Chường 4- Lý thuyết môđun

P xạ ảnh ⇐⇒ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó... Các tính chất cơ bản của nhóm chia được là: 1 Ảnh toàn cấu của nhóm chia được là nhóm chia được.. 2 Nhóm thương của

CHƯƠNG 4.

MÔĐUN NỘI XẠ VÀ XẠ ẢNH

1 M -xạ ảnh và M -nội xạ

1.1 Các định nghĩa và tính chất.

Cho URlà một môđun Nói chung các hàm tử HomR(U, −) và

HomR(−, U ) là không khớp Ví dụ dễ dàng thấy rằng cả HomZ(ZZ2, −) và HomZ(−, ZZ2) không khớp khi ta cho dãy khớp ngắn

0 −→ ZZ −→ ZZ −→ ZZ2 −→ 0

Tuy nhiên trong một vài trường hợp đặc biệt các hàm tử HomR(U, −) và HomR(−, U ) khớp

Ta sẽ xét đến chúng như sau:

ĐỊNH NGHĨA1.1 Cho URlà một môđun Nếu MR là một môđun, thì U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M -xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : MR−→ NRvà mỗi đồng cấu ν : UR −→ NR tồn tại một R-đồng cấu ¯ν : U −→ M sao cho giản đồ sau giao hoán

U

?

ν

pp pp pp pp

¯

-g

-Đối ngẫu ta có:

ĐỊNH NGHĨA 1.2 Cho URlà một môđun Nếu MRlà một môđun, thì U được gọi là nội

xạ theo M (hay U là M -nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MRvà mỗi đồng cấu ν : KR −→ UR tồn tại một R-đồng cấu ¯ν : M −→ U sao cho giản đồ sau giao hoán

U

6

ν

-f pp pp pp

pp

Mệnh đề sau khẳng định tính khớp của HomR(U, −) và HomR(−, U )

MỆNH ĐỀ 1.3 Cho U và M là các R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương.

(a) U là M -xạ ảnh.

(b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa

0 −→ K −→ Mf −→ N −→ 0,g

1

thì dãy sau cũng khớp

0 −→ HomR(U, K)−→ Homf∗ R(U, M )−→ Homg∗ R(U, N ) −→ 0,

(c) Với mỗi môđun con KR ≤ MR, mỗi R-đồng cấu h : U −→ M/K, tồn tại ¯h : U −→

M sao cho ηKν = ν trong đó η¯ K là toàn cấu tự nhiên từ M vào M/K.

Đối ngẫu với Mệnh đề IV 1.3, ta có:

MỆNH ĐỀ 1.4 Cho U và M là các R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương (a) U là M -nội xạ (b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa

0 −→ K −→ Mf −→ N −→ 0,g

thì dãy sau cũng khớp

0 −→ HomR(N, U ) g

∗

−→ HomR(M, U ) f

∗

−→ HomR(K, U ) −→ 0,

(c) Với mỗi môđun con KR ≤ MR, mỗi R-đồng cấu h : K −→ U , đều có thể mở rộng đến một đồng cấu ¯ h : M −→ U

CHÚ Ý1.5 a) Môđun PRđược gọi là xạ ảnh nếu nó là M -xạ ảnh với mọi M ∈ M od−R (a) Môđun QRđược gọi là nội xạ nếu nó là M -nội xạ với mọi M ∈ M od − R

HỆ QUẢ1.6 (a) môđun PRlà xạ ảnh khi và chỉ khi hàm tử hiệp biến cọng tính HomR(P, −)

là khớp trong Mod-R.

(b) môđun QRlà nội xạ khi và chỉ khi hàm tủ phản biến cọng tính HomR(−, Q) là khớp trong Mod-R.

2 môđun xạ ảnh và nội xạ.

Từ Định nghĩa IV.1.1, IV.1.2, chú ý IV.1.5, ta khai triển chi tiết ra như sau:

ĐỊNH NGHĨA 2.1 Cho PR là một môđun Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B −→ C và mỗi đồng cấu ψ : P −→ C tồn tại một đồng cấu

λ : P −→ B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán

P

?

ψ

pp pp pp p

λ

-β

-ĐỊNH NGHĨA2.2 Cho QRlà một môđun Lúc đó Q được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MR, với mọi KR, MRvà mỗi đồng cấu ν : KR−→ URtồn tại

một R-đồng cấu ¯ν : M −→ U sao cho ¯νf = ν, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán

U

6

ν

-f pp pp pp

pp

Ta có các mệnh đề đặc trưng các môđun nội xạ và xạ ảnh như sau

MỆNH ĐỀ2.3 Cho P là R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương (a) P là xạ ảnh.

