thành phép chứng minh của Bổ đề III.2.7 

Do Bổ đề III.2.7 ta có thể định nghĩa hàm

φ : Zn(E) −→ Hn−1(C) bằng cách cho ứng với mỗi phần tử z của Zn(E), phần tử

φ(z) = w = p(v) ∈ Hn(C) với u ∈ Dnvà v ∈ Cn−1tuỳ ý, thoả mãn gn(u) = z và fn−1(v) = ∂(u)

BỔ ĐỀ2.8 Hàm φ là một đồng cấu của môđun Zn(E) vào môđun Hn−1(C).

CHỨNG MINH Giả sử z, z0 ∈ Zn(E) và α, α0 ∈ R là tùy ý cho trước Chọn u, u0 ∈ Dn

và v, v0 ∈ Cn−1 thỏa mãn gn(u) = z, g(u0) = z0 và fn−1(v) = ∂(u), fn−1(v0) = ∂(u0) Khi đó ta có gn(αu + α0u0) = αz + α0z0, fn−1(αv + α0v0) = ∂(αu + α0u0) Từ đó ta có φ(αz + α0z0) = p(αv + α0v0) = αp(v) + α0p(v0) = αφ(z) + α0α(z0) Điều này chứng tỏ φ

BỔ ĐỀ2.9 Hạt nhân của đồng cấu φ chứa môđun con Bn(E) của Zn(E).

CHỨNG MINH Gọi z ∈ Bn(E) bất kỳ Theo định nghĩa của Bn(E), tồn tại y ∈ En+1với

∂(y) = z Vì gn+1là toàn cấu, nên tồn tại w ∈ Dn+1 sao cho gn+1(w) = y Đặt u = ∂(w) Khi đó ta có

gn(u) = gn(∂(w)) = ∂(gn+1(w)) = ∂(y) = z

10