(b) Với mỗi toàn cấu ϕ : B −→ P là chẻ ra, nghĩa là ker ϕ là hạng tử trực tiếp của B (b) Mọi toàn cấu β : B −→ C thì ánh xạ

HomR(1P, β) : HomR(P, B) −→ HomR(P, C)

là một toàn cấu.

Đối ngẫu ta có:

MỆNH ĐỀ2.4 Cho Q là R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương (a) Q là nội xạ.

(b) Với mỗi đơn cấu ϕ : Q −→ B là chẻ ra, nghĩa là im ϕ là hạng tử trực tiếp của B (c) Mọi đơn cấu α : A −→ B thì ánh xạ

HomR(α, 1Q) : HomR(B, Q) −→ HomR(A, Q)

là một toàn cấu.

(d) Tiêu chuẩn Baer: Mỗi iđêan phải U ≤ RR và mỗi đồng cấu ρ : U −→ Q tồn tại đồng cấu τ : RR −→ Q sao cho ρ = τ ν, trong đó ν là phép nhúng U vào R.

HỆ QUẢ2.5 Ta có các tính chất sau:

(1) Q nội xạ, Q ' A =⇒ A nội xạ.

(2) P xạ ảnh, P ' C =⇒ C xạ ảnh.

ĐỊNH LÍ2.6 Ta có:

(1) Cho Q =

i∈IQ Qi Lúc đó Q nội xạ ⇐⇒ Qinội xạ ∀i ∈ I.

(2) Cho P =

i∈IL Pi Lúc đó P xạ ảnh ⇐⇒ Pi xạ ảnh ∀i ∈ I.

ĐỊNH LÍ2.7 Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do.

P xạ ảnh ⇐⇒ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó.

3

CHỨNG MINH (⇐) Do môđun tự do là xạ ảnh và IV.2.6.(2).

(=⇒) Cho P là xạ ảnh và ψ : F −→ P là một toàn cấu từ môđun tự do F vào P (tồn tại do mọi môđun đều là ảnh toàn cấu cuả một môđun tự do) Do P xạ ảnh, ψ chẽ ra Vậy

F = Ker(ψ) ⊕ F0

ĐỊNH LÍ2.8 Đối với ZZ-môđun thì hai khái niệm xạ ảnh và tự do là như nhau.

ĐỊNH NGHĨA2.9 Nhóm aben A được gọi là chia được nếu

∀z ∈ ZZ[z 6= 0 =⇒ Az = A]

Các tính chất cơ bản của nhóm chia được là: 1) Ảnh toàn cấu của nhóm chia được là nhóm chia được

2) Nhóm thương của nhóm chia được là nhóm chia được

3) Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nhóm chia được là nhóm chia được

4) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được nào đó

ĐỊNH LÍ2.10 Nhóm aben A chia được là ZZ-môđun nội xạ.

CHỨNG MINH Lấy ϕ : DZ −→ BZ là đơn cấu, trong đó DZ là nhóm chia được Ta chứng minh rằng Imϕ là hạng tử trực tiếp của BZ Theo tính chất (1) Imϕ là nhóm chia được,

vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử DZ là nhóm con của BZ và ϕ = ι là phép nhúng Đặt Γ = {U |U ≤ B và D ∩ U = 0} Lúc đó Γ 6= ∅ vì lấy U = 0 thì 0 ∈ Γ Ngoài

ra rõ ràng hợp của tập các phần tử sắp thứ tự toàn phần các phần tử trong Γ cũng thuộc Γ Do vậy theo Bổ đề Zorn, có phần tử cực đại trong Γ, mà ta sẽ kí hiệu là U Có thể nói rằng U là B-phần bù của D

Lúc đó, D + U = D ⊕ U ≤ B Ta chứng minh rằng B = D ⊕ U Thật vậy, với b ∈ B, xét iđêan z0ZZ

z0ZZ = {z ∈ ZZ|bz ∈ D + U }

Ta có z0ZZ 6= 0 vì nếu không thì đối với môđun con H sinh ra bởi phần tử b, ta có

H ∩ (D + U ) = 0 =⇒ (H + U ) ∩ D = 0, trái với cách chọn U

Giả sử bz0 = d + u Do D chia được nên tồn tại d0 sao cho d0z0 = d Từ đó suy ra (b − d0)z0 = u Vậy

z0ZZ = {z ∈ ZZ|(b − d0)z ∈ D + U }

Ta lại chứng minh rằng D ∩ (U + (b − d0)ZZ) = 0 Thật vậy, giả sử d1 = u1+ (b − d0)z1 ∈

D ∩ U + (b − d0)ZZ thì (b − d0)z1 = d1 − u1 ∈ D + U suy ra z1 = z0t, t ∈ ZZ(z1 ∈ z0ZZ)

Từ đó, (b − d0)z0t = ut = d1− u1 Vậy 0 = d1 − (u1+ ut) Nghĩa là d1 = 0 Do tính cực đại của U suy ra (b − d0)ZZ ≤ U Suy ra b − d0 ∈ U hay b ∈ D + U

Vậy B = D ⊕ U

 Chiều ngược lại cũng đúng

HỆ QUẢ2.11 ZZ-môđun nội xạ ⇐⇒ ZZ-môđun chia được.

Sau đây ta chứng minh một kết qủa chính của phần này là:

ĐỊNH LÍ2.12 Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó.

Để chứng minh Định lý này ta cần các Bổ đề sau:

BỔ ĐỀ2.13 Nếu D là ZZ-môđun chia được (nội xạ), thì (HomZ(R, D))Rnội xạ.

CHỨNG MINH Cho α : A −→ B là R-đơn cấu tuỳ ý và ϕ : A −→ HomZ(R, D) là R-đồng cấu tuỳ ý Lấy

σ : HomZ(R, D) −→ D

f 7−→ f (1)

là ZZ-đồng cấu Xét giản đồ sau:

HomZ(R, D) τ

D

-?

ϕ

-α

κ

?

σ

Khi xét α, ϕ như là các ZZ-đồng cấu thì do D là ZZ-nội xạ nên tồn tại ZZ-đồng cấu τ : B −→

D sao cho σ ϕ = τ α

Xác định

κ : B −→ HomZ(R, D)

b 7−→ κ(b)(r) = τ (br), b ∈ B, r ∈ R

Chứng minh κ(b) ∈ HomZ(R, D) (rõ)

Ngoài ra κ(br1)(r) = τ (br1r) = κ(b)(r1r) = (κ(b)r1)(r) suy ra κ(br1) = κ(b)r1 hay κ là R-đồng cấu và κα (a)(r) = τ (α(a)r) = τ (α (ar)) = τ α (ar) = σ ϕ (ar) = ϕ (ar)(1) =

MỆNH ĐỀ2.14 Đối với mỗi môđun tồn tại đơn cấu vào môđun nội xạ.

CHỨNG MINH Cho MR Theo tính chất (4) ở trên, tồn tại ZZ-đồng cấu µ : M −→ D, trong đó D là nhóm aben chia được Theo IV.2.13, HomZ(R, D)Rlà R-nội xạ Xác định

ρ : M −→ HomZ(R, D)

5

m 7−→ ρ (m) : R −→ D.

r 7−→ ρ (m)(r) = µ (mr) trong đó ρ là R-đồng cấu Do µ là đơn cấu suy ra ρ cũng là đơn cấu 

HỆ QUẢ 2.15 QR nội xạ ⇐⇒ QR đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun dạng HomZ(R, D)R, trong đó D là nhóm aben chia được.

CHỨNG MINH (=⇒) Theo IV.2.14

MỆNH ĐỀ2.16 Cho ρ : MR −→ NRlà đơn cấu Khi đó tìm được môđun N0 thoả điều kiện:

*) M ≤ N0.

*) có đẳng cấu τ : N0 −→ N sao cho ρ = τ ι, trong đó ι là phép nhúng M vào N0.

CHỨNG MINH Cho D là tập tuỳ ý có lực lượng bằng N \ ρ(M ), ngoài ra D ∩ M 6= ∅

và β : D −→ N \ ρ (M ) là song ánh nào đó Xét tập N0 = M ∪ D và giả sử τ : N0 −→ N

là một song ánh xác định như sau:

τ (m) = ρ (m), m ∈ M

τ (d) = β (d), d ∈ D

Ta biến N0 thành R-môđun chứa MR, còn τ đồng cấu R-môđun mhờ định nghĩa:

x + y = τ−1(τ (x) + τ (y)), x, y ∈ N0

xr = τ−1(τ (x)r), r ∈ R

Chứng minh Định lý IV.2.12.

Rõ ràng, vì lúc đó ta có N0 ' N ' (HomZ(R, D))Rlà nội xạ

3 Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun.

3.1 Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu.

Một môđun con K của M là một hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại một môđun con K0của M sao cho

K ∩ K0 = 0 và K + K0 = M nghĩa là, nếu và chỉ nếu K là bù trong dàn các môđun con của M Với một môđun con K tuỳ

ý thì với nó ta luôn luôn tìm được một môđun con thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện trên, đó là

K ∩ 0 = 0 và K + M = M

Dựa trên tính chất đó ta định nghĩa các loại môđun con mà nó trở thành công cụ rất hữu ích cho công việc của chúng ta

ĐỊNH NGHĨA 3.1 (1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu:

K ≤e M , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M ,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0

(2) Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M , kí hiệu:

K << M , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M ,

K + L = M suy ra L = M

Ví dụ: Trong ZZ, chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong ZZ Tuy nhiên mọi iđêan khác không trong ZZ đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác không tuỳ ý aZZ, bZZ thì 0 6= ab ∈ aZZ ∩ bZZ

ĐỊNH NGHĨA3.2 (1) Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu Imf ≤e M

(2) Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerf << M

MỆNH ĐỀ3.3 Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M :

(a) K ≤e M ,

(b) Đồng cấu nhúng i : K −→ M là đơn cấu cốt yếu,

(c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N )

(Kerh) ∩ K = 0 suy ra Kerh = 0

CHỨNG MINH (a) ⇔ (b), (a) ⇒ (c) do định nghĩa

(c) ⇒ (a) Cho L ≤ M và K ∩ L = 0 Đặt pL : M −→ M/L là toàn cấu tự nhiên Lúc

Theo kết quả về đồng cấu thì nếu f, h là đồng cấu, f h đơn cấu thì h là đơn cấu Mặt khác

HỆ QUẢ 3.4 Một đơn cấu f : L −→ M là cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu.

CHỨNG MINH Đặt K = Imf Lúc đó có một đẳng cấu ν : K −→ L sao cho f ν = 1K

Đối ngẫu với 3.3 và 3.4 ta có

MỆNH ĐỀ3.5 Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M :

(a) K << M ,

(b) Đồng cấu tự nhiên pK : M −→ M/K là toàn cấu đối cốt yếu,

(c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(N, M )

(Imh) + K = M suy ra Imh = M

HỆ QUẢ3.6 Một toàn cấu g : M −→ N là đối cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu

h nếu gh là toàn cấu thì h là toàn cấu.

7

Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu.

MỆNH ĐỀ3.7 Cho MRvà K ≤ N ≤ M , H ≤ M Lúc đó

(1) K ≤e M ⇐⇒ K ≤eN và N ≤eM

(2) H ∩ K ≤e M ⇐⇒ H ≤e M và K ≤e M

CHỨNG MINH (1) Cho K ≤e M và giả sử 0 6= L ≤ M thì L ∩ K 6= 0 Đặc biệt điều này đúng với L ≤ N, do vậy K ≤eN

Ngoài ra K ≤ N nên L ∩ N 6= 0 thì N ≤e M

Đảo lại, nếu K ≤e N , N ≤e M và L ≤ M, thì L ∩ K = 0 =⇒ L ∩ K ∩ N = 0 =⇒

L ∩ N = 0 =⇒ L = 0 (2) Chiều (=⇒) suy ra ngay từ (1) Ngược lại, cho H ≤e M và

K ≤e M Nếu L ≤ M với L ∩ H ∩ K = 0, thì Ł ∩ H = 0 do K ≤e M Từ đó L = 0 vì

Đối ngẫu của 3.7 ta có:

MỆNH ĐỀ3.8 Cho MRvà K ≤ N ≤ M , H ≤ M Lúc đó

(1) N << M ⇐⇒ K << M và N/K << M/K.

(2) H + K << M ⇐⇒ H << M và K << M.

BỔ ĐỀ 3.9 Nếu K << M và f : M −→ N là một đồng cấu thì f (K) << N Đặc biệt, nếu K << M ≤ N thì K << N.

CHỨNG MINH Cho L ≤ N và giả sử L + f (K) = N Với m ∈ M , f (m) = f (k) + l suy

ra f (m − k) = l =⇒ m − k ∈ f−1(L) suy ra m ∈ K + f−1(L) Vậy M = K + f−1(L) Từ

đó f−1(L) = M hay f (M ) = f f−1(L) = L ∩ imf = L ∩ f (M ) suy ra f (K) ≤ f (M ) ≤ L Vậy

L = f (K) + L = N



BỔ ĐỀ3.10 Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K.

CHỨNG MINH (=⇒) Nếu K ≤e M và 0 6= x ∈ M thì xR ∩ K 6= 0 (⇐) Nếu điều kiện đó đúng và 0 6= x ∈ L ≤ M, thì tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K ∩ L 

Từ đó ta có

MỆNH ĐỀ3.11 Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M = M1⊕ M2, thì

(1) K1⊕ K2 << M1⊕ M2 ⇐⇒ K1 << M1và K2 << M2

(2) K1⊕ K2 ≤e M1⊕ M2 ⇐⇒ K1 ≤eM1 và K2 ≤eM2

CHỨNG MINH (1) Cho pi : M −→ Mi là các phép chiếu Lúc đó Ki = pi(Ki) Với 3.11 ta có ngay chiều (=⇒)

(⇐) Cho Ki << Mi ≤ M (i = 1, 2), theo 3.11 và đối ngẫu của 3.9.2 (3.10.2), K1⊕K2 =

K1+ K2 << M (2) Giả sử K1 6≤e M1, nghĩa là K1∩ L1 = 0, với 0 6= L1 ≤ M1 (nào đó) Lúc đó ta có:

(K1+ K2) ∩ L1 = 0 (∗) Thật vậy, cho k1 ∈ K1, k2 ∈ K2và l1 ∈ L1với k1+ k2 = l1, thì k2 = l1−k1 ∈ M1∩M2 = 0

Từ đó k1 = l1 ∈ K1∩ L1 = 0 Từ (*), ta suy ra ngay L1 = 0 (mâu thuẩn)

(⇐) Giả sử Ki ≤e Mi và 0 6= xi ∈ Mi(i = 1, 2) Do 3.12 tồn tại r1 ∈ R sao cho

0 6= r1x1 ∈ K1

Nếu r1x2 ∈ K2thì 0 6= r1x1+ r1+ x2 ∈ K1⊕ K2

Nếu r1x2 6∈ K2 thì do 3.12, tồn tại r2 ∈ R sao cho 0 6= r2r1x2 ∈ K2 và 0 6= r2r1x1+

r2r1x2 ∈ K1⊕ K2

Vậy K1⊕ K2 ≤eM1 ⊕ M2

 Cho N là một môđun con của M Nếu N0 ≤ M là cực đại với tính chất N ∩ N0 = 0 thì

ta nói N0là một M -phần bù của N Dùng bổ đề Zorn ta có thể thấy nếu N ≤ M , thì tập

{K ≤ M |K ∩ N = 0}

chứa một phần tử cực đại N0 Phần tử này có tính chất:

MỆNH ĐỀ 3.12 Mọi môđun con N ≤ M có một M -phần bù Hơn nữa, nếu N0 là một

M -phần bù của N , thì

(1) N ⊕ N0 ≤e M

(2) (N ⊕ N0)/N0 ≤eM/N0

CHỨNG MINH (1) Nếu 0 6= L ≤ M và (N ⊕ N0) ∩ L = 0 Cho n ∈ N ∩ (N0+ L), nghĩa

là cho n ∈ N, n0 ∈ N0, l ∈ L và n = n0+ l suy ra n − n0 = l =⇒ n − n0 ∈ (N + N0) ∩ L =

0 =⇒ l = 0 Suy ra n = n0 ∈ N ∩ N0 = 0 hay n = 0

Vậy N ∩ (N0 + L) = 0, trái với tính cực đại của N0 (2) Giả sử rằng N0 ≤ L với

L ∩ (N + N0) ≤ N0, thì theo luật môđ ula

(L ∩ N ) ⊕ N0 = L ∩ (N + N0) ≤ N0

3.2 Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun.

ĐỊNH NGHĨA3.13 Cho MR

a) Đơn cấu µ : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn

µ là đơn cấu cốt yếu

9

b) Toàn cấu ψ : P −→ M được gọi là bao xạ ảnh đối với M nếu P là môđun xạ ảnh còn

ψ là toàn cấu đối cốt yếu Về mặt kí hiệu đôi khi ta chỉ viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ của môđun M và P (M ) để chỉ bao xạ ảnh của M

VÍ DỤ 3.14 1) ZZZ −→ Iι QZ là bao nội xạ đối với ZZZ vì ι là đơn cấu còn IQZ là nội

xạ (chia được), ngoài ra ZZZ ≤eQIZ (do ∀ q ∈ IQ, q 6= 0, q = p/r, ∃r ∈ ZZ sao cho r 6=

0, rq = p ∈ ZZ) 2) Không phải mọi môđun đều có bao xạ ảnh, ví dụ ZZ2 không có bao xạ ảnh Dĩ nhiên có thể thấy r2 : ZZ −→ ZZ2 là toàn cấu tự nhiên, nhưng Kerr2 = 2ZZ 6<<ZZ, vì 2ZZ + 3ZZ = ZZ nhưng 2ZZ 6= ZZ Sau này ta sẽ chứng minh R có J (R) = 0 thì mọi môđun không xạ ảnh không có bao xạ ảnh

Tính duy nhất của bao nội xạ và bao xạ ảnh

MỆNH ĐỀ3.15 Cho MR.

a) Giả sử M có bao xạ ảnh p : P −→ M Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phân tích

Q = P0⊕ P ”

sao cho

(1) P0 ' P

(2) P ” ≤ Kerq.

(3) (q|P 0) : P0 −→ M là một bao xạ ảnh đối với M

Ngoài ra nếu f : M1 −→ M2 là đẳng cấu và nếu p1 : P1 −→ M1 và p2 : P2 −→ M2 là bao xạ ảnh, thì tồn tại một đẳng cấu ¯f : P1 −→ P2 sao cho p2f = f p¯

1

Ta thể hiện qua sơ đồ sau:

p1

?

-¯

?

p 2

-f

b) Gỉa sử M có bao nội xạ ι : M −→ E Nếu Q là nội xạ và q : M −→ Q là đơn cấu thì

Q có phân tích

Q = E0⊕ E”

sao cho

(1) E” ' E.

(2) Imq ≤ E0

(3) q : M −→ E0 là một bao nội xạ đối với M

Ngoài ra, nếu f : M1 −→ M2là một đẳng cấu và nếu ι1 : M1 −→ E1và ι2 : M2 −→ E2

là bao nội xạ, thì tồn tại một đẳng cấu ¯f : E1 −→ E2 sao cho ¯f ι1 = ι2f

Ta thể hiện qua sơ đồ sau:

ι1

-¯

6

-f

6

ι 2

CHỨNG MINH Ta chứng minh a) còn b) được chứng minh đối ngẫu

Do Q xạ ảnh ta có giản đồ giao hoán sau:

Q

?

q

h 

h

-p

-Ta có p là toàn cấu đối cốt yếu và ph = q là toàn cấu nên theo Mệnh đề IV.3.6, h là toàn cấu Vì P là xạ ảnh nên h là chẻ ra, nghĩa là tồn tại đơn cấu g : P −→ Q sao cho hg = 1P

và từ đó Q = Img ⊕ Kerh Đặt P0 = Img và P ” = Kerh Ta có ngay (1) do g là đơn cấu Ngoài ra (2) đúng vì ph = q Ta có M = q(Q) = p(Img ⊕ Kerh) = q(Img) = q(P0), vì vậy

P0 q|P 0

−→ M −→ 0 khớp, và nó là một bao xạ ảnh vì từ qg = phg = p và Ker(qg) = g−1(Kerq) ta có Ker(q|P0) = g(Kerp) là một môđun con đối cốt yếu của g(P ) = P0 Vậy (3) đúng

Chứng minh Mệnh đề cuối Ta đặt p = p2, q = f p1 và ¯f = h Thế thì p2f = f p¯ 1 Ta có

¯

f = h là toàn cấu, Ker ¯f = Kerp1là hạng tử trực tiếp của P1và ¯f là một đẳng cấu  Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của bao nội xạ của một môđun bất kỳ

MỆNH ĐỀ3.16 Mọi môđun có một bao nội xạ Nó duy nhất sai khác một phép đẳng cấu.

CHỨNG MINH Cho MR Tồn tại QRnội xạ mà M ≤ Q Lập tập

Γ = {N ≤ Q|M ≤e N }

11